1、2019年黑龍江單招理科數學模擬試題(一)【含答案】一.選擇題：本大題共12個小題，每小題5分，滿分60分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1 .設i是虛數單位，復數1+i為純虛數，則實數 a的值為()A. 1 B. - 1 C. 2 D. - 22 .集合 A=0, 1, 2, 3, 4, B=x| (x+2) (x-1) & 0,貝U AA B=()A. 0, 1 , 2, 3, 4 B. 0, 1 , 2, 3 C. 0, 1 , 2 D. 0, 1TT TT T3 .已知向量e= (1, 2), t= ( -2, m),若益/瓦貝U |2益+3片等于()a.

2、 Vrc b. 4a c. We d. 2M4 .設a1=2,數列1+an是以3為公比的等比數列，則 a4=()A. 80 B. 81 C. 54 D. 535 .若某幾何體的三視圖(單位：cm)如圖所示，其中左視圖是一個邊長為2的正三角形,則這個幾何體的體積是()正視圖左視圄A. 2cm2 B. 7 士 cm3 C. 34 m3 D. 3cm36 .執行如圖所示的程序框圖，若輸出i的值是9,則判斷框中的橫線上可以填入的最大整數是()5=0A. 4 B. 8 C. 12 D. 167.直線x-y+3=0被圓(x+2) 2+ (y-2) 2=2截得的弦長等于()A.2 B./ C. 2班 D.8

3、 .已知l, m, n為三條不同直線，a, 3, 丫為三個不同平面，則下列判斷正確的是()A.若 m / a, n / a,則 m / n9 .若 m± a, n " & a, 3,貝m±nC.若 aA 3 = l m / a, m / 3,則 m / lD.若 aA 3 =m aA 丫 = n l± m , l± n,則 l ± a10 高考將至，憑借在五大學科競賽的卓越表現，我校共有25人獲得北大、清華保送及降分錄取優惠政策，具體人數如右下表.若隨機從這25人中任選2人做經驗交流，在已知恰有1人獲得北大優惠政策而另1人獲得

4、清華優惠政策的條件下，至少有1人是參加數學競賽的概率為()學科數學信息物理化學生物北大42541清華21042511243A. 12 B, 5 C, 25 D. 10011 .設F是雙曲線 4-12=1的左焦點，A (1, 4), P是雙曲線右支上的動點，則|PF|+|PA|的最小值為()A. 5 B. 5+4灰 C. 7 D. 912 .已知函數 f (x) =x+sinx (xC R),且 f (y2 2y+3) +f (x24x+1) < 0,貝U當 y> 1 時，x+y+1x+1的取值范圍是()皂工 J_ 3 _A. 4 ,4b, 0, 4 C. 4, 3 d, 1, 31

5、3 .設函數f是定義在正整數有序對的集合上，并滿足：f (x, x) =x;f (x, y) =f (y, x);(x+y) f (x, y) =yf (x, x+y);則 f (12, 16) +f (16, 12)的值是()A. 24 B. 48 C. 64 D. 96二.填空題：本大題共 4小題；每小題5分，共20分.114 .已知拋物線y=ax2的準線方程是y=- 4,則實數a的值為n15 .已知函數y=sin (葉4) ( w>0, 0<()<工)的部分圖象如示，則 4的值為.近16 .已知 ABC的三邊長成公差為 2的等差數列，且最大角的正弦值為2 ,則這個三角形

6、最小值的正弦值是17 .若存在實數a、b使得直線ax+by=1與線段AB (其中A (1, 0), B (2, 1)只有一個1£ 7T 22公共點，且不等式 sin + + cos 9 >20 (a2+b2)對于任意 長(0, 2 )成立，則正實 數p的取值范圍為三、解答題(本大題共 6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.)18 .已知等差數列an崩足：a3=7, a5+a7=26. an的前n項和為Sn.(I )求 an 及 Sn;，、人，、一(n )令 bn= 心力 (n C N*),求數歹U bn的刖n項和Tn.19 .已知函數3#2如虱nxcQsx+

7、1(I)求f (x)的最小正周期及對稱中心；xE (n)若 63 ,求f (x)的最大值和最小值.20 .國家AAAAA級八里河風景區五一期間舉辦管仲杯”投擲飛鏢比賽.每 3人組成一隊，每人投擲一次.假設飛鏢每次都能投中靶面，且靶面上每點被投中的可能性相同.某人投中靶面內陰影區域記為成功”(靶面正方形 ABCD如圖所示，其中陰影區域的邊界曲線近似為函數y=Asinx的圖象).每隊有3人成功”獲一等獎，2人成功”獲二等獎，1人成功”獲三 等獎，其他情況為鼓勵獎(即四等獎)(其中任何兩位隊員成功”與否互不影響).(I )求某隊員投擲一次 成功”的概率；(n)設X為某隊獲獎等次，求隨機變量X的分布列

8、及其期望.£)(0,4) |C(10t-5)20,已知三棱柱 ABC- A1B1C1中，側面 ABB1A1為正方形，延長 AB至U D,使得AB=BD,平面 AA1C1CL平面 ABB1A1, A1C1=/AA1, Z C1A1A= 4 .(I)若 E, F分別為C1B1, AC的中點，求證： EF/平面ABB1A1;(n)求平面 A1B1C1與平面CB1D所成的銳二面角的余弦值.21 .已知橢圓 C: a + +b2=i (a>b>0),圓 Q： (x-2) 2+ (y-&)2=2 的圓心 Q 在橢 圓C上，點P (0,加)到橢圓C的右焦點的距離為 避.(1)求

9、橢圓C的方程；(2)過點P作互相垂直的兩條直線 11, 12,且11交橢圓C于A, B兩點，直線12交圓Q于 C, D兩點，且M為CD的中點，求 MAB的面積的取值范圍.22 .已知函數 f (x) =a (x+1) 2- 41nx, a C R.(I)若a=2,求曲線f (x)在點(1, f (1)處的切線方程；(n )若對任意xC 1, e, f (x) v 1恒成立，求實數 a的取值范圍.2019年黑龍江單招理科數學模擬試題(一)【含答案】一.選擇題：本大題共12個小題，每小題5分，滿分60分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1 .設i是虛數單位，復數1+i為純虛數，

10、則實數 a的值為()A. 1 B. - 1 C. 2 D. - 2【考點】A5:復數代數形式的乘除運算.【分析】利用復數代數形式的乘除運算化簡，再由實部為 0且虛部不為0求得a值.【解答】解：: 1+T =(Hi) (l-i) =2為純虛數，a-l=O. . a+17t0,解得：a=1.故選：A.2.集合 A=0, 1, 2, 3, 4, B=x| (x+2) (x-1) & 0,貝U AA B=()A. 0, 1 , 2, 3, 4 B. 0, 1 , 2, 3 C. 0, 1 , 2 D. 0, 1【考點】1E:交集及其運算.【分析】求出B中不等式的解集確定出 B,找出A與B的交集

11、即可.【解答】解：由 B中不等式解得：-2WxW1,即8=-2, 1,. A=0, 1, 2, 3, 4,.AnB=0, 1,故選：D.-I-IT TT -i3 .已知向量 三=(1, 2),匕=(2, m),若/匕，則|2三+34等于()A, V7C b. 45 C,d. 2M【考點】9R:平面向量數量積的運算.【分析】根據乏/三，算出t= ( - 2, - 4),從而得出2a+3t= ( - 4, - 8),最后根據向量模的計算公式，可算出 12+3 I的值.【解答】解：: *(1, 2)，或(一2，m)且&工，1Xm=2X (-2),可得 m= - 4由此可得£(匕2)

12、，淳-4).-2 -+3； = ( 4, 8),得 |；二 |二" ，=4 三故選：B4 .設a1=2,數列1+an是以3為公比的等比數列，則 a4=()A. 80 B. 81 C. 54 D. 53【考點】8G:等比數列的性質；8H:數列遞推式.【分析】先利用數列1+an是以3為公比的等比數列以及 a1=2,求出數列1+an的通項，再 把n=4代入即可求出結論.【解答】解：因為數列1+an是以3為公比的等比數列，且 a1=2所以其首項為1+a1=3.其通項為：1+an= （1+a1） X3n-1=3n.當 n=4 時，1+a4=34=81.a4=80.故選A.5.若某幾何體的三視圖

13、（單位：cm）如圖所示，其中左視圖是一個邊長為2的正三角形,則這個幾何體的體積是（）左視圖A. 2cm2 B. 7 ± cm3 C. 34 cm3 D. 3cm3【考點】L!:由三視圖求面積、體積.【分析】由幾何體的三視圖得到原幾何體的底面積與高，進而得到該幾何體的體積.【解答】解：由幾何體的三視圖可知，該幾何體為底面是直角梯形，高為 正的四棱錐,其中直角梯形兩底長分別為1和2,高是2.6.執行如圖所示的程序框圖, 是（）1 工故這個幾何體的體積是 豆X區（1+2） X 2 X/=衣 （cm3）.故選：B.若輸出i的值是9,則判斷框中的橫線上可以填入的最大整數A. 4 B. 8 C.

14、 12 D. 16【考點】EF:程序框圖.【分析】模擬執行程序框圖，依次寫出每次循環得到的S, i的值，當S=16, i=9時，不滿足條件，退出循環，輸出i的值為9,則判斷框中的橫線上可以填入的最大整數為：16【解答】解：模擬執行程序框圖，可得i=1S=0滿足條件，S=1, i=3滿足條件，S=4, i=5滿足條件，S=9, i=7滿足條件，S=16, i=9由題意，此時，不滿足條件，退出循環，輸出 i的值為9,則判斷框中的橫線上可以填入的最大整數為：16,故選：D.7 .直線x-y+3=0被圓（x+2） 2+ （y-2） 2=2截得的弦長等于（）A. B B,泥 C. 2& D.氓【

15、考點】JE直線和圓的方程的應用.【分析】先根據點到直線的距離公式求出圓心到弦的距離即弦心距OD,然后根據垂徑定理得到垂足為弦長的中點 D,根據勾股定理求出弦長的一半BD,乘以2即可求出弦長 AB.【解答】解：連接 OB,過O作ODLAB,根據垂徑定理得：D為AB的中點，根據（x+2） 2+ （y-2） 2=2得到圓心坐標為（-2, 2）,半徑為第.卜 2-2+3| rj圓心O到直線AB的距離OD=Y1 +（T）= 2 ,而半徑OB=J,則在直角三角形 OBD中根據勾股定理得 BdH°b2-UIT=皂,所以AB=2BD=/e故選D.8 .已知l, m, n為三條不同直線，”，3, 丫為

16、三個不同平面，則下列判斷正確的是()A.若 m / a, n / a,則 m / nB.若 m± a, n " & a, 3,貝m±nC.若 aA 3 =l m / a, m / 3,則 m / lD.若 aA 3 =m aA 丫 = n l± m , l± n,則 l ± a【考點】LP：空間中直線與平面之間的位置關系.【分析】根據常見幾何體模型舉出反例，或者證明結論.【解答】解：(A)若m / a, n / a,則m與n可能平行，可能相交，也可能異面，故 A錯 誤；(B)在正方體 ABCD-AB'gD'設平

17、面ABCD為平面 a,平面CDD平面氏直線BB'為直線m,直線A西直線n,則m, a, n/ 3 a1 3但直線 A 嗎BB'不垂直，故 B錯誤.(C)設過m的平面丫與a交于a,過m的平面。與3交于b,m / a, m? 丫， aA y =am / a,同理可得：m / b.a / b, b? 3, a? 3,，a/ &an 3 = l a? ”，' a II l,1-1 / m.故C正確.(D)在正方體 ABCD- A B'阱,D設平面 ABCD為平面 a,平面ABB 徼平面 &平面CDD C 為平面丫，則 an 3 =AB an T =cd

18、bc±ab, bc± cd, (1 bc?平面 abcd,故 d 錯誤.故選：C.b9 .高考將至，憑借在五大學科競賽的卓越表現，我校共有25人獲得北大、清華保送及降分錄取優惠政策，具體人數如右下表.若隨機從這25人中任選2人做經驗交流，在已知恰有1人獲得北大優惠政策而另 1人獲得清華優惠政策的條件下，至少有1人是參加數學競賽的概率為()學科數學信息物理化學生物北大42541:清華21042511243A. 12 B. 5 C. 25 D. 100【考點】CB:古典概型及其概率計算公式.【分析】先求出恰有1人獲得北大優惠政策而另 1人獲得清華優惠政策的種數，再分類求出至少有

19、1人是參加數學競賽種數，根據概率公式計算即可得到.【解答】解：其中北大保送生有4+2+5+4+1=16人，清華保送生有 2+1+0+4+2=9人，恰有1人獲得北大優惠政策而另1人獲得清華優惠政策的有 0161091=144種，故至少有1人是參加數學競賽種數為C41C71+C21C121+C21C41=28+24+8=60忙故至少有1人是參加數學競賽的概率 故選：A.60 5P=144 = 12 .10 .設F是雙曲線 4-12=1的左焦點，A (1, 4), P是雙曲線右支上的動點，則|PF|+|PA|的最小值為()A. 5 B. 5+4加 0. 7 D. 9【考點】KC:雙曲線的簡單性質.【

20、分析】根據 A點在雙曲線的兩支之間，根據雙曲線的定義求得，|PF| - |PF'|=2a=4 ,進而根據PA|+| PF|刁AF'|=5 ,兩式相加求得答案.【解答】解：: A點在雙曲線的兩支之間，且雙曲線右焦點為F' (4, 0),由雙曲線定義可得，|PF| - | PF'|=2a=4 ,而|PA|+|P F >| AF'|=5 ,兩式相加得|PF|+|PA| >9,當且僅當A、P、F'三點共線時等號成立.則|PF|+|PA|的最小值為 9.故選：D.11.已知函數 f (x) =x+sinx (xC R),且 f (y2 2y+3

21、) +f (x24x+1) < 0,貝U當 y> 1 時, 二+yjHjx+1的取值范圍是()芻工 J_ _A.匈,/ B. 0, 4 C.3,3 D, 1, 3【考點】3N:奇偶性與單調性的綜合.【分析】判斷函數f(x)的奇偶性和單調性， 將不等式進行轉化， 利用直線和圓的位置關系，結合數形結合和對"的幾何意義即可得到結論.【解答】解：f (x) =x+sinx (xC R),1-f ( x) = - x - sinx= - ( x+sinx) =- f (x), 即 f (x) =x+sinx (xC R)是奇函數. f (y22y+3) +f (x2 4x+1) &

22、lt; 0,.f (y2-2y+3) < - f (x2-4x+1) =f- (x2-4x+1),由f'(x) =1+cosx>0,函數單調遞增.( y2 2y+3) & ( x2 4x+1),即(y2-2y+3) + (x24x+1) & 0,x+y+1 yQ(y1) 2+(x2) 2W1, ,.當 y>1 時， x+1 =1+x+l ,，不等式對應的平面區域為圓心為(2, 1),半徑為1的圓的上半部分.y而Xf的幾何意義為動點 P (x, V)到定點A ( - 1, 0)的斜率的取值范圍.y設 k=工+1, (k> 0),則 y=kx+k,即

23、 kx- y+k=0.12.1密 | 亭-1|當直線和圓相切時，圓心到直線的距離d= Vl+k2 =Vl+k2 =1即8k2-6k=0,解得k=4.此時直線斜率最大.當直線kx-y+k=0經過點B (3, 1)時，直線斜率最小，1此時 3k - 1+k=0,即 4k=1,解得 k= 4 ,_3x+y+1y U_5 _74wkw4,故 x+L =1+K+l=1+k 的取值范圍是4, 4. 故選：A12.設函數f是定義在正整數有序對的集合上，并滿足：f (x, x) =x;f (x, y) =f (y, x);(x+y) f (x, y) =yf (x, x+y);則 f (12, 16) +f

24、(16, 12)的值是()A. 24 B. 48 C. 64 D. 96【考點】3P:抽象函數及其應用.【分析】由函數性質的第3條，可得f (x, x+y)= y f(x,y),從而得到f (12,16)+f16(16, 12) =2f (12, 16) =2f (12, 12+4) =2X 4 Xf (12, 12),再利用解. 【解答】解：=( x+y) f (x, y) =yf (x, x+y), f (x, x+y) = V f (x, y), f (12, 16) +f (16, 12) =2f (12, 16) =2f (12, 12+4)16=2X 4 Xf (12, 12)=2

25、X 4X 12=96.故選：D二.填空題：本大題共 4小題；每小題5分，共20分.113.已知拋物線y=ax2的準線方程是y=- % 則實數a的值為 1.【考點】K8:拋物線的簡單性質.【分析】先化拋物線 y=ax2為標準方程：x2=ay,得到焦點坐標為 F (0, 4a),準線方程：1 y= - 4"再結合題意準線方程為-4，比較系數可得a=1.【解答】解：.拋物線 y=ax2化成標準方程為x2= &y,1 p11.-2p= 可得2=4匕焦點坐標為F (0, 4口)，準線方程：y=- 4日再根據題意，準線方程為k4,1 1，-4a= - 4,可得 a=1nji4的值為 -3

26、故答案為：114.已知函數y=sin （葉4） （ w>0, 0V（j）< 2 ）的部分圖象如示，則-1-【考點】HK：由y=Asin （葉4）的部分圖象確定其解析式.【分析】先利用函數圖象，計算函數的周期，再利用周期計算公式計算7T（, 0）代入，結合 。的范圍，求。值即可5-2n【解答】解：由圖可知 T=2 （ 63 ）=兀，3= T =2CO的值）最后將點1. y=sin （2x+（j）n27r代入（3 , 0）,得 sin （ 3+（j） =02冗3 +（j）=+2kTt, kC Z7T-.-0< g 2n（|）= n故答案為15.已知 ABC的三邊長成公差為373最

27、小值的正弦值是14 .【考點】8F：等差數列的性質.2的等差數列，且最大角的正弦值為近2 ,則這個三角形【分析】設三角形的三邊分別為 a、b、c,且a> b>c> 0,設公差為d=2,求出a=c+4和b=c+2, 由邊角關系和條件求出sinA,求出A=60°或120°,再判斷A的值，利用余弦定理能求出三邊長，由余弦定理和平方關系求出這個三角形最小值的正弦值.【解答】解：不妨設三角形的三邊分別為a、b、c,且a>b>c>0,設公差為d=2,三個角分別為、A、B、C,貝U a - b=b - c=2,可得 b=c+2, a=c+4,.A>

28、;B>C,亞 Vs,最大角的正弦值為 2，.二sinA= 2 ,由 AC (0°, 180°)得，A=60°或 120°,當 A=60° 時，. A>B> C, . A+B+Cv 180°,不成立；.2 + .2/ (32) 2+/-(c+G 2即 A=120 ,則 cosA= 2bc =2c(c+2)= 2,c-6化簡得 2-乏，解得c=3,b=c+2=5, a=c+4=7,222d+b F 49+25-g 13cosC=2ab =2-X7X5=TI,Ir Ws又 CC (0°, 180°),則

29、 sinC=Vl-cci s“C= 14 ,運，這個三角形最小值的正弦值是14 ,因I故答案為：3r.16.若存在實數a、b使得直線ax+by=1與線段AB (其中A (1, 0), B (2, 1)只有一個P7T公共點，且不等式 sin2日+ cos2 0 >20 (a2+b2)對于任意 長(0, 2 )成立，則正實數p的取值范圍為1, +8).【考點】KE:曲線與方程.【分析】直線ax+by=1與線段AB有一個公共點，可知：點A (1,0), B(2, 1)在直線ax+by=1 的兩側，因此(a-1) (2a+b-1) < 0.畫出它們表示的平面區域，如圖所示.由圖可知，1當原

30、點O到直線2x+y- 1=0的距離為原點到區域內的點的距離的最小值，可得dmin=V5 .由1L_.于存在實數a、b使得不等式sn 8 +COS >20 (a2+b2)對于任意(0, 2 )成.2 口 2 門'mir立，可得 sin U廿 >20 (a2+b2) min=4,再利用基本不等式的性質即可得出答案.【解答】解：二直線 ax+by=1與線段AB有一個公共點，.點 A (1, 0), B (2, 1)在直線 ax+by=1 的兩側，(a-1) (2a+b-1) & 0,'色T40: 2-1»0gp 2a+b-l>0,或12a+bT40

31、；畫出它們表示的平面區域，如圖所示.a2+b2表示原點到區域內的點的距離的平方，由圖可知，當原點 O到直線2x+y-1=0的距離為原點到區域內的點的距離的最小值,1dmin= Vs那么a2+b2的最小值為：d2= 5 .12 7T由于存在實數a、b使得不等式sin2 9 + cos2 9 >20 (a2+b2)對于任意 長(0, 2 ) 成立，r-1H_2-)sin b cos U >20 (a2+b2) min=4,06(0, 2 ), /. sin C cos 錢(0, 1).p(+ p 、8sin2 + cos2 =(sin2 &+cos2 0) sin2 9 cos

32、2 9 =i+p+ sin2 + cos2 9 >心嶼28 1 pginN 8l+p+2V sin2 9 cos'日=i+p+24, 1當且僅當tan2e時取等號.i+p+2Vr>4, p>0,解得 iwp.0n好一 .tan。=1即 4時取等號.、解答題（本大題共 6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟17.已知等差數列an崩足：a3=7, a5+a7=26. an的前n項和為Sn.(I )求 an 及 Sn;-CT(n )令bn= %1 (n C N*),求數歹U bn的前n項和Tn.【考點】8E:數列的求和；84:等差數列的通項公式；85:等差

33、數列的前n項和.(324=7【分析】(I)設等差數列an的公差為d,由于a3=7, a5+a7=26,可得| 2 a1+lOd二26 ,解 得al, d,利用等差數列的通項公式及其前n項和公式即可得出.1 1(n)由(I)可得bn=n(n+l) =n,利用 裂項求和”即可得出.【解答】解：(I)設等差數列an的公差為d,. a3=7, a5+a7=26,f 2dI 2 a 1+104=26 到/曰.c /c1,解得 a1=3, d=2,an=3+2 (n - 1) =2n+1;3nn(n1 X2Sn= /=n2+2n.n 2 W =(n)T = (2n+1) -1 =n(n+l) =n n+1

34、 ,1 1 ， 11.11.i n . Tn= 2 23=n+1 =n+1 = n+1.18.已知函數口“2建皿8SX+1(I)求f (x)的最小正周期及對稱中心;(n)若 、l 63，求f (x)的最大值和最小值.【考點】H6:正弦函數的對稱性；HW:三角函數的最值.【分析】(I)利用兩角和與差的三角函數化簡函數的解析式，然后求 f (x)的最小正周期 及對稱中心；(n)求出相位的范圍，利用正弦函數的有界性求解函數的最值即可.下、-.f(x) =V3sin2y+cos2x= 2sin (2x-K)【解答】(本題滿分12分)解：(I)6 42nJ=_ JI1- f (x)的最小正周期為2，5

35、令及加二k兀則Xez) ，f(x)的對稱中心為f' 0)'si n C2 )1.、26. . Twf (x) w 2- -10n12當A-了時，f（X）的最小值為-1；當工!1時，f（X）的最大值為2.19.國家AAAAA級八里河風景區五一期間舉辦管仲杯”投擲飛鏢比賽.每 3人組成一隊，每人投擲一次.假設飛鏢每次都能投中靶面，且靶面上每點被投中的可能性相同.某人投中靶面內陰影區域記為 成功”（靶面正方形 ABCD如圖所示，其中陰影區域的邊界曲線近似為 函數y=Asinx的圖象）.每隊有3人成功”獲一等獎，2人成功”獲二等獎，1人成功”獲三 等獎，其他情況為鼓勵獎（即四等獎）（其

36、中任何兩位隊員成功”與否互不影響）.（I ）求某隊員投擲一次成功”的概率；（n）設X為某隊獲獎等次，求隨機變量 X的分布列及其期望.以0；5)|C(10t-5)【考點】6G:定積分在求面積中的應用；CF:幾何I型；CH:離散型隨機變量的期望與方差.【分析】（I）由題意，求出矩形和陰影部分的面積，利用幾何概型公式解答；（n）明確X的取值，分別求出隨機變量對應的概率，列出分布列，求期望.【解答】解：（I）由題意知：S矩形=10X10=100, $陰星尸2 J ；5sinxdx=20,記某隊員投擲一次成功”事件為A,S陰星二20則P （A） = S矩形100 5,（n）因為X為某隊獲獎等次，則 X取

37、值為1、2、3、4.Pgl）二W 得）3-（14）口氣、C；0）2（母犬5b LZP P（X=2） = J s b 1253一- 一 LO1±-z(o 3c64125 .n( i y二 48P (X=3)=5125 P(X=4)即X分布列為：X1234P (X)r 11248641251251251251124864 17所以，X的期望 EX=1X 125+2X 125+3X 125+4X 125= 5 20.已知三棱柱 ABC- A1B1C1中，側面 ABB1A1為正方形，延長 AB至U D,使得AB=BD,平面 AA1C1CX平面 ABB1A1, A1C1=/AA1, Z C1A

38、1A= 4 .(I)若 E, F分別為C1B1, AC的中點，求證： EF/平面ABB1A1;(n)求平面 A1B1C1與平面CB1D所成的銳二面角的余弦值.【考點】MT:二面角的平面角及求法；LS:直線與平面平行的判定.【分析】(I)取A1C1的中點G,連結FG, EG,則EG/ A1B1,從而GE/ ABB1A1,同理得GF/平面 ABB1A1,從平面 GEF/平面 ABB1A1,由此能證明 EF/平面 ABB1A1.(n)連結 AC1,推導出 AC1XAA1,從而 AC1L平面 ABB1A1,再求出 AC1XAB, AA1XAB, 分別以AA1, AB, AC1所在直線為x軸，y軸，z軸

39、，建立空間直角坐標系，利用向量法能 求出平面A1B1C1與平面CB1D所成的銳二面角的余弦值.【解答】證明：(I)取A1C1的中點G,連結FG, EG在AIBICI 中，EG為中位線，EG/ A1B1,1 .GE?平面 ABB1A1, A1B1?平面 ABB1A1,2 .GE/ ABB1A1,同理得 GF/平面 ABB1A1,又 GFA GE=G, 平面 GEF/平面 ABB1A1,3 . EF?平面 GEF,EF/平面 ABB1A1.解：(n)連結 AC1,在 AA1C1 中，%二近21, 222，由余弦定理得 Al =AA1 +/。1 2AA1XA1C1cos/ AA1C1 = AA1 ,

40、4 .AA1=AC1, A1AC1 是等腰直角三角形，AC1XAA1,又.平面 AA1C18 平面 ABB1A1=AA1,.ACU平面 ABB1A1,. AB?平面 ABB1A1,AC1XAB,又側面 ABB1A1為正方形，AA1XAB,分別以AA1, AB, AC1所在直線為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系， 設 AB=1,貝U A (0, 0, 0), A1 (1, 0, 0), B1 (1, 1, 0),C1 (0, 0, 1), C (T, 0, 1), D (0, 2, 0),R-*A AR. .1= (2, 1, 1), CE= (1, 2, 1),11= (T, 0, 1),

41、11= (0, 1, 0),設平面 A1B1C1的法向量n= (x, y, z),I=-x+z=OA f 則尸°,取 x=l,得(1, 0, 1),T設平面 CB1D的法向量r= (a, b, c),f n*CB1=2a+b-c=0則 I nC!>a+2b-uO，取 a=i,得：=(1, 1, 3),T T42收cos v n, n>=|n|*|m| =、反 乂 V1T =11 ,2區平面A1B1C1與平面CB1D所成的銳二面角的余弦值為1122廠21.已知橢圓 C: a +b =1 (a>b>0),圓 Q： (x-2) 2+ (y-M2) 2=2 的圓心 Q

42、 在橢圓C上，點P (0,a)到橢圓C的右焦點的距離為 加.(1)求橢圓C的方程；(2)過點P作互相垂直的兩條直線 11, 12,且11交橢圓C于A, B兩點，直線12交圓Q于 C, D兩點，且M為CD的中點，求 MAB的面積的取值范圍.【考點】K4:橢圓的簡單性質.a, b的【分析】(1)求得圓Q的圓心，代入橢圓方程，運用兩點的距離公式，解方程可得 值，進而得到橢圓方程；(2)討論兩直線的斜率不存在和為0,求得三角形 MAB的面積為4;設直線y=kx+無，代入圓Q的方程，運用韋達定理和中點坐標公式可得M的坐標，求得 MP的長，再由直線 AB的方程為y=-Nx+Ji代入橢圓方程，運用韋達定理和弦長公式，由三角形的面積公式， 化簡整理，由換元法，結合函數的單調性，可得面積的范圍.【解答】解：(1)圓Q: (x-2) 2+ (y-M) 2=2的圓心為(2,比)，4 2代入橢圓方程可得 a +b =1,由點P (0,、后)到橢圓C的右焦點的距離為 亞，即有 炎+cLn,解得 c=2,即 a2 b2=4,解得a=2應，b=2,即有橢圓的方程為 8 + 4=1;(2)當直線12： 丫=班，代入圓的方程可得 x=2士班，可得M的坐標為(2,比)，又|AB|=4 ,可得 MAB的面積為2X2X 4=4