1、第1章 預(yù)備知識在高等數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí)中，常微分方程的定解問題的求解方法是我們熟悉的.該類問題主要有兩個(gè)特點(diǎn)：（1）問題的所求量是一個(gè)未知函數(shù)；（2）所求的函數(shù)僅有一個(gè)自變量.而問題中所給的定解條件也只是給出了唯一確定未知函數(shù)所需要的條件.這類問題的物理背景是非常明確的：方程描述了一類物理現(xiàn)象滿足的普遍規(guī)律，定解條件則是某一具體現(xiàn)象應(yīng)該滿足的限制條件.例如：方程描述了自由落體運(yùn)動(dòng)中質(zhì)點(diǎn)的位移隨時(shí)間變化的一般規(guī)律，而定解條件則給出了運(yùn)動(dòng)的初始狀態(tài).在常微分方程中，所需確定的未知函數(shù)僅依賴于一個(gè)自變量，這就意味著所描述的物理現(xiàn)象只與一個(gè)因素有關(guān).顯而易見，這類定解問題僅僅描述了較為特殊的物理現(xiàn)象，而

2、大量常見的物理現(xiàn)象則是這類模型力所不及的.例如溫度，不僅與時(shí)間有關(guān)，還應(yīng)該與地點(diǎn)有關(guān)，簡單的至少應(yīng)表為.要客觀地描述現(xiàn)實(shí)中的溫度場，就必須考慮這類多元函數(shù)所滿足的微分方程及相應(yīng)的定解條件.偏微分方程含有未知多元函數(shù)及其偏導(dǎo)數(shù)的方程就應(yīng)運(yùn)而生.數(shù)學(xué)物理方程是研究幾類偏微分方程定解問題求解方法的課程，這些定解問題有著明確的物理背景，大致可分為三類：熱傳導(dǎo)方程；波動(dòng)方程；泊松方程.前兩類稱為發(fā)展方程，討論的是與時(shí)間有關(guān)的物理量的分布規(guī)律；最后一類稱為穩(wěn)態(tài)方程，其討論的物理量的分布與時(shí)間無關(guān).類比于高等數(shù)學(xué)中多元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的求解借助于一元函數(shù)的求導(dǎo)法則，多元函數(shù)的積分也化為定積分求解.偏微分方程能否轉(zhuǎn)

3、化為常微分方程求解？這涉及到兩個(gè)基本問題：（1）如何轉(zhuǎn)化？（2）轉(zhuǎn)化以后的問題的解與原問題的解之間的關(guān)系如何？對于問題（1），可用分離變量法各積分變換法解決，而問題（2）的解決則基于線性疊加原理.因此常微分方程的定解問題的求解的有關(guān)結(jié)論和公式，在數(shù)學(xué)物理方程的求解中起著基本的作用.11 常微分方程定解問題111 一階常微分方程對于一階常微分方程定解問題： （1.1）在方程兩邊同時(shí)乘上，則方程化為：方程兩邊同在上求積分，并利用（1 .1）中的定解條件（邊界條件）可得： （1.2）如果，則(1.2)對于不同的，可看成是(1.1)的導(dǎo)出方程的通解.如果是，則(1.2)表示的是(1.1)的一個(gè)特解.因

4、此，一階非線性方程解的結(jié)構(gòu)為：非齊次線性方程的通解等于導(dǎo)出方程的通解與一個(gè)非齊次特解之和.這個(gè)結(jié)論對于高階線性方程同樣成立.若是常數(shù)，則(1.2)可化為： （1.3）這種形式解在熱傳導(dǎo)方程的求解過程中將會(huì)用到.112 二階常微分方程對于二階常微分方程定解問題： （1.4）我們先討論為常數(shù)的情形.求解這個(gè)問題主要有兩個(gè)步驟：一、（1 .4）中微分方程的通解可表示為： (1.5)其中是導(dǎo)出方程 （1.6）的兩個(gè)線性無關(guān)的特解，是非齊次方程 （1.7）的一個(gè)特解.二、根據(jù)(1.4)中的定解條件確定(1.5) 中的兩個(gè)任意常數(shù)，進(jìn)而得到(1.4)的解. 方程(1.6)的通解根據(jù)特征方程法可得到如下三種

5、情形：記特征方程的兩個(gè)根為，則（1） 當(dāng)是兩個(gè)不相等的實(shí)根時(shí)，齊次方程的通解為：（2） 當(dāng)是兩個(gè)相等的實(shí)根時(shí)，齊次方程的通解為：（3） 當(dāng)是一對共軛復(fù)根時(shí)，齊次方程的通解為： 然后，利用常數(shù)變易法確定設(shè)代入（1.7）得從中解出再積分一次即得到.例1 求的通解.解；特征方程的根為，于是導(dǎo)出方程的通解為： 為求非齊次方程的一個(gè)特解，利用常數(shù)變易法，設(shè)代入原方程，得解之得然后各自積分，得所以原方程的通解為： 113 Euler 方程從前面的討論中可以看出，二階常系數(shù)常微分方程的通解至少可以用已知函數(shù)的積分來表示，對于變系數(shù)的微分方程，其解則不一定可以用已知函數(shù)顯式表達(dá)出來.但對于某些較為特殊的方程，

6、可以利用適當(dāng)?shù)淖儞Q得到解的顯式表達(dá)，例如Euler 方程 二階Euler 方程的一般形式為： （1.8）根據(jù)方程的特點(diǎn)，作自變量代換，并記，則由復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則有：，將上述兩式代入（1.8）中可得： （1 .9）而這是我們熟悉的二階常系數(shù)非齊次微分方程，利用所學(xué)過的方法可以求出其通解，進(jìn)而得到(1.8)的解.例2求解方程解：設(shè)，則記.將其代入原方程得；即 其特征方程為：，特征根：（1）（2）所以，原方程的通解為： 這個(gè)結(jié)果將在后面的學(xué)習(xí)內(nèi)容中用到.12 常微分方程的特征值問題常微分方程的特征值問題對于我們來說是一個(gè)新的概念，在數(shù)學(xué)物理方程定解問題的求解中起著非常重要的作用.121 常微分方程

7、的特征值問題的提法 對于二階常系數(shù)常微分方程的邊值問題，如果方程和邊界條件都是給定的，則該邊值問題是可以求解的.例如： . （1.10）對于給定的常數(shù)和函數(shù)，我們可以求出它的唯一解，當(dāng)然，對于，所得到的解的性質(zhì)也是不同的.特別地，如果，則（1.10） 成為： . （1.11）對于任意的常數(shù)總是方程的解，我們稱之為平凡解，但這種解對于方程而言意義并不大.問題：是否存在常數(shù)使得邊值問題（1.11）有非零解？定義1：如果存在常數(shù)使得邊值問題（1.11）有非零解，則稱為邊值問題（1.11）的特征值，相應(yīng)的非零解稱為對應(yīng)于的特值函數(shù).邊值問題（1.11）也就稱為特征值問題.對于不同的邊界條件，我們還有其

8、它結(jié)構(gòu)的特征值問題，具體如下： . （1.12） . （1.13） . （1.14）122 特征值問題的求解特征值問題的求解是直接從定義出發(fā)來討論什么樣的能使得邊值問題有非零解.具體求的步驟可以分成如下三步：（1） 對不同范圍的，給定微分方程的含有兩個(gè)任意常數(shù)的通解；（2） 由對應(yīng)的邊界條件確定任意常數(shù)得到定解問題的解；（3） 確定的值，使得到的定解問題的解非零.確定了的值后，相應(yīng)的定解問題的非零解就是對應(yīng)于的特征函數(shù).特征值也稱為本征值；固有值，特征函數(shù)也稱為本征函數(shù)；固有函數(shù).我們以（1.13）為例討論該邊值問題的特征值和特征函數(shù).例3求的特征值和特征函數(shù).解：方程的通解結(jié)構(gòu)隨的取值而不同

9、.（1），由邊值條件可得：解之得：，即.所以，不是特征值.（2），由邊值條件可得：為任意常數(shù).所以是特征值，為相應(yīng)的特征函數(shù).（3），由邊值條件可得：要使則要求，由此得，所以，特征值為，相應(yīng)的特征函數(shù)為，根據(jù)類似的步驟，我們可以得到其他三類特征值問題的特征值和特征函數(shù)，為以后使用方便，現(xiàn)將這四類邊值問題的特征值和特征函數(shù)匯總于下表1.1中；表1.1 四類邊值問題的特征值和特征函數(shù)問題特征值特征函數(shù)n 的取值（1.11）n =1,2,.（1.12）n =0,1,2,.（1.13）n =0,1,2,.（1.14）n =0,1,2,.除了上述四類邊值問題外，對于方程，還有由其他邊界條件構(gòu)成的邊值問題

10、.例如：直線型構(gòu)件在一端與外界存在熱交換：交換的熱流量的大小與兩種介質(zhì)的溫度差成比例.這類邊界條件可表示為：.相應(yīng)的特征值問題如下； . （1.15）其中，利用與前面類似的方法進(jìn)行討論：（1）不是（1.15）的特征值；（2）當(dāng)時(shí)，記.則方程的通解為：再由邊界條件知在的情形下，有，記，則滿足如下方程： (1.16)圖1-1這是一個(gè)超越方程，它的根不能直接表達(dá)，但根據(jù)圖解法（圖1-1）可以很容易地得到(1.16)所具有的基本性質(zhì)：（1） 方程有無窮多個(gè)正根；（2） 時(shí)，.顯而易見，特征根的分布同樣具有上述的兩條性質(zhì).從而（1.15）的特征根和特征函數(shù)為： （1.17）123 周期邊界條件的特征值問

11、題設(shè)函數(shù)在上有定義且以為周期，因?yàn)椴皇嵌x在有限區(qū)間上，因此不存在如前所討論的邊界條件，但由于其周期性，我們考慮如下的地二階常系數(shù)齊次線性微分方程的定解問題： （1.18）其定解條件為，稱之為周期邊界條件.定解問題（1.18）的求解方法與前面的類似：（1），顯然不是周期函數(shù)，不滿足周期邊值條件.所以，不是特征值.（2），由周期邊值條件可得：為任意常數(shù).所以是特征值，為相應(yīng)的特征函數(shù).（3），由邊值條件可得：，為正整數(shù).因此，特征值，對應(yīng)的特征函數(shù).13 幾個(gè)常用的積分公式本節(jié)我們主要給出在高等數(shù)學(xué)課程中學(xué)習(xí)過的幾個(gè)重要的積分公式，這些公式將在我們的課程中得到應(yīng)用.1 平面區(qū)域上的格林（Gree

12、n）公式：設(shè)二元函數(shù)在平面有界閉區(qū)域上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則 ， （1.19）其中是區(qū)域的正向邊界曲線.2斯托克斯（Stokes）公式：設(shè)函數(shù)在包含空間有向曲面的空間區(qū)域上具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，是上指定側(cè)的單位向量，則 (1.20)其中為有向空間曲線的正向，其方向與的側(cè)構(gòu)成右手系.根據(jù)兩類曲面積分之間的關(guān)系，我們有等價(jià)的表達(dá)形式： (1.21)3 高斯公式（Gauss）設(shè)空間區(qū)域是由分片光滑的閉曲面所圍成，函數(shù)在上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則 (1.22)這里是的整個(gè)邊界曲面的外側(cè).利用高斯公式，我們?nèi)菀椎玫饺缦碌母窳值谝弧⒌诙?4 格林第一公式設(shè)是兩個(gè)定義在閉區(qū)域上的具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù)，是的整個(gè)邊界曲面的外側(cè)，依次表示沿的外法向的