1、第八章多元函數微分法及其應用教學與考試基本要求1 .理解多元函數、多元函數偏導數的概念，會求多元函數的定義域、二重極限;2 .會求多元函數的偏導數、全微分、全導數等；3 .會求空間曲線的切線及法平面、空間曲面的切平面及法線方程；4 .會用多元函數微分法解決簡單的最大值最小值問題.8.1 多元函數的概念、主要內容回顧二元 函數 定義設后父量x, y和z ,如果當變量x, y在一定范圍內任取一組值時，變量z按照一定的法則總有確定的值和它們對應，則稱變量z是變量x,y的二元函數.記作z = f(x, y) 或 z =z(x, y)其中變量x, y稱為自變量，z稱為因變量，自變量 x,y的取值范圍稱為

2、函數的 定義域.二元及二元以上的函數統稱為多元函數.鄰域(1)點集(x,y)|(xxo)2 +(y yo)2c52, 6 a。稱為點 Po(x0,yo)的 6 鄰域，記為u(Po,a). p。稱為該鄰域的中心，6稱為該鄰域的半徑.(2)點集( x, y) 10 <(x 一x。)2 +(y -y。)2 <32, 6 >0 稱為點 Po(x。, y。)的去心每鄰域，記為U(P0,3).內點D是xOy平面上的點集，P0升-點， 若存在6>0,使U(P0,6)U D ,則稱P0 是D的內點.邊界點是xOy平面上的點集，P0為一點，如果對于任意 0 >0 , UV。4)內既

3、有D中的點，又有不屬于 D的點，則稱P。是D的邊界點.的邊界點的全體，稱為 D的邊界.注：邊界點可以屬于也可以不屬于.開集如果點集D中的點都是D的內點，則稱D為開集.連通集如果D內的任意兩點都可用 D中的折線連接起來，則稱 D為連通集.開區域連通的開集.閉區域開區域加上它的邊界.有界區域如果一個區域內的任意兩點的距離都不超過某一常數，則稱它為有界區域，否 則稱為無界區域.一重 極限設二兀函數z = f (x, y)在點P0 (x0, y0)的某一去心鄰域內有定義，如果動點P(x,y)沿任意方式趨近于 P0(x0,y。)時，對應的函數值f(x,y)總是趨近一個確定的常數 A,則稱A為函數f(x,

4、y)當P(x, y)T P0(x0,y0)時的極限，或稱函數f(x,y)在點P0(x0,y0)處收斂于A,記為lim ”*,丫)=八或lim f(x, y)=Ax-0(x, y)_/x0,y°)y-y。注思：如果點 P(x, y)只是沿某一條或幾條特殊路徑趨向于Po(xo, yo),函數f(x,y)趨向于某一確定的值，不能判斷函數的極限存在；反過來，如果當P(x,y)沿不同的路徑趨于Po(xo,y。)時，f(x,y)趨于不同的值，就可判定f (x, y)在Po(xo,y。)的極限不存在.注：二重極限的運算與一元函數極限的運算完全一致.連續(1)設二元函數z=f(x, y)在點Po(x

5、o,y。)的某鄰域內的定義，如果lim f (x, y) = f (x。，y。)，則稱函數 z=f(x, y)在 Po(xo，y。)處連續，并稱x-ixoNT。Po(x0,yo)為 z = f (x, y)的連續點.(2)設二元函數z = f (x, y)在點Po(xo, yo)的某鄰域內的定義，如果lim 加=O,則稱函數z = f(x,y)在Po(xo, yo)處連續.其中4o2y-soAz - f (xo +&, yo +Ay) f (xo, yO)稱為 z f (x, y)在 Po(x°, y°)處的全增量.(3)若函數z = f(x,y)在D內每一點都連續

6、，稱函數在D內連續.(4)函數的不連續點稱為函數的間斷點.連續 函數 的性質(1)有界閉區域上的連續函數必為有界函數.(2)有界閉區域上的連續函數必最大值和最小值.(3)有界閉區域上的連續函數必取得介于函數最大值和最小值之間的任何值.二、基本考試題型及配套例題題型I判斷題(1)若 lim f (x, y) = A,則 lim f (x, y) = A .()x )0x0y zkx Qy0(2)若 lim f(x, y)存在,lim g(x, y)都不存在,則 lim f (x, y)+g(x, y)不存在. ()xXox >x)x >xoyyoyyoy 以解 (1)錯.(2)對.題

7、型II填空題y arctan (1)函數z= j x的定義域是22、4 f - ylim22sin(x y )解(1)二02-x2 ，所以 D =( x, y) |x2 + y2 <4,x ¥0.-y 0(2)limx_0y02sin(xy2)題型III計算題(1)(2)lim xysin 2 1 2 灣 x +y1lim (1 - xy)x ;x_0y0(1) lim(1 -xy)x = lim(1 -xy)xy y =(e)0 =1(2) 因為0 < xysinwxy，且 xm/y =0y 0由夾逼法則知， lim xy sin -r-1- =0 ./ x y題型IV

8、證明題(1)證明.x -y -lim 不存在.xT x yy j0(2)證明函數f(x,y)y2:0在(0,0)的連續性.證 (1)因為x - y lim xx y y =kx0,y2二0x - kx二 limx Q x kx所以 lim -y不存在.xz0x+y(2) 因為0 M. x2 y2一 2limx 0y 02 .2,x y=0 ,2所以 lim xy =0 = f(0,0),函數 x-022y Q . x yf(x, y)在(0,0)處連續.三、習題選解（習題8-1）4.確定下列函數的定義域：(1)(3)22x +y x .22 2x -x - y(5).4x-y2ln(1(6).

9、yz -arcsin ； x=ln(12-x22x y (8) u = arcsin z2 x a22y 0b2 -2 xa2+當M1,函數的定義域為 D=（x,y）|3ba2y <1b2 " .(2)，-x ： y:x,函數的定義域為D =( x, y) | y| <x.(3)x Jy >0,函數的定義域為D一-一24g(x, y) 10 Mx <-,0MyMx.2x - x222x - x2一y2一 y-0,即:02 2x y 22x - x-x -02_y022x y -x _022x - x2-y ： 0y2-X_0222x -x -y 0x <

10、x2 +y2 <2x,而y22x-x2-x-0無解.-y2 ：二0所以,函數的定義域為_22 一.D =( x, y) | x <x +y <2x.(5)4x - y2 -0-x2 -y2 >0,2-x函數定義域為 D=(x,y)|0<x2 +y2 <1, y2 <4x.(6)<11 -x2,函數定義域為 D =( x, y) |)<1.x2一y2222,-z >0,即 x +y +z <1,函數定義域為D 4( x, y) | x2 +y2+z2 <1.2Jx _ + yx2+y2Wz2,函數的定義域為D =( x, y

11、) | 0 Wx2 + y2 Wz2, z00.5.求下列極限:(1)2 23xy x ylim ;j 12 x y(2)lim arcsinq'x2 + y2 ； 1y >2(3)xylim L；y 5. xy 1 -1(4)limj 022sin3(x +y ).22'x y(5)(6)lim 一 xT：x y-.二(1)23xy x y lim x 1 x y y )23 * *103(2)1= arcsin 2lim arcsin x2Ty 12(3)xy lim R 6V +1-1=lim x0 y_Qxy( . xy 1 1)0=2 .xy-1(4)limx

12、0 yo22sin3(x y ) &22=x .y(5)lim 2x二;xy2=0 (6)因為lim (x2 +y2) =0, x0y 0所以lim 和 x Q x2 y)o x二.二y26.證明下列極限不存在:(1) limx 0 yolimx )0 y 03x y62x y證(1)因為1 k1 -k(k *1)，所以x y .lim不存在.x0 x - y(2)因為y03所以lim -x-y-不存在.中6+y28.2偏導數與全微分、主要內容回顧設函數z=f(x,y)在點(xo，y0)的某鄰域內有定義,(1)當y固定在yo而x有增量小時，f (xo +&,y°) f

13、(Xo,yo)稱為f (x, y)在(xo，yo)處對x的偏增量;(2)當x固定在x。而y有增量Ay時，f(x0,y。+削)一 f (x。，y。)稱為f (x, y)在(xo,yo)處對y的偏增量;(3 ) & = f (xO +Ax, yo +Ay) f (x°, y°)稱為 f (x, y)在(x°, y°)處的全增量.設函數z=f(x,y)在點(xo，yo)的某鄰域內有定義,若螞f(xox, y。)- f(x°, yo)lx存在，則稱此極限為f (x, y)在(x0,y0)處對x的偏導數，記作yQfex律或 fx(x°,

14、y。)(2)若 lim "xo,y。+Ay)二"xo,y。)存在，則稱此極限為f (x, y)在(xo，y。)處. x-Q.y對y的偏導數，記作生fxjOyy -y。，zy x=x。y -y。x=x。或 f y(x。，y。) y 二y。(3 )若z = f (x, y)在區域D內的每一點(x, y)處對x (或y )的偏導數都存在， 則這個偏導數為x,y的函數，此函數稱為 z=f(x,y)對x (或y)的偏導函數，記 為生(或與).不致混淆時也稱偏導函數為偏導數.x N(1) fx(x0, y0)表布空間曲線*z = f (x,y) 在點M (x。，y。，f (x。，y。)

15、的切線對x軸 、y = y。的斜率;(2) fy (x0, y0)表于空間曲線，z = f (x, y) 一在點M (x。，y。，f (x。，y。)的切線對y軸x。的斜率.一 階 偏 導 數若z = f(x, y)在區域D內的偏導函數仍在D內可導，則它們的偏導函數是 z=f(x,y)的二階偏導數，分別是：20 1 電、Z z £/、，,、0 1包、 z z 4 ,、，八() 2fxx(x, y) )( )fxy(x，y)ex extx的次 次arj=2r=2£ (出)=_H = fyx(x,y) ,£(芻=£4=fyy(x,y)22.22 2txcyty

16、 媒ycy的其中fxy(x，y)，fyx(x, y)稱為z = f (x, y)的二階混合偏導數同理可定義三階及三階以上的偏導數.二階及二階以上的偏導數統稱為高階偏導數.注忌：混行偏導數與求導順序侶關，但當fxy(x, y), fyx(x, y)在D內連續時，fxy(x,y) = fyx(x,y).全 微 分設函數z = f (x,y)在點(x, y)的某鄰域內有定義，如果全增量Az= f (xo +ix, yo + Ay) 一 f (x0, yo)可表小為 Az = AAx + BAy +o(P)其中A, B不依賴于ixdy,僅與x,y有關，P = J(Ax)2+(Ay)2 ,則稱函數z =

17、 f (x, y)在點(x, y)處可微，AAx + BAy稱為z = f (x, y)在點(x, y)的全微分， 記作 dz ,即 dz =Aix +BAy .若函數z=f(x,y)在D內的每一點處可微，稱函數的D內可微.可 微 的 性 質(1)可微的必要條件：若 z = f(x, y)在(x, y)處可微，則z = f(x, y)在(x,y)處可導，且 dz = ix +Ay國y(2)可微的充分條件：若 z = f(x, y)的偏導數,在(x,y)連續，則函數 yz = f (x, y)在該點必可微.(3)記 dx=ix,dy=Ay,貝U dz=dx + dy .txcy、基本考試題型及配

18、套例題題型I判斷題定存在.定連續.(1)若f(x, y)在點(x, y)處連續，則偏導數 , :X y(2)若f(x, y)在點(x, y)處可微，則偏導數 , x y解 (1 )錯. (2 )錯.題型II 計算題2二 2xZ：Z：Z：Z(1) Tz=yxln(xy),求丁,丁，丁,及 dz .ex 二y 二x2 ：xcyxy(2)討論函數 f (x,y) = x2 +y20,(x,y):(0,0)在點(0,0)處的可導性，連續性與可微性.(x,y) =(0,0)z=xyyj(xy) y.解 (1) =yx ln y ln(xy) +yx y =yx ln yln(xy) +yx. :xxyx

19、x 一， 一、2、=y In yln y ln(xy) x(3) 因為 fx(0,0)=第f (0 7,0) - f (0,0) _0,lx"0)=我f(0,0 . y) - f (0,0)=0 ，F Zxx 11 xy =ln y(y lnyln(xy) y ) y In y:xx x=xyxln yln(xy) +yxln(xy) +yx,ln y+ yx=yxxln yln(xy) +ln(xy) +ln y +1. .x；:ydz = dx + dy = yx In yln( xy) + y x - dx +xyx,ln( xy) + y x dy . 次 yxy所以f (x

20、, y)在(0,0)處兩個偏導數都存在.又 limTy*x y故 在(0,0)處的極限不存在，從而f(x, y)在(0,0)處不連續.x-y而 f - fx(0,0) ：x fy(0,0) y =f =2"2(=x)(y)當&T0,4yT0時，上式極限不存在，因而不是P的高階無窮小，故f (x, y)在(0,0)處 不可微.三、習題選解(習題8 2)1 .求下列函數的偏導數：(1) z =x4+y4 -4x2y2 ;(2) z = Jln(xy);(3) z =ex七y sin(xy2) ;(4) z ln tan- ;(5) z =arcsin x ;(6) z=(1+xy

21、)y;x2 y2y222 u =xz ；(8) u =vx +y +z .z 32、z, 32解 (1)=4x -8xy , 丁 =4y -8x y .二 x:yyx(2)K 包二Jy；x2 .ln(xy) 2x ln(xy) 7 2 .ln(xy)12y. ln(xy)(3) =ex'y sin(xy2) +ex'yy2 cos(xy2) , =2ex*y sin(xy2) +2xyex42y cos(xy2) :x；x(4)z x 2 x 12 /2x、=cot sec 一 =- csc(),.:xy y y y y.z , x 2 x / x 2x /2x、 =cot s

22、ec (- 2) - - 2 csc( ).:yy y y y y22xx y -x22.x yxy22y(x +y )(6) = y(1 xy)y,y = y2 (1xy)y ' .xzy為求一,萬程z =(1+ xy)兩邊取對數，得ln z = y ln(1+ xy), :V1 ：71兩邊對 y求導，得=ln(1+xy)+y x ,z ；:y1 xy.一二 z1 xy所以t =(1 xy)yln(1 xy)二 y(8)Laxz.:u:y_y=xz In xy-11u=xz In x ,zz:z_y=xz Inyy y -x(- 1) = - 2 xzlnx z zxx2y2z2.u

23、:yy 型二222二 zy z 、zz,x2 y2 z22.設 f(x,y)=q；25x2 y2 ,求 fx(2衣,3), fy(272,3).x-t-x一 y斛fx (x, y) =, fy(x, y) =,25 -x2 -y2. 25-x2 - y2fx(272,3) = 1 , fy(272,3)=-色底.43,曲線F=S+x2 +y2在(1,1,J3)處的切線與x軸正向所成的傾斜角是多少? y =1x11x2y2設切線與x軸正向的傾斜角為 a ,則tana =zx(1,1) =-1 , 口 = 364.f (x, y) =x (y 1)arcsin'-x ,求 fx(x,1)解

24、 因為 f (x,1) =x,所以 fx(x,1)=1.5.證明函數u=ln；x y滿足方程:.2二 u-2一 x.2+7"證 加 1, xx 加 1yy次x2y2x2 y2 c2z _,x2 *y2- 2-22x x y y y . x2 y2 x2 y2 x y.222222.222222二 u x-y-2x y- x 二 ux-y-2y x- y了 一(x2 y2)2(x2 y2)2' 歹一(x2y2)2-(x2y2)2r2u-2_x7 .求下列函數的二階偏導數:(1) z =arcsin(xy);(2) z = ln(x+Jx2 + y2).解（1）-xy.1 -(x

25、y)-x y.x-2.x.y(2).z1 -(xy)21 -(xy)2-(xy) -yxy-221 - (xy)221 -(xy)2-x y.1 -(xy)1 -(xy)十y2十y1-(xy)1 -(xy)-2-z.y .x21 - (xy)2yy, x2 - y2 (x -(x2 y2 )一22;z _ x y3，(x2 y2)萬-y x x2 y2-2,:z(x2 y2)2.2二 z一 2yx2 y2(xx2y2) - yx2 y2(xx2y2) , x2y2,2y2,x y2 22222(x y )(x ；x y )3/22、 -22x (x -y ) x y(x2 y2)2(x8 .

26、(1)設 z =xln(xy),求.3二 z(2) 設 z =x3 sin y +y3 sin x , 求解 （1）z , , 、 y .,、， 一 =ln(xy) +x =ln(xy) +1, .xxy-2二 z(2)-2 .x.3二 zxy二02 c 2 二3x3sin y + y cosx ,f2z3 .= 6xsin y -y sin x ,-3二 z-3 ,x人.3=6sin y - y cosx ,-4z2-3- =6 cos y -3y cosx .x ；yz =2x2 +3y2在點（10,8）處當Ax =0.2,Ay =0.3時的全增量及全微分.解 & =2(10 +0

27、.2)2 +3(8 +0.3)2 2 102 +3 82 =22.75 ,zx(10,8) =4x|x為=40 , zy(10,8) =6y|y3 = 48, dz =40 父0.2 +48 "3=22.4 .10 .求函數z=ln（3/x+4/y-1）當 取=0.03,旬=-0.02時在點（1,1）處的全微分.1 3 2一 ：x，Zy(1,1) =3 x 4 y -1(1,1)解zx (1,1)一3一3x 4 y -1(1,1)dz = M0.03 +- M (-0.02) =0.005 .3411 .求函數z=x2y3在點（2,1）處的全微分.解zx(2,_1) =2xy3|(2

28、,)zy(2,_1)=3x2y2 |(2)=12dz - -4dx 12dy12 .求下列函數的全微分:(1)22qx +v ;(2)xz =e cos y ;(3)y=ex ；(4)z =(xy)y;(5)yz=x ；(6)zu =(xy).解（1）zx,x2 y2zyy_丁y2dzdx一ydyx2 y2(2)=ex cos ydx - ex sin ydy(3)：:zzdz = dx dyt:xyyy d二y t 1=ex (- -)dx ex dy 二xxyd y二1 二.exdxe xdyx(4)In z = y ln( xy),:z= ln(xy) +y , 孚=(xy)yln( x

29、y) +1xy 二 yz ；zdz = dx dy 二 y2 (xy)y 4dx (xy)yln(xy) 1dy(5) du-y0L,L,dx dy dz =yzxyz4dx zxyz ln xdy yxyzlnxdz:x;y;z(6) du:u:xdx dy dz =yz(xy)z,dx xz(xy)z4dy (xy)z ln(xy)dz-y;z13 .計算ln( 3103+4/098-1)的近似值.解 設 f (x, y) =ln(處x +Vy -1),取 x =1, y =1,&x = 0.03, Ay = -0.02zxCM)zy(1,1)=3 x 4 y -1(1,1)復合函

30、數的偏導數r%i-.i-. rrr%；ztzcu 二z :v 二z 二 w =. T, 十 .l.、L、L、二 y 二 u :v v :V二 w二ydzFz du ；z dv=十dt ju dt v dt稱為z關于t的全導數.11dz =一 M0.03 十一 m(-0.02) =0.005 .34故 f (1.03,0.98) = f (1,1) +dz = 0.005 .8.3多元復合函數求導法則、主要內容回顧(1 )若函 數u =中(x, y), va(x, y)在點(x, y)處對x及對y的偏導數存在， z = f (u, v)在對應點(u ,v)對u及對v有連續的偏導數，則復合函數z

31、=f9(x, y),中(x, y)在點(x,y)處對x及對y的偏導數存在，且有公式.zjzufzv：:z:Zfufz jv；x；u；:xv:x.:yFujy.:v jy(2)對 z = f (u, v, w), u =邛(x, y), v=W(x, y), w =w(x, y)亦有.r.:zzt u；z二v二 z:w=+;L、L、f-.f-.f-.f-.二 x:u二 x二 v二xw二 x(3)對 z = f(u,x, y), u =u(x, y)有衛 f 二 u 二 f 二 z f 二 u 二 f=+一； 一=十一.x:ujxjxy：uy ；:y設z = f (u,v),u =中。),丫 =W

32、(t),則復合函數z= f (中(t)W(t)是t的一元函數，且隱函數的偏導數(1)設函數F(x,y)在Po(xo,yo)的某鄰域內具有連續偏導數，且F(xo,yo)=0Fy(X0,yo)#0,則方程F(x,y)=0在點Po(xo，yo)的某鄰域內可惟一確定一個具有連續導數的函數y = f (x),滿足y0 = f (x0),且dy =£x . dx Fy(2 )設函數F(x, y,z)在Po(x0,y0,zo)的某鄰域內具有連續偏導數，且F(x0, yo, Zo) =0, Fz(x0, yo,z°) #0,則方程 F(x, y,z) = 0在 Po(x°, y&

33、#176; z)的某鄰域內可惟一確定一個具有連續偏導數的函數z= f (x, y),滿足z0 = f (x0, y0),且：z _ Fx .：z _ Fy口 L ， 口 L .x Fz 二 y Fz、基本考試題型及配套例題題型I計算題(1)設 u =sin(xy+3z),其中 z=z(x,y)由方程 yz一 xz3 =1確定，求(2)設z =z(x, y)是由方程z3-3xyz = a3確定，求27 :z:x jy.2 - :z一 2二 x解 (1)方程2yz-xz3=1兩邊對x求導，2yz2一z3；x-3xz2 =0,fx得；z2 :x 2 yz -3xz(3)設z =1 f (xy) +

34、yf (x+y),其中f具有二階連續導數，求 x.uff z2yz -3xz2=ycos(xy 3z) 3cos( xy 3z).xfx；z jx一3z3: cos(xy 3z)(y 2)2 yz-3xz(2)設 F(x, y,z) =z3 -3xyz -a3 ,Fx =3yz,2Fy =3xz , Fy =3z 3xy,-：zFxFzyz2 xy-z:zFy xz2-7 Fz xy-z.z題型II.:x-12 f (xy)x= ;(")_x _ x2 , -f (xy)x證明題rz2rz(z y . )(xy -z ) -yz(x -2z 一)-y2 2(xy-z )2 3(xy-

35、z )1、+ f (xy)y +yf (x +y), x23 f(xy) 一 12 f (xy)y 一 y f (xy) y f (xy)y yf (x y) xxxx2fM/tfM+Mx*"設 z =xy +xF (u),而u =、，F (u)為可導函數，證明 xg+yz=z+xy x二 x 二 y= y+F+肝m)(-力=小-/(u),:z1=x +xF (u) =x +F (u), x所以 x.z,x+ y ) =x(y +F (u) -y F (u) +y(x +F '(u) =2xy + F (u) =z +xy .(1)(2)三、習題選解（習題8-3 ）1.求下列

36、函數的偏導數：22=u v -uv ,其中 u =xcosy,v =xsin y ；=arcsin(x +y +u), 其中 u =sin(xy);(3)= f(u,v),其中 u=,而,v=x+y;解（1）z:x22 xy、=f (x -y ,e y).文山：z：v=(2uv-v2)cosy (u2-2uv)siny.u 二x 二 v 二 x2 _=3x sin ycosy(cosy sin y). =(2uv -v2)(-xsin y) (u2 -2uv)xsin y-y.:u33. 3=x cos y +sin ysin 2y(sin y+cosy).開.:u.u:x1 -(x y u)

37、2，、1ycos(xy) 21 -(x y u)y cos(xy) 11 -x y sin(xy)2jzy.:u.:u 7£-y-(x y u)2xcos(xy)1 -(x y u)2xcos(xy) - 1-x y sin(xy)2(3) xf jj.:u入f y f I- “，：:u 2 xy:v+f2 . xy 二 u二 v:z f .:u=rr-r-x:u.:y v .:y開 開=丁= +.n / 個/ 個口u 2 xy ： v 2 1 xy 二 u二 v(4)設 u2xy-y ,v =ex.z；f ；u.f 二 v c=二2xL L,L L.u :x:v xf . xyye

38、 .u.f 二 uf :v二 fxy=二-2y一 xe.u開 ,Vf2.求下列函數的全導數:(1) z =eu"v ,其中 u =sint, v =t2 ；(2) z =arcsin(u _v),其中 u=3t,v=4t3;(3) z =arctan(xy),其中 y = ex.1 f du f dv uNvuNv 2sint/t32用牛 (1) dz=+=ecost -2e3t =e (cost -6t ) 力 dt；:v dt22 2) dz=/du J_dv_13112t2 -3 12t-(x 1)ex1 (xex)2：u dt：v dt 1 -(u -v)21 -(u -v)

39、21_(3t4t4)2(3)dz='5 f x 4 - y 2:V dx：x1 (xy) 1 (xy)3.證x - 3y 3x yzx 2 , - zx2, -zx2 , -zx2位 z = f (u, v), u =, v ='功力() +() =() 十()22ju N；:xjy.z；z；:u； zNz1； z3 T T ,:x二u:xcvexcu2cv22_義工u十20 _£z( -3)十1:x二 u :x二 v 二x二 u2; v 2(馬2(馬2 =( ± 1 .它！2)2FxFyFu 2Fv 2fZ/ 甚、,fZ 1.2 /：z、2 ,：z、2（一

40、-） 二 二（） （一） 二 u 2 二 v 2二 u二 v4.u = f (r,力，r = x2 y2,1 - arctan 證明 x(當2 (當2=(當2=(當2 二 xy t r r ： r證司由 x +為x2_ xcuycui I ； ：x2y汨1 .百一xy2 ：r x2 y2 汨,x.:u_ ；:u y :u x丁y2-"1 d)2xy fu x :u x2 y2 ：r x2 y25.-y(-)2(-)222x y=(當2.r求由下列方程確定的函數y )2y_: ux ：:u)2x2 y2 vx2 . y2 jrx2 y2 ：V(當J(當24(當2.'t1.r r

41、2 :口y(x)的導數":dxx yy xF (x, y) =x -y , y -xFxy J xyx 1=yx -y Iny, Fy=x In x -xy ,dy dxFxFyyxyy x In yxy In x - xyxJ6.求由下列方程確定的函數222(1) 土+上+三1;222 I，a b cz =z(x, y)的偏導數:22 cos x cos2解(1)設 F(x,y,z)=三 a2 L b2則Fx菖 a,Fy名Fb2，Fz2z7- -12，c2z從而 Fx:xFz2c x2a z.:zyc2yb2z(2)設 F (x, y, z)二cos則Fx=-2 cosxsin x

42、 = -sin 2x,同理Fy=一sin 2y,Fz = sin 2z ,從而.zFx sin 2x:xFzsin 2z.:z-:yFZFzsin 2ysin 2z8.4偏導數的幾何應用、主要內容回顧空間 曲線 的切線 及法 平面(1 )設的參數方程為 x =x(t), y = y(t), z =z(t),其中 x(t), y(t), z(t)都是 t 的 可導函數，當t=to時，xo =x(to),yo=y(to) ,zo=z(t°)對應曲線上的定點Mo(xo, yo,zo) , x(to), y'(to),z'(to)不全為零，則 在 Mo 的切向量為x(to),

43、y(to),zto),切線方程為xx0 =V V。= ZZ0x（to）yt。）zto）程為x'（to）（x x。）十y'（to）（y y。）十z'（to）（z z。）=。.（2）若的方程為y=y（x）, z = z（x）, y（x）, z（x）都是x的可導函數，則在M0（x。，y。*。）的切向量為1,y （xq）,z（x。）,切線方程為：x x。_yy。_zz。1y'（x。） zx。）法平的方程為：（x - x。）+丫卜。）（丫 - y。）+26。）（2-2。）=。.空間 曲面 的切 平面 及法線（1）隱式萬程情形:設曲面工的方程為F（x, y, z）=。，M。

44、（x。，y。，z。）為工上的一點，F（x,y,z）在M。的偏導數連續且不全為零，則Z在M。的法向量為Fx（x。, 丫。*。）下丫（*。0。*。）下2（*。，y。*。）,切平卸方程為：5*的0。*。）（* x。） +Fy（x。，丫。7。）（丫 y。）+Fz（x。，丫。*。）（2 z。）=。法線方程為：xx。_ y y。z-z。Fx,y-z。） FvIx。3。？。） Fz（x。, y。7。）（2）顯式方程情形：設曲面工的方程為z = f（x, y）, M。（x。，y。，z。）為工上的一點，z=f（x,y）在（R,y。）處有連續偏導數，則 工在M。的法向量為-fx,y。）,-fy乂。）/切平卸方程為

45、：fx（x。，y0）（x x。）+ fy（x0, y0）（y y。）一（z z。）=。法線方程為：x-x。_ y y。_z-z。fxX.y。） fy（xD,y。）-i二、基本考試題型及配套例題題型I計算題（1）求空間曲線x =°t4 ,y =1t3,z =L2上相應于t =1處的切線及法平面方程.432(2)求曲面ez_z+xy=3在(2,1,0)處的切平面及法線方程.(1) x,=t3,y'=t2,z'=t ,切向量為1,1,1,切點為2切線方程為1x 一411y 一31 z 一21法平面方程為x-1 y411+z =0,即 x+y+z = 321312貝U Fx

46、=y,Fy =x, Fz =ez -1 ,(2) 設 F(x, y,z) =ez _z+xy _3 ,法向量為 1,2,0,切平面方程為(x 2) +2(y 1) =0 ,即 x+2y4=0.法線方程為x -2 y -1 z1 2 0 °、習題選解(習題8 4)1 .求下列各曲線在指定點處的切線方程和法平面方程:t(1) x = t -sint, y =1 -cost, z =4sin - ,在 t 二 一時;22(2) x =acost, y =asint,z =bt ,在 t = 一時； 2t 1 Y 2，.(3) x=,y=,z=t ，在 t=1 時.1 t t解(1) =1

47、cost, =sint, =2cos, dtdt dt 2切點坐標為(21,1,2&),切線的方向向量為 s=1,1,V2, 2x -1切線方程為2=y1=zZ等.11.2法平面方程為x +1 + y 1 +V2(z 22) =0 ,2即 x + y +y'2z4=0.2dx . , dy , dz 卜(2) 一 = -asint, 一=acost, 一=b ,dtdtdt切點坐標為(0,a,獨)，切向量為s =f,0,b, 2二 b z -切線方程為x _ _y _亙 2_二 2ax -bz + b =0 .-a 0 b法平面方程為-ax +b(z -) =0 ,即2(3)

48、dx=1 曳=_I%=2tdt (1 t)2 , dt t2 , dt ，切點坐標為(1,2,1),切線的方向向量為s=1,_1,2, 241 x 一切線方程為一2 =義二2 =".1-1241 1法平面萬程為 一(x ) (y -2) +2(z -1) =0 即 2x-8y +16z1 =0 . 422 .求下列各曲面在指定點處的切平面與法線方程：(1) 3x2+y2z2=27 在點(3,1,1)處；(2)x2xy8x+z+5 =0 在點(2,-1,3)處； z=x2+y21 在點(2,1,4)處.解(1)設 F(x,y,z) =3x2 +y2 -z2 -27 ,則 Fx =6x, Fy =2y, Fz =-2z ,在(3,1,1)處,n =18,2, -2, 切平面方程為 18(x 3) +2(y 1) 2(z1)=0 ,即 9x+yz27 = 0. 法線方程為 I =紀=三二1 .91-1(2 ) 設 F(x, y,z) =x2 -xy -8x +z +5,則Fx =2x y 8, Fy = -x, Fz =1在(2,4,1)處，n =-1,-2,1.切平面方程為-(x-2) -2(y+3)+z-1 = 0,即 x + 2yz + 5=0.法線方程