1、第十三章 期權的定價第一節 期權價格的特性 一、 內在價值和時間價值期權價格等于期權的內在價值加上時間價值。 （一）期權的內在價值期權的內在價值（ ）是指多方行使期權時可以獲得的收益的現值。歐式看漲期權的內在價值為()的現值。無收益資產歐式看漲期權的內在價值等于(), 而有收益資產歐式看漲期權的內在價值等于 ()。無收益資產美式看漲期權價格等于歐式看漲期權價格,其內在價值也就等于()。有收益資產美式看漲期權的內在價值也等于 ()。 2003, , * 無收益資產歐式看跌期權的內在價值為X ()，有收益資產歐式看跌期權的內在價值為X ()。無收益資產美式期權的內在價值等于，有收益資產美式期權的內

2、在價值等于。 當然，當標的資產市價低于協議價格時，期權多方是不會行使期權的，因此期權的內在價值應大于等于0。 2003, , *（二）期權的時間價值期權的時間價值（ ）是指在期權有效期內標的資產價格波動為期權持有者帶來收益的可能性所隱含的價值。顯然，標的資產價格的波動率越高，期權的時間價值就越大。此外，期權的時間價值還受期權內在價值的影響。以無收益資產看漲期權為例，當 ()時，期權的時間價值最大。當 ()的絕對值增大時，期權的時間價值是遞減的，如圖13.1所示。 2003, , * 2003, , *二、 期權價格的影響因素（一）標的資產的市場價格與期權的協議價格（二）期權的有效期 （三）標的

3、資產價格的波動率（四）無風險利率（五）標的資產的收益 2003, , *三、期權價格的上、下限（一）期權價格 的上限1看漲期權價格的上限在任何情況下，期權的價值都不會超過標的資產的價格。因此，對于對于美式和歐式看跌期權來說，標的資產價格都是看漲期權價格的上限： （13.1）其中，c代表歐式看漲期權價格，C代表美式看漲期權價格，S代表標的資產價格。cSCS和 2003, , *2看跌期權價格的上限由于美式看跌期權多頭執行期權的最高價值為協議價格（X），因此，美式看跌期權價格（P）的上限為X： （13.2） 由于歐式看跌期權只能在到期日（T時刻）執行，在T時刻，其最高價值為X，因此，歐式看跌期權價

4、格（p）不能超過X的現值： （13.3） 其中，r代表T時刻到期的無風險利率，t代表現在時刻。PX()r T tpXe 2003, , *（二）期權價格的下限1歐式看漲期權價格的下限（1）無收益資產歐式看漲期權價格的下限為了推導出期權價格下限，我們考慮如下兩個組合： 組合A：一份歐式看漲期權加上金額為 的現金； 組合B：一單位標的資產T時刻，組合A 的價值為： 而組合B的價值為。max(,)TSX()r T tXe 2003, , * 由于 ，因此，在t時刻組合A的價值也應大于等于組合B，即: ()S 所以 c() 由于期權的價值一定為正，因此無收益資產歐式看漲期權價格下限為 （13.4） （

5、2）有收益資產歐式看漲期權價格的下限 我們只要將上述組合A的現金改為 ，并經過類似的推導，就可得出有收益資產歐式看漲期權價格的下限為： （13.5） ()max,0r T tcSXemax(,)TTSXS()max,0r T tcSDXe()r T tXe 2003, , *2歐式看跌期權價格的下限（1）無收益資產歐式看跌期權價格的下限考慮以下兩種組合： 組合C：一份歐式看跌期權加上一單位標的資產 組合D：金額為 的現金在T時刻，組合C的價值為：（，X）假定組合D的現金以無風險利率投資，則在T時刻組合D的價值為X。由于組合C的價值在T時刻大于等于組合D，因此組合C的價值在t時刻也應大于等于組合

6、D，即： ()()r T tr T tpSXepXeS()r T tXe 2003, , * 由于期權價值一定為正，因此無收益資產歐式看跌期權價格下限為： （13.6） （2）有收益資產歐式看跌期權價格的下限 我們只要將上述組合D的現金改為 就可得到有收益資產歐式看跌期權價格的下限為： （13.7） 從以上分析可以看出，歐式期權的下限實際上就是其內在價值。 ()max,0r T tpXeS()max,0r T tpDXeS()r TtXe 2003, , *四、提前執行美式期權的合理性（一）提前執行無收益資產美式期權的合理性1看漲期權由于現金會產生收益，而提前執行看漲期權得到的標的資產無收益，

7、再加上美式期權的時間價值總是為正的，因此我們可以直觀地判斷提前執行是不明智的。為了精確地推導這個結論，我們考慮如下兩個組合： 組合A：一份美式看漲期權加上金額為 的現金 組合B：一單位標的資產T時刻組合A的價值為（，X），而組合B的價值為，可見組合A在T時刻的價值一定大于等于組合B。即如果不提前執行，組合A的價值一定大于等于組合B。()r T tXe 2003, , * 若在 時刻提前執行，則此時組合A的價值為： ，而組合B的價值為 。 由于 因此 即：若提前執行美式期權，組合A的價值將小于組合B。 比較兩種情況可得：提前執行無收益資產美式看漲期權是不明智的。因此，同一種無收益標的資產的美式看

8、漲期權和歐式看漲期權的價值是相同的，即： （13.8） 根據（13.4），我們可以得到無收益資產美式看漲期權價格的下限： （13.9）()r TSXXeS,0Tr()r T tXeX()max,0r T tCSXe 2003, , * 2看跌期權為考察提前執行無收益資產美式看跌期權是否合理，我們考察如下兩種組合： 組合A：一份美式看跌期權加上一單位標的資產 組合B：金額為 的現金若不提前執行，則到T時刻，組合A的價值為（X，），組合B的價值為X，組合A的價值大于等于組合B。若在t時刻提前執行，則組合A的價值為X，組合B的價值為()，因此組合A的價值也高于組合B。()r T tXe 2003,

9、, * 故：是否提前執行無收益資產的美式看跌期權，主要取決于期權的實值額（）、無風險利率水平等因素。一般來說，只有當S相對于X來說較低，或者r較高時，提前執行無收益資產美式看跌期權才可能是有利的。 由于美式期權可提前執行，因此其下限比（13.6）更嚴格： （13.10）PXS 2003, , *（二 ）提前執行有收益資產美式期權的合理性1看漲期權由于在無收益的情況下，不應提前執行美式看漲期權，據此可知：在有收益情況下，只有在除權前的瞬時時刻提前執行美式看漲期權方有可能是最優的。我們先來考察在最后一個除權日（）提前執行的條件。如果在時刻提前執行，則期權多方獲得的收益。若不提前執行，則標的資產價格

10、將由于除權降到。根據式（13.5），在時刻期權的價值（） ()max,0nr T tnnnnCcSDXe 2003, , * 因此，如果： 即： （13.11） 則在提前執行是不明智的。 相反，如果 （13.12） 則在提前執行有可能是合理的。實際上，只有當時刻標的資產價格足夠大時，提前執行美式看漲期權才是合理的。 同樣，在時刻不能提前執行有收益資產的美式看漲期權條件是： （13.13） 由于存在提前執行更有利的可能性，有收益資產的美式看漲期權價值大于等于歐式看漲期權，其下限為： （13.14） ()nr T tnnnSDXeSX()1nr T tnDXe()1nr T tnDXe1()1ii

11、r ttiDXe()max,0r T tCcSDXe 2003, , *2看跌期權由于提前執行有收益資產的美式期權意味著自己放棄收益權，因此收益使美式看跌期權提前執行的可能性變小，但還不能排除提前執行的可能性。通過同樣的分析，我們可以得出美式看跌期權不能提前執行的條件是： 由于美式看跌期權有提前執行的可能性，因此其下限為： （13.15）1()()11iinr ttir T tnDXeDXemax(,0)PDXS 2003, , *五、期權價格曲線的形狀（一）看漲期權價格曲線無收益資產看漲期權價格曲線如圖13-2所示。有收益資產看漲期權價格曲線與圖13.2類似，只是把X ()換成X ()。 2

12、003, , *（二）看跌期權價格曲線1歐式看跌期權價格曲線無收益資產歐式看跌期權價格曲線如圖13-3所示。 圖13.3 無收益資產歐式看跌期權價格曲線有收益資產期權價格曲線與圖13.3相似，只是把 換為()r T tXe()r T tDXe 2003, , *2美式看跌期權價格曲線無收益資產美式看跌期權價格曲線如圖13-4所示。有收益美式看跌期權價格曲線與圖13.4相似，只是把X換成。 2003, , *六、看漲期權與看跌期權之間的平價關系（一）歐式看漲期權與看跌期權之間的平價關系1無收益資產的歐式期權 考慮如下兩個組合： 組合A：一份歐式看漲期權加上金額為 的現金 組合B：一份有效期和協議

13、價格與看漲期權相同的歐式看跌期權加上一單位標的資產在期權到期時，兩個組合的價值均為()。由于歐式期權不能提前執行，因此兩組合在時刻t必須具有相等的價值，即： （13.16） 這就是無收益資產歐式看漲期權與看跌期權之間的平價關系。它表明歐式看漲期權的價值可根據相同協議價格和到期日的歐式看跌期權的價值推導出來，反之亦然。如果式（13.16）不成立，則存在無風險套利機會。套利活動將最終促使式（13.16）成立。()r T tXe()r T tcXepS 2003, , *2有收益資產歐式期權 在標的資產有收益的情況下，我們只要把前面的組合A中的現金改為 ，我們就可推導有收益資產歐式看漲期權和看跌期權

14、的平價關系： （13.17）()r T tcDXepS()r T tXe 2003, , *（二）美式看漲期權和看跌期權之間的關系1無收益資產美式期權。由于Pp,從式（13.16）中我們可得： 對于無收益資產看漲期權來說，由于，因此： （13.18）為了推出C和P更嚴密的關系，我們考慮以下兩個組合： 組合A：一份歐式看漲期權加上金額為X的現金 組合B：一份美式看跌期權加上一單位標的資產如果美式期權沒有提前執行，則在T時刻組合B的價值為()，而此時組合A的價值為。因此組合A的價值大于組合B。如果美式期權在時刻提前執行，則在時刻，組合B的價值為X，而此時組合A的價值大于等于X。因此組合A的價值也大

15、于組合B。()r T tPcXeS()r T tPCXeS()r T tCPSXe 2003, , * 這就是說，無論美式組合是否提前執行，組合A的價值都高于組合B，因此在t時刻，組合A的價值也應高于組合B，即： 由于，因此， 結合式（13.18），我們可得： （13.19） 由于美式期權可能提前執行，因此我們得不到美式看漲期權和看跌期權的精確平價關系，但我們可以得出結論：無收益美式期權必須符合式（13.19）的不等式。()r T tSXCPSXe 2003, , *2有收益資產美式期權 同樣，我們只要把組合A的現金改為，就可得到有收益資產美式期權必須遵守的不等式： （） （13.20） 20

16、03, , *第二節第二節 期權組合的盈虧分布期權組合的盈虧分布 期權交易的精妙之處在于可以通過不同的期權品種構成眾多具有不同盈虧分布特征的組合。 投資者可以根據各自對未來標的資產現貨價格概率分布的預期，以及各自的風險收益偏好，選擇最適合自己的期權組合。 在以下的分析中同組合中的期權標的資產均相同。 2003, , * 一、標的資產與期權組合一、標的資產與期權組合通過組建標的資產與各種期權頭寸的組合，我們可以得通過組建標的資產與各種期權頭寸的組合，我們可以得到與各種期權頭寸本身的盈虧圖形狀相似但位置不同到與各種期權頭寸本身的盈虧圖形狀相似但位置不同的盈虧圖，如圖的盈虧圖，如圖13.5表示。表示

17、。圖圖13.5（a）反映了標的資產多頭與看漲期權空頭組合的）反映了標的資產多頭與看漲期權空頭組合的盈虧圖，該組合稱為有擔保的看漲期權（盈虧圖，該組合稱為有擔保的看漲期權（ ）空頭。標）空頭。標的資產空頭與看漲期權多頭組合的盈虧圖，與有擔保的資產空頭與看漲期權多頭組合的盈虧圖，與有擔保的看漲期權空頭剛好相反。的看漲期權空頭剛好相反。圖圖13.5（b）反映了標的資產多頭與看跌期權多頭組合的）反映了標的資產多頭與看跌期權多頭組合的盈虧圖，標的資產空頭與看跌期權空頭組合的盈虧圖盈虧圖，標的資產空頭與看跌期權空頭組合的盈虧圖剛好相反。從圖剛好相反。從圖13.5可以看出可以看出, 組合的盈虧曲線可以直組合

18、的盈虧曲線可以直接由構成這個組合的各種資產的盈虧曲線疊加而來。接由構成這個組合的各種資產的盈虧曲線疊加而來。 2003, , * 2003, , *二、二、 差價組合差價組合 差價（）組合是指持有相同期限、不同協議價差價（）組合是指持有相同期限、不同協議價格的兩個或多個同種期權頭寸組合（即同是看格的兩個或多個同種期權頭寸組合（即同是看漲期權，或者同是看跌期權），其主要類型有漲期權，或者同是看跌期權），其主要類型有牛市差價組合、熊市差價組合、蝶式差價組合牛市差價組合、熊市差價組合、蝶式差價組合等。等。1 牛市差價（牛市差價（ ）組合。）組合。 牛市差價組合是由一份看漲期權多頭與一份同牛市差價組合

19、是由一份看漲期權多頭與一份同一期限較高協議價格的看漲期權空頭組成。由一期限較高協議價格的看漲期權空頭組成。由于協議價格越高，期權價格越低，因此構建這于協議價格越高，期權價格越低，因此構建這個組合需要初始投資。個組合需要初始投資。 2003, , *牛市差價組合 牛市差價組合在不同情況下的盈虧可用表13.2表示。 表13.2 牛市差價期權的盈虧狀況 表13.2結果可用圖13.6表示，從圖可看出，到期日現貨價格升高對組合持有者較有利，故稱牛市差價組合。標的資產價格范圍 看漲期權多頭的盈虧 看漲期權空頭的盈虧 總盈虧 X2 X1c1 X22 X2X12c1X1X2 X1c1 c2 X12c1 X1

20、1 c2 c2c1 2003, , * 2003, , * 通過比較標的資產現價與協議價格的關系，我們可以把牛市差價期權分為三類：兩虛值期權組合，指兩個協議價格均比現貨價格高；多頭實值期權加空頭虛值期權組合，指多頭期權的協議價格比現貨價格低，而空頭期權的協議價格比現貨價格高；兩實值期權組合，指兩個協議價格均比現貨價格低。 此外，一份看跌期權多頭與一份同一期限、較高協議價格的看跌期權空頭組合也是牛市差價組合，如圖13.7所示。 比較看漲期權的牛市差價與看跌期權的牛市差價組合可以看，前者期初現金流為負，后者為正，但前者的最終收益可能大于后者。 2003, , * 2003, , *2 熊市差價組合

21、熊市差價（ ）組合剛好跟牛市差價組合相反，它可以由一份看漲期權多頭和一份相同期限、協議價格較低的看漲期權空頭組成（如圖13.8所示）也可以由一份看跌期權多頭和一份相同期限、協議價格較低的看跌期權空頭組成（如圖13.9所示）。 看漲期權的熊市差價組合和看跌期權的熊市差價組合的差別在于，前者在期初有正的現金流，后者在期初則有負的現金流，但后者的最終收益可能大于前者。通過比較牛市和熊市差價組合可以看出，對于同類期權而言，凡“買低賣高”的即為牛市差價策略，而“買高賣低”的即為熊市差價策略，這里的“低”和“高”是指協議價格。兩者的圖形剛好與X軸對稱。 2003, , * 2003, , * 2003,

22、, * 3 蝶式差價組合蝶式差價組合 蝶式差價（蝶式差價（ ）組合是由四份具有相同期限、不同協議價）組合是由四份具有相同期限、不同協議價格的同種期權頭寸組成。格的同種期權頭寸組成。若若X1 X2 X3，且，且X2=（X13）/2，則蝶式差價組合有如，則蝶式差價組合有如下四種：下四種： 看漲期權的正向蝶式差價組合，它由協議價格分別為看漲期權的正向蝶式差價組合，它由協議價格分別為X1和和X3的看漲期權多頭和兩份協議價格為的看漲期權多頭和兩份協議價格為X2的看漲期權空的看漲期權空頭組成，其盈虧分布圖如圖頭組成，其盈虧分布圖如圖13.10所示；所示； 看漲期權的反向蝶式差價組合，它由協議價格分別為看漲

23、期權的反向蝶式差價組合，它由協議價格分別為X1和和X3的看漲期權空頭和兩份協議價格為的看漲期權空頭和兩份協議價格為X2的看漲期權多的看漲期權多頭組成，其盈虧圖剛好與圖頭組成，其盈虧圖剛好與圖13. 10相反；相反； 看跌期權的正向蝶式差價組合，它由協議價格分別為看跌期權的正向蝶式差價組合，它由協議價格分別為X1和和X3的看跌期權多頭和兩份協議價格為的看跌期權多頭和兩份協議價格為X2的看跌期權空的看跌期權空頭組成，其盈虧圖如圖頭組成，其盈虧圖如圖13.11所示。所示。 看跌期權的反向蝶式差價組合，它由協議價格分別為看跌期權的反向蝶式差價組合，它由協議價格分別為X1和和X3的看跌期權空頭和兩份協議

24、價格為的看跌期權空頭和兩份協議價格為X2的看跌期權多的看跌期權多頭組成，其盈虧圖與圖頭組成，其盈虧圖與圖13.11剛好相反。剛好相反。 2003, , *圖13.10 看漲期權的正向蝶式差價組合 圖13.11 看跌期權的正向蝶式差價組合 2003, , * 三、三、 差期組合差期組合差期（差期（ ）組合是由兩份相同協議價格、不同期限的同種期）組合是由兩份相同協議價格、不同期限的同種期權的不同頭寸組成的組合。它有四種類型：權的不同頭寸組成的組合。它有四種類型： 一份看漲期權多頭與一份期限較短的看漲期權空頭的組一份看漲期權多頭與一份期限較短的看漲期權空頭的組合，稱看漲期權的正向差期組合。合，稱看漲期權的正向差期組合。 一份看漲期權多頭與一份期限較長的看漲期權空頭的組一份看漲期權多頭與一份期限較長的看漲期權空頭的組合，稱看漲期權的反向差期組合。合，稱看漲期權的反向差期組合。 一份看跌期權多頭與一份期限較短的看跌期權空頭的組一份看跌期權多頭與一份期限較短的看跌期權空頭的組合，稱看跌期權的正向差期組合。合，稱看跌期權的正向差期組合。 一份看跌期權多頭與一份期限較長的看跌期權空頭的組一份看跌期權多頭與一份期限較長的看跌期權空頭的組合，稱看跌期權的反向差期組合。合，稱看跌期權的反向差期組合。看漲期權的正向差期組合的盈虧分布情況見表看漲期權的正向差期組合的盈虧分布情況見表13.