1、第第4 4章章 頻率域頻率域圖像增強圖像增強Filter : A device or material for suppressing or minimizing waves or oscillations of certain frequencies.Frequency : The number of times that a periodic function repeats the same sequence of values during a unit variation of the independent variable. Websters New Collegiate Dic

2、tionary4.1 背景：背景：4.2 傅里葉變換和頻率域傅里葉變換和頻率域簡介簡介4.2.1 一維一維傅里葉變換及其反變換傅里葉變換及其反變換 如果如果f (x) 為實函數，它的傅立葉變換通常是復數形為實函數，它的傅立葉變換通常是復數形式，即式，即： 也可表為：也可表為： uIjuRuF ujeuFuF一維一維連續連續傅里葉變換傅里葉變換: : duuxjuFxfuFdxuxjxfuFxf2exp2exp1 -正變換：正變換：反變換：反變換：式中：式中：模模 稱為稱為f (x)的的傅立葉譜傅立葉譜。 角度角度 稱為稱為相角（相位譜）相角（相位譜）。 uIuRuF22 uRuIarctgu一

3、維離散一維離散傅里葉變換傅里葉變換 1, 1 ,0; 1, 1 ,0其中：/2exp/2exp11010NuNxNuxjuFxfNuxjxfNuFNuNx正變換：正變換：反變換：反變換：一維傅里葉變換一維傅里葉變換的例子的例子 矩形函數的傅立葉變換譜是：矩形函數的傅立葉變換譜是： uauauc)sin()(sin4.2.2 二維二維傅里葉變換及其反變換傅里葉變換及其反變換 vuvyuxjvuFyxfvuFyxvyuxjyxfvuFyxfdd2exp,dd2exp,1 -正變換：正變換：反變換：反變換：二維函數的二維函數的傅立葉譜，相位（譜）傅立葉譜，相位（譜）和和功率譜功率譜分別為：分別為：v

4、uIvuRvuEvuRvuIarctgvuvuIvuRvuF,222122二維連續二維連續傅立葉變換：傅立葉變換：二維二維離散離散傅立葉變換傅立葉變換(DFT)1, 1 ,0; 1, 1 ,0/2exp,1, 1 ,0; 1, 1 ,0/2exp,1,10101010 NyMxNvyMuxjvuFyxfNvMuNvyMuxjyxfMNvuFMuNvMxNy正變換：正變換：反變換：反變換： 離散時離散時是在離散點上取值。是在離散點上取值。傅立葉變換的傅立葉變換的零頻率零頻率分量分量)22. 2 . 4(),(1)0 , 0(1010MxNyyxfMNF傅立葉變換時傅立葉變換時頻率原點的平移問題頻

5、率原點的平移問題直接直接作傅里葉變換作傅里葉變換乘乘 后，再變換后，再變換yx ) 1(2/, 2/) 1(,NvMuFyxfyx另一個另一個矩形函數矩形函數的傅里葉變換的傅里葉變換 顯示時為了看到高頻信息，采用了顯示時為了看到高頻信息，采用了對數變換處理對數變換處理。 4.2.3 頻率域濾波頻率域濾波 圖像和其頻譜的定性聯系圖像和其頻譜的定性聯系。 頻域圖像處理頻域圖像處理(濾波濾波)的步驟的步驟:1. 用用 乘以輸入圖像來進行中心變換；乘以輸入圖像來進行中心變換；yx ) 1(2. 用用(1)的結果作圖像的離散傅立葉變換的結果作圖像的離散傅立葉變換(DFT)，即，即 ；),(vuF3. 用

6、濾波器函數用濾波器函數 乘以乘以 ；),(vuF),(vuH4. 計算計算(3)中結果的反中結果的反DFT；5. 得到得到(4)中結果的實部；中結果的實部；6. 用用 乘以乘以(5)中的結果，獲得濾波后的圖像。中的結果，獲得濾波后的圖像。yx ) 1(用流程表示的完整的頻域濾波過程用流程表示的完整的頻域濾波過程 包括了包括了前處理和后處理過程前處理和后處理過程。對對頻域濾波頻域濾波的初步定性認識的初步定性認識 去掉去掉0 0頻率分量的圖像頻率分量的圖像（陷波濾波器）（陷波濾波器）低頻主要決定圖像的總體灰度顯示低頻主要決定圖像的總體灰度顯示高頻決定圖像的細節部分（邊緣、噪聲）高頻決定圖像的細節部

7、分（邊緣、噪聲）高通濾波高通濾波低通濾波低通濾波頻率域濾波頻率域濾波簡介簡介加常數的高通濾波(保留0頻率)4.2.4 空間域濾波空間域濾波和和頻率域濾波頻率域濾波之間的之間的對應關系對應關系 傅立葉變換是一個線性變換傅立葉變換是一個線性變換，所以我們可用，所以我們可用線性系統理論線性系統理論來描述上述濾波過程：來描述上述濾波過程：空域濾波過程空域濾波過程),(),(),(yxhyxfyxg),(),(),(vuHvuFvuG頻域濾波過程頻域濾波過程卷積過程卷積過程),(),(yxhyxf),(),(vuHvuF傅立葉變換傅立葉變換(4.2.31),(yxh傅立葉變換傅立葉變換),(vuH101

8、0),(),(1),(),(MmNnnymxhnmfMNyxhyxf卷積：),(),(yxhyxf),(),(vuHvuF傅立葉變換傅立葉變換(4.2.32)典型典型空域濾波器空域濾波器和和頻域濾波器頻域濾波器的對應形式的對應形式 采用高斯函數來說明采用高斯函數來說明。 設設頻域頻域高斯濾波器函數高斯濾波器函數為：為：)38. 2 . 4()(222uAeuH相應的相應的空域空域濾波器函數濾波器函數為：為：)39. 2 . 4(2)(2222xAexh域濾波器域濾波器和和頻域濾波器頻域濾波器的對應形式的對應形式是一種空域低通濾波。是一種空域低通濾波。 由高斯函數構成的頻域由高斯函數構成的頻域高

9、通高通濾波函數為：濾波函數為：)40. 2 . 4()(22221222uuBeAeuH21;BA取相應的相應的空域空域濾波器函數濾波器函數為為：)39. 2 . 4(22)(222222122221xxBeAexh高斯函數構成的頻域高斯函數構成的頻域高通高通濾波函數濾波函數頻域定義的濾波函數頻域定義的濾波函數4.3.1 理想低通濾波器（理想低通濾波器（ILPF）)2 . 3 . 4(),(0),(1),(00DvuDDvuDvuH是截止頻率，是截止頻率， 是頻率點是頻率點 到濾波器中心的距離。到濾波器中心的距離。 0D),(vuD),(vu)3 . 3 . 4()()(),(212222NM

10、vuvuD理想低通濾波器的圖像表示理想低通濾波器的圖像表示理想低通濾波器理想低通濾波器的應用效果實例的應用效果實例 圖圖b中圓的中圓的半徑半徑為：為： 5 15 30 80 230 (像素像素)R=5R=15R=30R=80R=230從圖像的角度對振鈴現象的解釋從圖像的角度對振鈴現象的解釋abdc巴特沃思巴特沃思低通低通濾波器（濾波器（BLPF） 巴特沃思低通濾波器的巴特沃思低通濾波器的頻域濾波函數頻域濾波函數為：為：)6 . 3 . 4(/ ),(11),(20nDvuDvuH是截止頻率，是截止頻率， 是頻率點是頻率點 到濾波器中心的距離。到濾波器中心的距離。 0D),(vuD),(vu是濾

11、波器的階數。是濾波器的階數。 n2 2階階巴特沃思巴特沃思低通濾波器低通濾波器的結果的結果 理想低通濾波理想低通濾波 2 2階巴特沃思低通濾波器階巴特沃思低通濾波器不同階數巴特沃思不同階數巴特沃思低通濾波器的低通濾波器的空域形式空域形式高斯高斯低通低通濾波器（濾波器（GLPF） 二維高斯低通濾波器的函數為：二維高斯低通濾波器的函數為：)8 . 3 . 4(),(2022/ ),(DvuDevuH是截止頻率，又是高斯曲線的標準差，即是截止頻率，又是高斯曲線的標準差，即 0D0D高斯高斯低通低通濾波器的濾波器的結果結果: : 沒有振鈴沒有振鈴。4.4 頻率域頻率域銳化銳化濾波器濾波器 對低通濾波作

12、相反操作，得到高通濾波器的表達式：對低通濾波作相反操作，得到高通濾波器的表達式：) 1 . 4 . 4(),(1),(vuHvuHlphp),(vuHlp是相應低通濾波的表達式。是相應低通濾波的表達式。理想理想巴特沃思巴特沃思高斯高斯頻率域頻率域高通濾波器的空域形式高通濾波器的空域形式4.4.1 理想理想高通高通濾波器（濾波器（IHPF）)2 . 4 . 4(),(1),(0),(00DvuDDvuDvuH4.4.2 巴特沃思巴特沃思高通高通濾波器（濾波器（BHPF）)3 . 4 . 4(),(/1120nvuDD),(1),(vuHvuHlphp4.4.3 高斯高斯高通高通濾波器（濾波器（G

13、HPF）)4 . 4 . 4(12022/ ),(DvuDe),(1),(vuHvuHlphp4.4.4 頻率域的拉普拉斯算子頻率域的拉普拉斯算子),()(),(vuFjuxyxfnnnnnnuvuFyxfjx),(),()(n階微分算子階微分算子的傅立葉變換：的傅立葉變換：圖像中心平移：) 2/, 2/() 1)(,(NvMuFyxfyx頻率域的拉普拉斯算子頻率域的拉普拉斯算子),()2/()2/(),(222vuFNvMuyxf頻率域的拉普拉斯算子頻率域的拉普拉斯算子使用使用頻率域頻率域拉普拉斯算子進行增強，效果與空間域拉普拉斯拉普拉斯算子進行增強，效果與空間域拉普拉斯效果相同效果相同。4

14、.5 同態濾波 (Homomorphic filtering),(),(),(yxryxiyxfi ( x , y ) 照射分量 以空間域的慢變化為特征r( x , y ) 反射分量 引起突變照度照度反射模型反射模型),(),(),(),(vuHvuFyxhyxf注意：注意：（1）取對數：取對數：（2）變換到頻域：變換到頻域：),(ln),(ln),(ln),(yxryxiyxfyxz),(ln),(ln),(yxryxiyxz),(),(),(vuRvuIvuZ（3）濾波：濾波：確定頻域濾波函數頻域濾波函數H(u,v) ),(),(),(),(),(vuRvuHvuIvuHvuS同態濾波步驟

15、同態濾波步驟 濾波函數濾波函數)13. 5 . 4(1)(),()2/ ),(202LDvuDcLHevuH確定確定濾波函數濾波函數H(u,v)（4）作傅里葉反變換作傅里葉反變換),(),(),(1vuIvuHyxi),(),(),(1vuRvuHyxr（5） 取取指數函數指數函數),(exp),(0yxiyxi),(exp),(0yxryxr),(),(),(00yxryxiyxg同態濾波步驟同態濾波同態濾波的效果的效果 濾波前濾波前濾波后濾波后4.6 一些傅里葉變換的一些傅里葉變換的性質性質 平移性平移性 分配性和比例變換性分配性和比例變換性),(),(00)/(200vvuuFeyxfN

16、yvMxuj)/(20000),(),(NvMujevuFyyxxf),(),(),(),(2121yxfyxfyxfyxf),(),(),(),(2121yxfyxfyxfyxf),(),(vuaFyxaf)/,/(1),(bvauFabbyaxf一些傅里葉變換的性質一些傅里葉變換的性質 旋轉旋轉 周期性和對稱性周期性和對稱性 可分性可分性),(),(00Frf),(),(),(),(NvMuFNvuFvMuFvuF),(*),(vuFvuF傅立葉變換的周期性和對稱性傅立葉變換的周期性和對稱性4.6.1 和實現有關和實現有關的二維傅里葉變換的性質的二維傅里葉變換的性質(1) 一個一個二維傅立

17、葉變換可以分離成兩個一維傅立葉變換二維傅立葉變換可以分離成兩個一維傅立葉變換：11001100101,exp2/11exp2/,exp2/1( , ) exp2/MNxyMNxyMxF u vf x yjux Mvy NMNjux Mf x yjvy NMNF x vjux MM (2)一維一維傅立葉傅立葉反變換反變換的的正向實現正向實現： )18.6.4()(11/210*MuxjMueuFMxfM這是一個傅立葉正變換。這是一個傅立葉正變換。 二維二維傅立葉傅立葉反變換反變換的的正向實現正向實現：)19. 6 . 4(),(1,1)/(21010*NvyMuxjMuNvevuFMNyxfMN二維逆變換二維逆變換二維正變換二維正變換兩個兩個一維正變換一維正變換快速傅立葉變換快速傅立葉變換 (FFT)(FFT)4.6.6 快速傅里葉變換快速傅里葉變換(FFT)4.6.6 快速傅里葉變換快速傅里葉變換(FFT)的一些說明的一些說明 傅立葉變換點數傅立葉變換點數 , FFT, FFT和采用定義計算的優勢為：和采用定義計算的優勢為： nM2nnCn2)(4.6.5 二維離