1、2021年12月26日星期日1第第2章章 邏輯代數基礎邏輯代數基礎2.1 邏輯代數的基本概念邏輯代數的基本概念2.2 邏輯代數的基本定理和規則邏輯代數的基本定理和規則2.3 邏輯函數表達式的形式與變換邏輯函數表達式的形式與變換2.4 邏輯函數的化簡邏輯函數的化簡2021年12月26日星期日2 2.1 邏輯代數的基本概念邏輯代數的基本概念 邏輯代數邏輯代數=布爾代數布爾代數=開關代數開關代數 解決邏輯問題的理論方法，與布爾、香農有關解決邏輯問題的理論方法，與布爾、香農有關 邏輯代數邏輯代數：有一個邏輯變量集有一個邏輯變量集K，常量，常量0和和1以及以及“或或”、“與與”、“非非”三種基本運算構成

2、。滿足以下公理：三種基本運算構成。滿足以下公理： 交換律交換律 結合律結合律 分配律分配律 0-1律律 互補律互補律2021年12月26日星期日3 公理公理1 1 交換律交換律( (Commutative Properties)Commutative Properties) 公理公理2 2 結合律結合律( (Associative Properties)Associative Properties) 公理公理3 3 分配律分配律( (Distributive Properties)Distributive Properties) 公理公理4 04 01 1律（律（0 01 1 Property

3、Property） 公理公理5 5 互補律互補律( (Complement Property)Complement Property)A+B=B+A AB=BA(A+B)+C=A+(B+C) (AB)C=A(BC)A+(BC)=(A+B)(A+C)A(B+C)=AB+ACA+0=A A1=AA+1=1 A0=0A+A=1 AA=02021年12月26日星期日4一、一、邏輯變量及基本邏輯運算邏輯變量及基本邏輯運算二、二、邏輯函數及邏輯函數間的相等邏輯函數及邏輯函數間的相等三、三、邏輯函數的表示方法邏輯函數的表示方法2021年12月26日星期日5 邏輯代數（邏輯代數（又稱布爾代數又稱布爾代數），它

4、是分析和設計），它是分析和設計邏輯電路的數學工具。雖然它和普通代數一樣也用邏輯電路的數學工具。雖然它和普通代數一樣也用字母表示變量，字母表示變量，但變量的取值只有但變量的取值只有“0”，“1”兩種兩種，分別稱為邏輯分別稱為邏輯“0”和邏輯和邏輯“1”。這里這里“0”和和“1”并并不表示數量的大小不表示數量的大小，而是表示兩種相互對立的邏輯，而是表示兩種相互對立的邏輯狀態。狀態。 邏輯代數是一種邏輯代數是一種二值二值代數系統，表示的是代數系統，表示的是邏輯關邏輯關系系，而不是，而不是數量關系數量關系，這是它與普通代數的本質區，這是它與普通代數的本質區別。別。一、邏輯變量及基本邏輯運算一、邏輯變量

5、及基本邏輯運算2021年12月26日星期日6 與運算（與運算（ANDAND）、或運算（）、或運算（OROR）、非運算）、非運算(NOT)(NOT) 學習內容包括定義、邏輯功能描述、開關電路示學習內容包括定義、邏輯功能描述、開關電路示意圖、條件與結果關系表、關系表達式、運算規意圖、條件與結果關系表、關系表達式、運算規則、則、工作波形圖工作波形圖等等等等一、一、 基本邏輯運算基本邏輯運算2021年12月26日星期日7 設：開關斷開、燈不亮用邏輯設：開關斷開、燈不亮用邏輯 “0”表示，開關閉合、燈亮表示，開關閉合、燈亮用邏輯用邏輯“1”表示。表示。1. “與與”邏輯關系邏輯關系B燈燈。220V。A

6、“與與”邏輯關系是指當決定某事件的邏輯關系是指當決定某事件的條件全部具備時條件全部具備時，該事，該事件才發生。件才發生。滅滅AB燈燈斷開斷開斷開斷開閉合閉合斷開斷開斷開斷開閉合閉合閉合閉合閉合閉合滅滅滅滅亮亮真值表真值表2021年12月26日星期日8F=AB邏輯式邏輯式邏輯乘法邏輯乘法邏輯與邏輯與邏輯符號邏輯符號 實現與邏輯的電路實現與邏輯的電路稱為與門。稱為與門。 F A B & 2021年12月26日星期日92. “或或”邏輯關系邏輯關系 “或或”邏輯關系是指當決定某事件的邏輯關系是指當決定某事件的條件之一具備時條件之一具備時，該事件就發生。該事件就發生。滅滅AB燈燈斷開斷開斷開斷

7、開閉合閉合斷開斷開斷開斷開閉合閉合閉合閉合閉合閉合亮亮亮亮亮亮。+UABL2021年12月26日星期日10F=A+B邏輯式邏輯式邏輯加法邏輯加法邏輯或邏輯或邏輯符號：邏輯符號：1ABY2021年12月26日星期日113. “非非”邏輯關系邏輯關系 “非非”邏輯關系是指邏輯關系是指否定或相反否定或相反的意思。的意思。某事情發生與某事情發生與否，僅取決于一個條件，而且是對該條件的否定。即條件否，僅取決于一個條件，而且是對該條件的否定。即條件具備時事情不發生；條件不具備時事情才發生。具備時事情不發生；條件不具備時事情才發生。亮亮A燈燈閉合閉合斷開斷開滅滅。AL+UR。010輸入輸入輸出輸出AY120

8、21年12月26日星期日12邏輯式邏輯式邏輯非邏輯非邏輯反邏輯反AF 2021年12月26日星期日13二、二、 邏輯函數及邏輯函數間的相等邏輯函數及邏輯函數間的相等2021年12月26日星期日14邏輯函數具有的特點邏輯函數具有的特點1 1）邏輯變量和邏輯函數的取值只有）邏輯變量和邏輯函數的取值只有 和和 兩種可能；兩種可能；2 2）函數和變量之間的關系是由）函數和變量之間的關系是由“”、“”、“”3 3種基本運算決定的。種基本運算決定的。邏輯邏輯0邏輯邏輯1或運算或運算非運算非運算與運算與運算1 1邏輯函數邏輯函數( (logic function)logic function)的定義的定義2

9、021年12月26日星期日15 邏輯函數的定義：邏輯函數的定義：設某一邏輯電路的輸入邏輯變量為設某一邏輯電路的輸入邏輯變量為A A1 1,A,A2 2, ,A,An n，輸出邏輯變量為輸出邏輯變量為F F，如果當如果當A A1 1,A,A2 2, ,A An n的值的值確定后，確定后，F F的值就唯一地被確定下來，則的值就唯一地被確定下來，則F F被稱為被稱為A A1 1,A,A2 2, ,A,An n的邏輯函數，記為的邏輯函數，記為 F=f(AF=f(A1 1,A,A2 2, ,A,An n) )。 廣義的邏輯電路圖廣義的邏輯電路圖: : F F (Outputs)(Outputs)A1A1

10、A2A2(inputs)(inputs)AnAn邏輯電路邏輯電路( (LOGIC CIRCUIT)LOGIC CIRCUIT)2021年12月26日星期日162 2邏輯函數的相等邏輯函數的相等 (equivalence)(equivalence) 兩個邏輯函數相等的定義：兩個邏輯函數相等的定義： 設有兩個邏輯函數設有兩個邏輯函數 F F1 1=f=f1 1(A(A1 1,A,A2 2, ,A,An n), ), F F2 2=f=f2 2(A(A1 1,A,A2 2, ,A,An n),),若對應于邏輯變量若對應于邏輯變量A A1 1,A,A2 2, ,A,An n的任何一組取值，的任何一組取

11、值，F F1 1和和F F2 2的值都相同，則稱函數的值都相同，則稱函數F F1 1和和F F2 2相等。記作相等。記作F F1 1F F2 2。 2021年12月26日星期日17 判斷兩個邏輯函數是否相等的方法有多種判斷兩個邏輯函數是否相等的方法有多種： 1 1）真值表；）真值表； 2 2）公理、定理和規則進行證明；）公理、定理和規則進行證明； 3 3）卡諾圖；）卡諾圖； 4 4）邏輯圖；）邏輯圖； 5 5）工作波形圖；等等）工作波形圖；等等2021年12月26日星期日18三、邏輯函數的表示方法邏輯函數的表示方法1 1 邏輯表達式邏輯表達式( ( logic expression)logic

12、 expression)2 2邏輯圖邏輯圖( (Logic diagram)Logic diagram)3 3邏輯真值表邏輯真值表( (Truth table)Truth table)4 4卡諾圖卡諾圖( (Karnaugh Map)Karnaugh Map)5 5工作波形圖（工作波形圖（Timing diagram)Timing diagram)2021年12月26日星期日191 1 邏輯表達式邏輯表達式( ( logic expression)logic expression) 邏輯表達式邏輯表達式是由邏輯變量和是由邏輯變量和“或或”、“與與”、“非非”三種運算符所構成的三種運算符所構成的

13、式子。式子。 邏輯表達式書寫時要注意邏輯表達式書寫時要注意優先級問題優先級問題，從高到低分別是從高到低分別是“非非”、“與與”、 “或或”。2021年12月26日星期日20書寫規則書寫規則進行進行“非非”運算運算可不加括號可不加括號；“與與”運算符一般運算符一般可省略可省略，如，如A AB B可寫成可寫成ABAB；在一個表達式中，如果既有在一個表達式中，如果既有“與與”運算又運算又有有“或或”運算，則按運算，則按先先“與與”后后“或或”的的規則進行運算，而可省去括號；規則進行運算，而可省去括號；由于由于“與與”運算和運算和“或或”運算均滿足結合運算均滿足結合律，因此律，因此( (A+B)+CA

14、+B)+C或者或者A+(B+C)A+(B+C)可用可用A+B+CA+B+C代代替；替；( (AB)CAB)C或者或者A(BC)A(BC)可用可用ABCABC代替代替。2021年12月26日星期日212 2、邏輯真值表、邏輯真值表( (Truth table)Truth table) 將將輸入變量輸入變量所有取值下所有取值下對應的輸出值對應的輸出值找出找出來，列成來，列成表格表格。表格表示法表格表示法用窮舉法來描述邏輯函數的功能。用窮舉法來描述邏輯函數的功能。ABF000010100111兩部分組成兩部分組成注意：注意：n個輸入變量可以有個輸入變量可以有2n個組合，一般個組合，一般按按二進制的順

15、序二進制的順序，輸出與輸入狀態一一，輸出與輸入狀態一一對應，列出所有可能的狀態。對應，列出所有可能的狀態。2021年12月26日星期日22真值表轉換為函數表達式：真值表轉換為函數表達式：方法：方法：將將F1的項的項相加。相加。如，由上述的真值表可寫出邏輯表達式：如，由上述的真值表可寫出邏輯表達式：BAABBABAF函數表達式轉換成真值表：函數表達式轉換成真值表：方法：方法：用用變量的所有取值組合變量的所有取值組合列出列出F的值的值；例例2、列出下列函數的真值表：、列出下列函數的真值表：BABAFA BF0 00 11 01 101112021年12月26日星期日23 由由邏輯門電路符號邏輯門電

16、路符號構成的，用來表示邏輯變量構成的，用來表示邏輯變量之間關系的圖形稱為邏輯電路圖，簡稱邏輯圖。之間關系的圖形稱為邏輯電路圖，簡稱邏輯圖。3、邏輯圖、邏輯圖(Logic diagram)P5P4P3P21& 1&ABCFP1P5P4P3P21& 1&ABCFP12021年12月26日星期日24邏輯函數式：邏輯函數式：F=(A+B) C由函數表達式可以畫出其相應的邏輯圖。由函數表達式可以畫出其相應的邏輯圖。方法方法：用用邏輯符號邏輯符號畫出對應的畫出對應的運算。運算。1&ABCF3、邏輯圖、邏輯圖(Logic diagram)2021年12月26日星期日2

17、5 由邏輯圖可以寫出其相應的函數表達式：由邏輯圖可以寫出其相應的函數表達式： 方法方法：從輸入到輸出從輸入到輸出依次列出依次列出邏輯符號所對邏輯符號所對應的應的邏輯運算的輸出邏輯運算的輸出；例例 寫出如圖所示邏輯圖的函數表達式。寫出如圖所示邏輯圖的函數表達式。解：解：可由輸入至輸出逐步寫出邏輯表達式：可由輸入至輸出逐步寫出邏輯表達式：ACBCABL2021年12月26日星期日26由表示由表示邏輯變量所有取值組合邏輯變量所有取值組合的小方格所構成的的小方格所構成的平面圖平面圖。0100011110 ABC輸入變量輸入變量輸出變量輸出變量F F的值的值4、卡諾圖、卡諾圖(Karnaugh Map)

18、2021年12月26日星期日275 5工作波形圖（工作波形圖（Timing diagram)Timing diagram)ABF2021年12月26日星期日28 表示邏輯函數的表示邏輯函數的5 5種不同描述方法各有特種不同描述方法各有特點點 ，適合于不同場合。，適合于不同場合。 針對某個具體問題而言，它們僅僅是同一針對某個具體問題而言，它們僅僅是同一問題的不同描述形式問題的不同描述形式 ，它們之間可以很方，它們之間可以很方便地相互轉換。便地相互轉換。2021年12月26日星期日292 22 2 邏輯代數的基本定理和規則邏輯代數的基本定理和規則 一、一、 基本定理基本定理 二、二、 邏輯代數的三

19、個規則邏輯代數的三個規則 三、三、 復合邏輯復合邏輯2021年12月26日星期日30基本代數規律（基本代數規律（5大公理）大公理）交換律交換律結合律結合律分配律分配律A+B=B+AA B=B AA+(B+C)=(A+B)+C=(A+C)+BA (B C)=(A B) CA(B+C)=A B+A CA+B C=(A+B)(A+C)普通代普通代數不適數不適用用!2021年12月26日星期日31A+0=A A 0 =0 A=0 A+1=1 A 1=A1 AA0 AA0-1律律互補互補律律2021年12月26日星期日32 1、基本定理：、基本定理： 從三種基本的邏輯關系出發，我們可以得從三種基本的邏輯

20、關系出發，我們可以得到以下邏輯運算結果：到以下邏輯運算結果：0 0=0 1=1 0=01 1=10+0=00+1=1+0=1+1=11001 一、基本定律和公式一、基本定律和公式定定理理12021年12月26日星期日33AAAAAA AA重疊律重疊律（定理（定理2）雙重否雙重否定律定律（定理（定理5）2021年12月26日星期日342、吸收規律、吸收規律1）原變量的吸收）原變量的吸收（定理（定理3）A+AB=A證明：證明：A+AB=A(1+B)=A1=A利用運算規則可以對邏輯式進行化簡。利用運算規則可以對邏輯式進行化簡。例如：例如：CDABFEDABCDAB)(被吸收被吸收2021年12月26

21、日星期日352）反變量的吸收：）反變量的吸收：（定理（定理4）BABAA證明：證明：BAABABAABAAABA)(例如：例如：DCBCADCBCAA 被吸收被吸收2021年12月26日星期日363）混合變量的吸收）混合變量的吸收（定理（定理8）CAABBCCAAB證明：證明：BCAACAABBCCAAB)(CAABBCAABCCAAB1吸收吸收一句話：如果兩個乘積項中的部分因子恰好互補，而這兩一句話：如果兩個乘積項中的部分因子恰好互補，而這兩個乘積項中的其余因子都是第三個乘積項中的因子，則這個乘積項中的其余因子都是第三個乘積項中的因子，則這第三個乘積項是多余的。第三個乘積項是多余的。2021

22、年12月26日星期日373. 反演規律（反演規律（摩根定律摩根定律）：）： （定理（定理6）BABABABAABAB0001111010110110010111110000BAABBA可以用列真值表的方法證明：可以用列真值表的方法證明：2021年12月26日星期日38公式的證明方法：公式的證明方法：（2 2）用真值表證明，即檢驗等式兩邊函數的真）用真值表證明，即檢驗等式兩邊函數的真值表是否一致。值表是否一致。（1 1）用簡單的公式證明略為復雜的公式。）用簡單的公式證明略為復雜的公式。2021年12月26日星期日39 1 1、代入規則、代入規則 在任何一個包含變量在任何一個包含變量A A的邏輯等

23、式中，若以另外的邏輯等式中，若以另外一個邏輯式代替式中所有的一個邏輯式代替式中所有的A A，則等式仍然成立。，則等式仍然成立。二、邏輯代數的二、邏輯代數的3個基本規則個基本規則例如：例如：BABADCBADCBA則則由此反演律能推廣到由此反演律能推廣到n n個變量：個變量：n 21n 21n 21n 21AAAAAAAAAA A A2021年12月26日星期日40 2 2、反演定理、反演定理 對于任意一個邏輯式對于任意一個邏輯式Y Y，若將其中的若將其中的“ ”“ ”換成換成“+”“+”， “+” “+”換成換成“ ”“ ”，原變量換，原變量換成反變量，反變量換成原變量，成反變量，反變量換成原

24、變量，“1”“1”換成換成“0”“0”， “0” “0”換成換成“1”“1”，則得到的結果，則得到的結果就是就是例如：例如：YCDCBAY)()(DCCBAY2021年12月26日星期日41注意：注意： 保持原函數的運算次序保持原函數的運算次序-先先“與與”后后“或或”，必要時適當地加入括號。必要時適當地加入括號。 不屬于單個變量上的非號不屬于單個變量上的非號要保留不變。要保留不變。CBA C) B(AB AF(A,B,C)C)B(ABCAB)A(F例如：例如：2021年12月26日星期日42 3 3、對偶定理、對偶定理 若兩邏輯式相等，則它們的對偶式也相等。若兩邏輯式相等，則它們的對偶式也相

25、等。 定義：定義：對于任意一個邏輯式對于任意一個邏輯式Y Y，若將其中的若將其中的“ ”“ ”換成換成“+”“+”， “+” “+”換成換成“ ”“ ”， “1” “1”換成換成“0”“0”， “0” “0”換成換成“1”“1”，則得到的結果就是，則得到的結果就是Y Y的對偶式的對偶式YY例如：例如：A(B+C)=A B+A CA+B C=(A+B)(A+C)2021年12月26日星期日43 求對偶式時求對偶式時運算順序不變運算順序不變，且它只，且它只變變換運算符和常量換運算符和常量，其，其變量是不變變量是不變的。的。注意：注意：對偶式和反演式不同，對偶式和反演式不同，不需將原變量和反變量不需

26、將原變量和反變量互換互換。BCAAB F1其對偶式其對偶式 B)(C )A( B)(AF0例：例：2021年12月26日星期日44三、復合邏輯三、復合邏輯1 1、與非、與非2 2、或非、或非3 3、與或非、與或非4 4、異或、異或5 5、同或、同或2021年12月26日星期日451 1“與非與非”(”(NAND)NAND)邏輯邏輯 定義：定義：與非邏輯是由與、非兩種邏輯復合形成與非邏輯是由與、非兩種邏輯復合形成 邏輯表達式邏輯表達式：F=ABC 邏輯功能描述邏輯功能描述:變量變量ABC中只要一個為中只要一個為0，函數，函數F為為1，變量變量ABC都為都為1，F才為才為0。 邏輯門邏輯門：與非門

27、：與非門 真值表真值表 波形圖波形圖ABF001011101110A B000011111110&ABL=AB(a)(b)L=ABF=AB2021年12月26日星期日46 與非邏輯可實現與、或、非邏輯。 與非門為通用邏輯門。2021年12月26日星期日472 2“或非或非”(”(NOR)NOR)邏輯邏輯 定義定義：或非邏輯是由或、非兩種邏輯復合形成：或非邏輯是由或、非兩種邏輯復合形成 邏輯表達式邏輯表達式：F=A+B+C+F=A+B+C+ 邏輯功能描述邏輯功能描述: :變量變量ABCABC中只要一個為中只要一個為1 1，函數，函數F F為為0 0，變量變量ABCABC都為都為0 0，F

28、 F才為才為1 1。 邏輯門邏輯門：或非門：或非門 真值表真值表 波形圖波形圖ABF00101010011001A B1011L=A+BA00B1(a)(b)000L=A+B1F=A+B2021年12月26日星期日483 3“與或非與或非”(”(AND-OR-INVERT)AND-OR-INVERT)邏輯邏輯 定義定義：與或非邏輯是由與、或、非兩種邏輯復合形成：與或非邏輯是由與、或、非兩種邏輯復合形成 邏輯表達式邏輯表達式：F=AB+CD+ 邏輯功能描述邏輯功能描述:僅當每一個與項均為僅當每一個與項均為0時，時，F為為1，否則，否則F為為0。 邏輯門邏輯門：與或非門：與或非門 真值表真值表 波

29、形圖波形圖2021年12月26日星期日494 4“異或異或”(”(EX-OR)EX-OR)邏輯邏輯 定義定義：不帶進位的加法，又稱模：不帶進位的加法，又稱模2 2和，是一種和，是一種兩變量兩變量邏輯。邏輯。 邏輯表達式邏輯表達式：F=AF=A B B 邏輯功能描述邏輯功能描述: :變量變量ABAB中取值相同，函數中取值相同，函數F F為為0 0，變量，變量ABAB取取值不同，值不同，F F為為1 1。 邏輯門邏輯門：異或門：異或門 真值表真值表 波形圖波形圖ABF0000111011101100(b)BA0A B10101(a)01L=A=1+AB+ BF=A B2021年12月26日星期日5

30、0 A A 0=A A0=A A 1=A A1=A A A=0 AA=0 A A=1A=1 多個變量異或時，可用兩兩運算的結果再運算，多個變量異或時，可用兩兩運算的結果再運算，也可兩兩依次運算。也可兩兩依次運算。F=AF=A B B C C D=(AD=(A B)B) (C(C D)=(AD)=(A B)B) CC D D 多個變量進行異或運算，奇數個變量值為多個變量進行異或運算，奇數個變量值為1 1，運算，運算結果為結果為1 1；反之，若偶數個變量值為；反之，若偶數個變量值為1 1，運算結果，運算結果為為0 0。2021年12月26日星期日51 F=AF=A B=AB+AB B=AB+AB

31、（不考慮進位加法，模不考慮進位加法，模2 2和）和） 用途：用途： 1 1）加法（半加器）加法（半加器） 2 2）原碼）原碼/ /反碼輸出反碼輸出 當當A=0,F=B A=0,F=B 原碼輸出；當原碼輸出；當 A=1,F=B A=1,F=B 反碼輸出；反碼輸出； （A A 0=A A0=A A 1=A 1=A ） 3 3）等同比較器（一位等同，使用時加上反相）等同比較器（一位等同，使用時加上反相器）器） 4 4）奇偶校驗）奇偶校驗 F=AF=A B B C C ，奇數個奇數個1 1，F=1F=1；偶數個；偶數個1 1，F=0F=02021年12月26日星期日525 5“同或同或”(”(EX-N

32、OR)EX-NOR)邏輯邏輯 也是一種也是一種兩變量兩變量邏輯，邏輯， 邏輯表達式邏輯表達式：F=A B 邏輯功能描述邏輯功能描述:變量變量AB中取值相同，函數中取值相同，函數F為為1，變量，變量AB取值不同，取值不同，F為為0。 邏輯門邏輯門：同或門：同或門 真值表真值表 波形圖波形圖ABF0010101001112021年12月26日星期日53 與非、或非、與或非邏輯可實現任何邏輯功能。2021年12月26日星期日54附：常用邏輯門電路符號圖 2021年12月26日星期日55思考：1、與、或、與非、或非、異或門懸空端如何對待？2、為什么實際上與非門用的最多？2021年12月26日星期日56

33、與非門可實現多功能邏輯：與非門可實現多功能邏輯：1、反相器、反相器 輸入端輸入端A.B相連；相連； 其中一端接其中一端接“1”； 其中一端懸空（不建議使用）。其中一端懸空（不建議使用）。2、與邏輯、與邏輯 （與非（與非+反相器）反相器）3、或邏輯、或邏輯 F=A+B=AB4、其他（可通過雙重否定展開，求出、其他（可通過雙重否定展開，求出 邏輯圖）邏輯圖）2021年12月26日星期日57DCACL與或式與或式例：一個邏輯函數的五種表達式例：一個邏輯函數的五種表達式DCACL與非與非與非式與非式或與式或與式D)(CC(AL或非或非或非式或非式D)(C)C(AL與或非式與或非式DCCAL 2.3 邏

34、輯函數表達式的形式與變換邏輯函數表達式的形式與變換變換常用公式：反演定律，變換常用公式：反演定律，AA2021年12月26日星期日58邏輯表達式的基本形式邏輯表達式的基本形式“與或與或”表達式表達式如：如：ABCCBACBACBACBAF無論任何形式都可以轉換成與或表達式無論任何形式都可以轉換成與或表達式2021年12月26日星期日59一、一、邏輯函數表達式的基本形式邏輯函數表達式的基本形式二、二、邏輯函數表達式的標準形式邏輯函數表達式的標準形式三、三、邏輯函數表達式的轉換邏輯函數表達式的轉換 2 23 3 邏輯函數表達式的形式與變換邏輯函數表達式的形式與變換2021年12月26日星期日60一

35、、一、 邏輯函數表達式的基本形式邏輯函數表達式的基本形式 1 1“與與- -或或”(”(Sum of products)Sum of products)表達式表達式 例例 F=AB+CD+EFF=AB+CD+EF 2 2“或或- -與與”(”(Product of sums)Product of sums)表達式表達式 例例 F=(A+B)(C+D)(E+F)F=(A+B)(C+D)(E+F) 邏輯函數的不同表達形式邏輯函數的不同表達形式: : 與或式與或式 與非與非- -與非式與非式 或或- -與非式與非式 與或非式與或非式 或非或非- -或式或式 與非與非- -與式與式 或與式或與式 或非

36、或非- -或非式或非式 最簡與或式最簡與或式 舉例舉例 F=AF=A B B 異或式（如異或式（如74867486）可有）可有1212種形式的展開式種形式的展開式2021年12月26日星期日61二、二、 邏輯函數表達式的標準形式邏輯函數表達式的標準形式1.1.最小項和最大項最小項和最大項 1 1）最小項）最小項( (minterm)minterm) 定義定義: :與項與項，包含，包含全部全部n n個變量個變量，每個變量都以原變每個變量都以原變量或反變量出現，量或反變量出現，僅出現一次僅出現一次。 描述成描述成m mi i (Designation Symbol)(Designation Sym

37、bol)，i i的得到：把反的得到：把反變量用變量用0 0替換，原變量用替換，原變量用1 1替換，得到十進制的數。替換，得到十進制的數。 n個變量有個變量有2n個最小項個最小項2021年12月26日星期日62ABCABCm0ABCm1ABCm2ABCm3ABCm4ABCm5ABCm6ABCm700010000000001010000000100010000001100010000100000010001010000010011000000010111000000012021年12月26日星期日63A B Cm0m1m2m3m4m5m6m70 0 00 0 10 1 00 1 11 0 01 0

38、 11 1 01 1 11000000001000000001000000001000000001000000001000000001000000001CBACBABCACBACBACABABC3 3變量最小項真值表變量最小項真值表CBA2021年12月26日星期日64 任意一個最小項任意一個最小項m mi i，有且僅有有且僅有一組變量取值使一組變量取值使它為它為1 1，該值為，該值為i i的二進制代碼；的二進制代碼； m mi im mj j 0 0 （ijij） m mi i11（i i0 0n-1n-1） n n個變量有個變量有2 2n n個最小項個最小項 n n個變量構成的最小項有個變

39、量構成的最小項有n n個相鄰最小項個相鄰最小項最小項的性質最小項的性質2021年12月26日星期日652 2） 最大項最大項( (maxterm)maxterm)（自學最大項的定義、最大項的描述和最大項的自學最大項的定義、最大項的描述和最大項的5 5個性質）個性質） 定義定義: :或項或項，包含，包含全部全部n n個變量，個變量，以原變量、反變量出現，以原變量、反變量出現，僅出僅出現一次現一次。 A,BA,B兩變量的最大項有四個、三變量最大項有八個、四變量最兩變量的最大項有四個、三變量最大項有八個、四變量最大項有大項有1616個的構成）個的構成） 描述成描述成M Mi i (Designati

40、on Symbol)(Designation Symbol)，i i的得到：的得到：把反變量用把反變量用1 1替換，原變量用替換，原變量用0 0替換，替換， 2021年12月26日星期日66最大項的性質：最大項的性質： M Mi i只有一組變量取值使它為只有一組變量取值使它為0 0，該值為，該值為i i的二的二進制代碼；進制代碼； M Mi i+M+Mj j 1 1 （ijij） M Mi i00（i i0 0n-1n-1） n n個變量有個變量有2 2n n個最大項個最大項 n n個相鄰最大項個相鄰最大項3 3）最小項與最大項的關系）最小項與最大項的關系 互反互反 互逆互逆 mimiMi M

41、i 2021年12月26日星期日67（1 1） 標準標準“與或與或”式（最小項表達式）式（最小項表達式） 與或式（與或式（Sum of productsSum of products）：）：邏輯變量的邏輯與邏輯變量的邏輯與運算叫運算叫與項與項( (Product term)Product term)，與項的或運算稱之。與項的或運算稱之。 最簡的與或式最簡的與或式：式中含的：式中含的與項最少與項最少，各，各與項中含的與項中含的變量數最少變量數最少。 規范的與或式規范的與或式( (Canonical sum of products)Canonical sum of products)：如果函如果函

42、數與或式中數與或式中全由最小項組成全由最小項組成，又稱為最小項表達式。，又稱為最小項表達式。2 2邏輯函數表達式的標準形式邏輯函數表達式的標準形式2021年12月26日星期日68（2 2） 標準標準“或與或與”式（最大項表達式）式（最大項表達式） 或與式或與式( (Product of sums)Product of sums)：邏輯變量的邏輯或運邏輯變量的邏輯或運算叫或項算叫或項( (Sum term)Sum term)，或項的與運算或項的與運算稱之。稱之。 最簡的或與式：最簡的或與式：式中含的式中含的或項最少或項最少，各或項中含，各或項中含的的變量數最少。變量數最少。 規范的或與式規范的或

43、與式( (Canonical product of sums)Canonical product of sums)：如果函數或與式中如果函數或與式中全由最大項組成全由最大項組成，又稱為最大項表，又稱為最大項表達式。達式。2021年12月26日星期日69舉例說明下列舉例說明下列與或式的一般式、最簡式、標準式與或式的一般式、最簡式、標準式BCACABF2021年12月26日星期日701 1、代數轉換法、代數轉換法2 2、真值表轉換法、真值表轉換法三、三、 邏輯函數表達式的轉換邏輯函數表達式的轉換( (convertion of convertion of logic function)logic

44、function)2021年12月26日星期日71 利用邏輯代數的公理、定理和規則進行邏輯變換，利用邏輯代數的公理、定理和規則進行邏輯變換，將函數表達式從一種形式變換到另一種形式。將函數表達式從一種形式變換到另一種形式。 用代數法求一個函數的用代數法求一個函數的標準與或式標準與或式：1 1）將函數表達式轉換成一般與或式；）將函數表達式轉換成一般與或式；2 2）對于）對于“與或與或”式，利用互補律進行展開成最小項，缺式，利用互補律進行展開成最小項，缺少什么補上什么，將所有與項擴展成最小項。少什么補上什么，將所有與項擴展成最小項。X=X (Y+Y)1 1、代數轉換法、代數轉換法2021年12月26

45、日星期日72用代數法求一個函數的用代數法求一個函數的標準或與式標準或與式：1 1、對于、對于“或與或與”式式: :利用定理利用定理7 7進行展開，缺少什么補上什么；進行展開，缺少什么補上什么；2 2、對于、對于“與或與或“式：式：先轉成先轉成“或與或與”式，再按式，再按1 1處理。處理。X=(X+Y) (X+Y)2021年12月26日星期日73 “與或與或”“或與或與”有兩種方法：有兩種方法：1)1)兩次求反，一次展開；兩次求反，一次展開；2)2)兩次求對偶，一次展開。兩次求對偶，一次展開。例：求 的標準或與式（最大項表示法）CAABF2021年12月26日星期日74方法：1、與或或與 2、利

46、用定理7)()(BACAFBACACBBACACABAFCAABF1 1、與或或與 )( )(BACAFBAACBCBAACCABAFCAABF)()()( CBACBABCABCAF2、利用定理、利用定理7)()()(CBACBABCABCAF兩次求兩次求對偶對偶兩次求反兩次求反2021年12月26日星期日752 2、真值表轉換法（、真值表轉換法（推薦推薦） 1.1.表達式表達式真值表真值表一般按自然二進制碼的順序列出函數所含邏輯變量的所有不同取一般按自然二進制碼的順序列出函數所含邏輯變量的所有不同取值組合，再確定相應的函數值。值組合，再確定相應的函數值。 例、求邏輯函數例、求邏輯函數Z=A

47、B+BC+CAZ=AB+BC+CA真值表，真值表，“或與或與”表達式表達式 ABCF00000101001110010111011101111110F(A,B,C)=m(1,2,3,4,5,6) =M(0,7)2021年12月26日星期日76 2.2.真值表真值表表達式表達式 例、已知函數例、已知函數F=AF=A B B C C的真值表，求標準與或表達式的真值表，求標準與或表達式和標準或與表達式。和標準或與表達式。ABCF00000101001110010111011101101001F(A,B,C)=m(1,2,4,7) =M(0,3,5,6)2021年12月26日星期日77函數化簡的依據函

48、數化簡的依據 邏輯電路所用門的數量少邏輯電路所用門的數量少 每個門的輸入端個數少每個門的輸入端個數少 邏輯電路構成級數少邏輯電路構成級數少 邏輯電路保證能可靠地工作邏輯電路保證能可靠地工作降低成本降低成本提高電路的工作提高電路的工作速度和可靠性速度和可靠性 2. 2.4 4 邏輯函數的化簡邏輯函數的化簡2021年12月26日星期日78 與或表達式的簡化與或表達式的簡化最簡式的標準最簡式的標準 首先是式中首先是式中與項最少與項最少 與項中含的與項中含的變量少變量少門門數數最最少少門的輸入端門的輸入端個數最少個數最少 或與表達式的簡化或與表達式的簡化最簡式的標準最簡式的標準 或項中含的或項中含的變

49、量少變量少 首先是式中首先是式中或項最少或項最少2021年12月26日星期日792 24 4 邏輯函數的化簡邏輯函數的化簡( (reduction of reduction of logic function)logic function) 一、一、 代數化簡法代數化簡法 二、二、 卡諾圖化簡法卡諾圖化簡法 * *三、三、 列表化簡法列表化簡法2021年12月26日星期日80一、代數化簡法（一、代數化簡法（利用公式化簡）利用公式化簡）化簡的方法有以下常用方法：化簡的方法有以下常用方法：1 1、并項法（定理、并項法（定理7 7） 2 2、吸收法、吸收法 （定理（定理4 4）3 3、消去法（定理、

50、消去法（定理3 3） 4 4、配項法（公理、配項法（公理4 4和公理和公理5 5）2021年12月26日星期日81一、代數化簡法（以與或式為例）一、代數化簡法（以與或式為例）1、并項法、并項法常用公式：常用公式： AB+AB=A1 AA例例1：化簡：化簡)()(CBCBACBBCAA2021年12月26日星期日822、吸收法、吸收法常用公式：常用公式：CAABBCCAABAABA,例例2：化簡：化簡ABDDCABCCDBAAC3、消去法、消去法常用公式：常用公式：BABAA例例3：化簡：化簡CBCAABDCAC )()(ABDDCABCCDBAAC2021年12月26日星期日834、配項法：、

51、配項法：常用公式：常用公式：BCCAABCAABAA , 1例例4：化簡：化簡BACBCBBA綜合使用上述方法：綜合使用上述方法：要求：對公式熟練；有一定的技巧要求：對公式熟練；有一定的技巧教材教材P35 例例2.5 2.6 2.72021年12月26日星期日84代數化簡法特點代數化簡法特點 運用邏輯代數的公理、定理和規則對邏輯函數進運用邏輯代數的公理、定理和規則對邏輯函數進行化簡的方法；沒有固定的步驟可以遵循，主要行化簡的方法；沒有固定的步驟可以遵循，主要取決于對邏輯代數中公理、定理和規則的熟練掌取決于對邏輯代數中公理、定理和規則的熟練掌握及靈活應用的程度。握及靈活應用的程度。 優點優點是不

52、受變量數目的約束，當對公理、定理和是不受變量數目的約束，當對公理、定理和規則十分熟練時化簡比較方便。規則十分熟練時化簡比較方便。 缺點缺點是沒有一定的規律和步驟，技巧性很強，而是沒有一定的規律和步驟，技巧性很強，而且在很多情況下難以判斷化簡結果是否最簡。這且在很多情況下難以判斷化簡結果是否最簡。這種方法有較大的局限性。種方法有較大的局限性。2021年12月26日星期日85二、卡諾圖化簡法二、卡諾圖化簡法( (Karnaugh map)Karnaugh map)（推薦推薦） 2 24.1 4.1 卡諾圖的構成與特點卡諾圖的構成與特點 2 24.2 4.2 卡諾圖的相鄰原則卡諾圖的相鄰原則 2 2

53、4.3 4.3 卡諾圖的一些幾何含義卡諾圖的一些幾何含義 2 24.4 4.4 用卡諾圖表示邏輯函數用卡諾圖表示邏輯函數 2 24.5 4.5 塊的合并塊的合并 2 24.6 4.6 卡諾圖化簡邏輯函數的步驟卡諾圖化簡邏輯函數的步驟 2 24.7 4.7 用卡諾圖化簡邏輯函數的實例用卡諾圖化簡邏輯函數的實例 2 24.8 4.8 注意點注意點2021年12月26日星期日862 24.1 4.1 卡諾圖的構成與特點卡諾圖的構成與特點 1 1）兩變量卡諾圖）兩變量卡諾圖( (two-variable Karnaugh map)two-variable Karnaugh map) 2 2）三變量卡諾

54、圖三變量卡諾圖( (three-variable Karnaugh map)three-variable Karnaugh map) 3 3）四變量卡諾圖四變量卡諾圖( (four-variable Karnaugh map)four-variable Karnaugh map) 4 4）五變量卡諾圖五變量卡諾圖( (two-variable Karnaugh map)two-variable Karnaugh map) AB01 0m0m2 1m1m3AB2021年12月26日星期日87 AB C 00011110 0m0m2m6m4 1m1m3m7m5ACB2021年12月26日星期日88

55、ACB AB CD0001111000m0m4m12m801m1m5m13m911m3m7m15m1110m2m6m14m10D2021年12月26日星期日89ACB ABC DE00000101101000m0m4m12m801m1m5m13m911m3m7m15m1110m2m6m14m10D100101111110m16m20m28m24m17m21m29m25m19m23m31m27m18m22m30m26ECB2021年12月26日星期日902 24.2 4.2 卡諾圖的相鄰原則卡諾圖的相鄰原則 邏輯相鄰的含義邏輯相鄰的含義 三種相鄰情況：三種相鄰情況： 1 1）相接（幾何相鄰）相接

56、（幾何相鄰） 2 2）相對）相對 3 3）相重（五變量以上才有）相重（五變量以上才有）1、只有一個變量不同、只有一個變量不同2、這個不同變量互為反變量、這個不同變量互為反變量2021年12月26日星期日91邏輯函數化簡邏輯函數化簡2.4.2 2.4.2 卡諾圖化簡法卡諾圖化簡法二、邏輯函數在卡諾圖上的表示二、邏輯函數在卡諾圖上的表示 1 1、最小項表達式（標準與或式）、最小項表達式（標準與或式）卡諾圖卡諾圖 2 2、真值表、真值表卡諾圖（卡諾圖卡諾圖（卡諾圖真值表）真值表） 3 3、一般與或式、一般與或式卡諾圖卡諾圖 4 4、直接填充（利用幾何含義）、直接填充（利用幾何含義）2021年12月2

57、6日星期日92邏輯函數化簡邏輯函數化簡 1 1、最小項表達式（標準與或式）、最小項表達式（標準與或式）卡諾圖卡諾圖 邏輯函數是以最小項表達式給出：在卡諾圖上那些與給定邏輯函數是以最小項表達式給出：在卡諾圖上那些與給定邏輯函數的最小項相對應的方格內填入邏輯函數的最小項相對應的方格內填入1 1，其余的方格內填入，其余的方格內填入0 0。例例 畫出函數畫出函數Y(AY(A、B B、C C、D)= m(0,3,5,7,9,12,15)D)= m(0,3,5,7,9,12,15)的卡諾圖。的卡諾圖。 2021年12月26日星期日93邏輯函數化簡邏輯函數化簡 2 2、真值表、真值表卡諾圖（卡諾圖卡諾圖（卡

58、諾圖真值表）真值表） 做出邏輯函數的真值表，將表中對應做出邏輯函數的真值表，將表中對應“1”“1”項的最小項項的最小項填到卡諾圖中。填到卡諾圖中。例例: 畫出下面函數的卡諾圖畫出下面函數的卡諾圖解：其真值表如解：其真值表如表所示表所示,輸入輸入輸出輸出ABCY000011110011001101010101001100012021年12月26日星期日94邏輯函數化簡邏輯函數化簡3 3、一般與或式、一般與或式卡諾圖卡諾圖()F A,B,C,DACADBDBC+ =1A A()()()()()()()()BB DDBB CCCFACC AAAADDBCA DDB(1 3 4 5 7 9 10 11

59、12 1314 15)m , , , , , ,2021年12月26日星期日95邏輯函數化簡邏輯函數化簡4 4、直接填充（利用幾何含義）、直接填充（利用幾何含義）FACADBDBCABCD0001101100011011111111111111111100002021年12月26日星期日962 24.5 4.5 塊的合并（卡諾圖上最小項的合并規律）塊的合并（卡諾圖上最小項的合并規律） 只有只有2 2i i個相鄰最小項才能合并，并消去個相鄰最小項才能合并，并消去i i個變量個變量 卡諾圖化簡的依據卡諾圖化簡的依據：任何兩個：任何兩個邏輯上相邏輯上相鄰鄰的小方塊所表示的最小項只有一個變的小方塊所表

60、示的最小項只有一個變量不同，其余變量均相同，這樣將兩項量不同，其余變量均相同，這樣將兩項并為一項可消去一個變量。并為一項可消去一個變量。2021年12月26日星期日97（1）2個相鄰個相鄰的小方格可以合并為的小方格可以合并為1項，項，消去消去1個個變量。變量。（2）4個相鄰個相鄰的小方格可以而合并為的小方格可以而合并為1項，項，消去消去2個個變量。變量。（3）8個相鄰個相鄰的小方格可以合并為的小方格可以合并為1項，項，消去消去3個個變量。變量。001110011010110100 ABCF = B相鄰項的合并規律相鄰項的合并規律:2021年12月26日星期日98n n個變量卡諾圖中最小項的合并規律：個變量卡諾圖中最小項的合并規律： 卡諾圈必須滿