1、熹李節(jié)尿莫型-及其應(yīng)用高考明方向1.了解指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、幕函數(shù)的增長特征 ，結(jié)合具 體實(shí)例體會直線上升、指數(shù)增長、對數(shù)增長等不同函數(shù)類型增長的含義.2.了解函數(shù)模型（如指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、幕函數(shù)、分段函 數(shù)等在社會生活中普遍使用的函數(shù)模型）的廣泛應(yīng)用備考知考情1.利用函數(shù)圖象刻畫實(shí)際問題及建立函數(shù)模型解決實(shí)際問 題，是咼考命題的熱點(diǎn).2.常與函數(shù)的圖象、單調(diào)性、最值以及基本不等式、導(dǎo)數(shù) 的應(yīng)用交匯命題，考查建模能力及分析問題和解決問題的 能力.3.選擇題、填空題、解答題三種題型都有考查，但以解答 題為主.一、知識梳理名師一號P35知識點(diǎn)一幾類函數(shù)模型函數(shù)解析式一次函數(shù)模型f(x)=ax+b

2、(a，b為常數(shù)，a0)二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a，b，c為常數(shù)，a0)模型指數(shù)型函數(shù)模型f(x)=bax+c(a，b，c為常數(shù)，a0，且a1)對數(shù)型函數(shù)模型f(x)=blogax+c(a，b，c為常數(shù),0，且a1)幕函數(shù)型 函數(shù)模型f(x)=axn+b(a，b為常數(shù)，a0)知識點(diǎn)二三種增長型函數(shù)之間增長速度的比較1.指數(shù)函數(shù)y=ax(a1)與幕函數(shù)y=xn(n0)：在區(qū)間(0,+x)上，無論n比a大多少，盡管在x的一定 范圍內(nèi)ax會小于xn,但由于ax的增長快于xn的增長，因而 總存在一個(gè)xo,當(dāng)xxo時(shí)，有axxn.2.對數(shù)函數(shù)y=logax(a1)與幕函數(shù)y=xn(n0)：對數(shù)

3、函數(shù)y=logax(a1)的增長速度，不論a與n值的大小 如何，總會慢于y=xn的增長速度，因而在定義域內(nèi)總存在 一個(gè)實(shí)數(shù)xo，當(dāng)xxo時(shí)，有l(wèi)ogaxvxn由1、2可以看出三種增長型的函數(shù)盡管均為增函數(shù)，但它 們的增長速度不同，且不在同一個(gè)檔次上，因此在(0, +)上，總會存在一個(gè)X0，當(dāng)xX0時(shí)，有axxnlogax.注意：名師一號P36問題探究問題1、2問題1解決實(shí)際應(yīng)用問題的一般步驟是什么？審題：弄清題意，分清條件和結(jié)論，理順數(shù)量關(guān)系, 初步選擇數(shù)學(xué)模型；(2)建模：將自然語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言，將文字語言轉(zhuǎn)化為符號語言，利用數(shù)學(xué)知識， 建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型；(3)求模：求解數(shù)學(xué)模型，得出數(shù)

4、學(xué)結(jié)論；(4)還原：將數(shù)學(xué)問題還原為實(shí)際問題.以上過程用框圖表示如下：彳彳建立函數(shù)模型建立函數(shù)模型| |敷學(xué)1T贏| |數(shù)學(xué)結(jié)果數(shù)學(xué)結(jié)果| |問題2在解決實(shí)際應(yīng)用問題時(shí)應(yīng)注意哪些易錯(cuò)的問題？(1)函數(shù)模型應(yīng)用不當(dāng)，是常見的解題錯(cuò)誤所以，要理解 題意，選擇適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型.要特別關(guān)注實(shí)際問題的自變量的取值范圍，合理確定函 數(shù)的定義域.(3)注意問題反饋，在解決函數(shù)模型后，必須 驗(yàn)證這個(gè)數(shù)學(xué) 解對實(shí)際問題的合理性.二、例題分析：(一)三種函數(shù)模型增長速度的比較 例1名師一號P36對點(diǎn)自測5、65判斷下面結(jié)論是否正確(請?jiān)诶ㄌ栔写颉癡”或“X”)(1)函數(shù)二2的函數(shù)值比y=x2的函數(shù)值大.()幕函數(shù)增

5、長比直線增長更快.()(3)不存在xo,使ax0vxnlogaxo.()(4) f(x)=x2,g(x)=2、h(x)=log2x,當(dāng)x(4,+x)時(shí)，恒有h(x)f(x)g(x).()答案XXXV思考：如何證明：任意x(4,+x),x22x恒成立。6在某種新型材料的研制中，實(shí)驗(yàn)人員獲得了下列一組實(shí) 驗(yàn)數(shù)據(jù)現(xiàn)準(zhǔn)備用下列四個(gè)函數(shù)中的一個(gè)近似地表示這些 數(shù)據(jù)的規(guī)律，其中最接近的一個(gè)是()x1.953.003.945.106.12y0.971.591.982.352.61A.y=2xB.y=log2xC.y=2（x21） D-y=2.61cosx解析由表格知當(dāng)x=3時(shí)，y=1.59,而A中y=23=

6、8,1不合要求，B中 尸Iog23(1,2)接近，C中y=21)=4,不合要求，D中y=2.61cos30,不合要求，故選B.(二)函數(shù)模型應(yīng)用題例1名師一號P36對點(diǎn)自測11.一根蠟燭長20 cm，點(diǎn)燃后每小時(shí)燃燒5 cm，燃燒時(shí)剩下 的高度h(cm)與燃燒時(shí)間t(h)的函數(shù)關(guān)系用圖象表示為圖中ABCD解析 由題意知h=205t(0Wt4),故選B.例2名師一號P36高頻考點(diǎn)例1(2014武漢調(diào)研)在經(jīng)濟(jì)學(xué)中，函數(shù)f(x)的邊際函數(shù)Mf(x)定 義為：Mf(x)=f(x+1)f(x)某公司每月生產(chǎn)x臺某種產(chǎn)品 的收入為R(x)元，成本為C(x)元，且R(x)=3000 x20 x2,C(x)

7、=500 x+4 000(xN*).現(xiàn)已知該公司每月生產(chǎn)該產(chǎn)品 不超過100臺.(1)求利潤函數(shù)P(x)以及它的邊際利潤函數(shù)MP(x);(2)求利潤函數(shù)的最大值與邊際利潤函數(shù)的最大值之差.解析：(1)由題意，得x1,100,且xN*.P(x)=R(x)C(x)=(3 000 x20 x2)(500 x+4 000)=20 x2+2 500 x4 000,MP(x)=P(x+1)P(x)=20(x+1)2+2 500(x+1)4 000(20 x2+2 500 x4 000)=2 480- 40 x.1252(2)P(x)= 20 x 兀2+74 125,當(dāng)x=62或x=63時(shí)，P(x)取得最大

8、值74 120元； 因?yàn)镸P(x)=2 480-40 x是減函數(shù)，所以當(dāng)x=1時(shí),MP(x)取得最大值2 440元.故利潤函數(shù)的最大值與邊際利潤函數(shù)的最大值之差為71 680元.注意：名師一號P36高頻考點(diǎn)例1規(guī)律方法 二次函數(shù)是我們比較熟悉的基本函數(shù)， 建立二次函數(shù) 模型可以求出函數(shù)的最值，解決實(shí)際中的最優(yōu)化問題，值得注意的是：一定要注意自變量的取值范圍根據(jù)圖象的對稱軸與定義域在數(shù)軸上表示的區(qū)間之間 的位置關(guān)系討論求解.例3名師一號P36高頻考點(diǎn) 例2一片森林原來面積為a，計(jì)劃每年砍伐一些樹，且每年砍伐 面積的百分比相等，當(dāng)砍伐到面積的一半 時(shí)，所用時(shí)間是1io年，為保護(hù)生態(tài)環(huán)境，森林面積至

9、少要保留原面積的4, 已知到今年為止，森林剩余面積為原來的今.(1)求每年砍伐面積的百分比；(2)到今年為止，該森林已砍伐了多少年？解析：1設(shè)每年降低的百分比為x(Ovxvl),則a(1x)1=2a，丄1i io即(1x)1o=2,解得x二12.J2(2)設(shè)經(jīng)過m年剩余面積為原來的 三，則a(1x)m2a，即1寫出2015年第x個(gè)月的旅游人數(shù)f(x)(單位：人)與x的函數(shù)關(guān)系式；m1210二11 2,m=2,解得m=5,故到今年為止，該森林已砍伐了5年.注意：名師一號P37高頻考點(diǎn)例2規(guī)律方法(1)指數(shù)函數(shù)模型常與增長率相結(jié)合進(jìn)行考查，在實(shí)際問題 中有人口增長、銀行利率、細(xì)胞分裂等增長問題 可

10、以利用 指數(shù)函數(shù)模型來表示.(2)應(yīng)用指數(shù)函數(shù)模型時(shí)，關(guān)鍵是對模型的判斷，先設(shè)定模 型將有關(guān)已知數(shù)據(jù)代入驗(yàn)證，確定參數(shù)，從而確定函數(shù)模 型.(3) y=a(1+x)n通常利用指數(shù)運(yùn)算與對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求解.例4名師一號P37高頻考點(diǎn)例3某旅游景點(diǎn)預(yù)計(jì)2015年1月份起前x個(gè)月的旅游人數(shù)1的和p(x)(單位：萬人)與x的關(guān)系近似地滿足p(x)=2x(x+1)(39-2x)(xN*，且x12).已知第x個(gè)月的人均消費(fèi)額q(x)(單位：元)與x的近似關(guān)系是q(x)35且2試問2015年第幾個(gè)月旅游消費(fèi)總額最大，最大月旅游消費(fèi)總額為多少元?解析：當(dāng)x=1時(shí)，f(1)=p(1)=37,當(dāng)2x12,且xN*

11、時(shí)，f(x)=p(x)p(x-1)1 1=2x(x+1)(39-2x)-2(x1)x(41-2x)=3x2+40 x,驗(yàn)證x=1也滿足此式， 所以f(x)= 3x2+40 x(xN*，且1x 且1 W:rW6h!、IAQI(-3.V十4取)斗丫丘：且7.rl2),即g(x)=400 x(.TeN且1芝龍芝切，-480 x+6 WOCYN*,冃WZl?).1當(dāng)Kx6,且xN*時(shí)，g(x)=18x2-370 x+1 400,令g(x)=0，解得x=5或x=弋4*舍去)當(dāng)Kx0,當(dāng)5x6時(shí)，g當(dāng)x=5時(shí)，g(x)max=g(5)=3 125(萬兀).2當(dāng)7x12,且xN*時(shí)，(x)0,g(x)= 4

12、80 x+6 400是減函數(shù)，當(dāng)x=7時(shí)，g(x)max=g(7)=3 040(萬元).綜上，2015年5月份的旅游消費(fèi)總額最大，最大旅游 消費(fèi)總額為3 125萬元.注意:名師一號P37高頻考點(diǎn) 例3規(guī)律方法(1)很多實(shí)際問題中，變量間的關(guān)系不能用一個(gè)關(guān)系式 給出，這時(shí)就需要構(gòu)建分段函數(shù)模型 ， 如出租車的票價(jià)與路程的函數(shù)就是分段函數(shù).(2)求函數(shù)最值常利用基本不等式法、導(dǎo)數(shù)法、函數(shù)的單調(diào) 性等方法. 在求分段函數(shù)的最值時(shí)，應(yīng)先求每一段上的最 值，然后比較得最大值、最小值.練習(xí)：溫故知新P32第6題某輛汽車 購買時(shí)的費(fèi)用是15萬元，每年使用的保險(xiǎn)費(fèi)、路 橋費(fèi)、汽油費(fèi)等約為1.5萬元，年維修保養(yǎng)

13、費(fèi)用第一年3000元，以后逐年遞增3000元，則這輛汽車報(bào)廢的最佳年限 (即 年平均費(fèi)用最少)是答案：10年函數(shù)模型應(yīng)用題專項(xiàng)突破從近三年的高考試題來看，建立函數(shù)模型解決實(shí)際問 題是高考的熱點(diǎn)，題型主要以解答題為主，難度中等偏高， 常與導(dǎo)數(shù)、最值交匯，主要考查建模能力，同時(shí)考查分析 問題、解決問題的能力【典例】 某村莊擬修建一個(gè)無蓋的圓柱形蓄水池(不 計(jì)厚度)設(shè)該蓄水池的底面半徑為r米，高為h米，體積 為V立方米假設(shè)建造成本僅與表面積有關(guān)，側(cè)面的建造 成本為100元/平方米，底面的建造成本為160元/平方米， 該蓄水池的總建造成本為12 000n元(n為圓周率).(1)將V表示成r的函數(shù)V(r),并求該函數(shù)的定義域； 討論函數(shù)V(r)的單調(diào)性，并確定r和h為何值時(shí)該 蓄水池