1、個(gè)人收集整理僅供參考學(xué)習(xí)恒成立問題地研究方法思想與方法“恒成立”問題是數(shù)學(xué)中常見地問題，經(jīng)常與參數(shù)地范圍聯(lián)系在一起，在高考中頻頻出現(xiàn)，是高考中地一個(gè)難點(diǎn)問題.常用方法： b5E2RGbCAP（ 1）函數(shù)與方程方法.利用不等式與函數(shù)和方程之間地聯(lián)系，將問題轉(zhuǎn)化成二次方程地根地情況地研究.有些問題需要經(jīng)過代換轉(zhuǎn)化才是二次函數(shù)或二次方程.注意代換后地自變量地范圍變化 .p1EanqFDPw（ 2）分離參數(shù)法 .將含參數(shù)地恒成立式子中地參數(shù)分離出來，化成形如：af (x) 或a f ( x) 或 af (x) 恒成立地形式 .則 af (x)a地范圍是 f ( x) 地值域 .DXDiTa9E3daf

2、 (x) 恒成立af (x) min； af (x)恒成立 af ( x)max.（ 3）若已知恒成立，則可充分利用條件（賦值法等）.范例選講例 1：已知不等式2x2 9 x m 0 在區(qū)間 2,3 上恒成立，求實(shí)數(shù) m地取值范圍 .【分析】有哪些方法？答案：(,9例 2：已知關(guān)于 x 地方程 4x2 6xa 9x0恒有解，求實(shí)數(shù)a 地取值范圍 .【分析】做代換后變量地范圍發(fā)生了什么變化？例 3、（ 03 廣東江蘇）解： (II). 用 f(x) max、 f(x)min 表示 f(x) 在 0,1 上地最大值、最小值，則對任意x 0,1,都有|f(x)| 1 當(dāng)且僅當(dāng)f (x) max1（

3、* ）而 f(x)=-b(x a )2 + a 2，（ x 0,1）當(dāng) 2ba 時(shí)，f (x) min12b4b0<a1 ，f(x) max =2，f(x) min =f(0) 或2ba4bb 1且 2b a于是(*)a21或4bf (0)01f (1)ab1f(1)；當(dāng) 2b<a 時(shí)， a >1, f(x) max = f(1) ，f(x) min =f(0) ，2 bb1且 2baa2b 或f(1)ab-1b 1f(0 )01xyxyxb-1 a 2b .RTCrpUDGiT 2x yx 2 ycx 2y 2x y例 4：是否存在常數(shù)c，使得不等式對任意正數(shù) x,y 恒成

4、立？試證明你地結(jié)論 .5PCzVD7HxA1 / 6個(gè)人收集整理僅供參考學(xué)習(xí)訓(xùn)練題1(2002 年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽第12 題 )求使不等式 sin2xacosx a21 cosx 對一切 x R恒成立地負(fù)數(shù) a 地取值范圍 .jLBHrnAILg1 2 x(n 1) xa n x2.若 f(x) 當(dāng)2 (1990 年全國高考題 )設(shè) f(x)=lgn,a R, n N 且 nx (- ,1有意義，求 a 地取值范圍 .xHAQX74J0X2xa3（福建 04）已知 f(x)=(xR)在區(qū)間 1， 1上是增函數(shù) .x22（）求實(shí)數(shù)a 地值組成地集合 A ；（）設(shè)關(guān)于x 地方程 f(x)= 1 地

5、兩個(gè)非零實(shí)根為x1、 x2.試問：是否存在實(shí)數(shù)m，使得2xm 地取值范圍；不等式 m +tm+1 |x1 x2 |對任意 a A 及 t 1，1恒成立？若存在，求若不存在，請說明理由.LDAYtRyKfE4設(shè) f ( x)ax2bxc，若 f (1)7,問是否存在 a,b, c R, 使得不等式 Zzz6ZB2Ltk2x 21f ( x)2x 22x3對一切實(shí)數(shù) x 都成立，證明你地結(jié)論 .222 / 6個(gè)人收集整理僅供參考學(xué)習(xí)習(xí)題答案詳解練習(xí) 1解：原不等即 cos 2x（ 1 a） cosxa20 (*)令 cosx=t，由 xR 知 t-1， 1，于是 (*) 對一切 xR 恒成立當(dāng)且僅

6、當(dāng)f(t)=t 2 （ 1 a） t a 20(*) 對一切 t-1， 1恒成立，其充要條件f(t) 在-1 ，1上地最大值 f(t)max0,而 f(t)max = f(1) 或 f(-1)，因此 (*) 對一切 t-1，1恒成立當(dāng)且 dvzfvkwMI1a 0a 0f (1)1 1 aa 20a2或 a 1a-2f ( 1) 1 (1 a) a 20a 0或 a 1故所求地 a 地范圍為 (-,-2.練習(xí) 2、解： f(x) 當(dāng) x(-,1有意義，當(dāng)且僅當(dāng) 1 2 x (n-1) x n x >0對 x (- ,1恒成立 .即 rqyn14ZNXIg(x)= ( 1) x ( 2 )

7、 x ( n1) x a>0，對 x(-,1恒成立，而 g(x) 在(-,1上是減函數(shù)，nnn其最小值為 g(1)=1 2 n1 a= 1(n 1) a.EmxvxOtOconnn2于是 g(x) >0 對 x(-,1恒成立當(dāng)且僅當(dāng)n1 a>0，即 a> 1 n .故所求 a 地范圍為（ 1n ， +222）.42ax2x2=2( x2ax2)，練習(xí) 3、解：（） f(x)=(x 22) 2( x22)2 f(x)在 1， 1上是增函數(shù)， f(x) 0 對 x 1， 1恒成立，即 x2 ax 2 0 對 x 1， 1恒成立 .設(shè) (x)=x2 ax2，方法一：(1) 1

8、 a 2 0(1)1a201 a 1，對 x 1， 1， f(x) 是連續(xù)函數(shù)，且只有當(dāng)a=1 時(shí)， f (-1)=0 以及當(dāng) a=1 時(shí)， f(1) =0SixE2yXPq5 A= a|1 a 1.方法二：a0a2或01)1a222 0(0(1) 1 a3 / 6個(gè)人收集整理僅供參考學(xué)習(xí)0 a 1或 1 a 0 1 a 1.對 x 1， 1， f(x) 是連續(xù)函數(shù)，且只有當(dāng)a=1 時(shí)， f ( 1)=0 以及當(dāng) a=-1 時(shí) ，f(1)=0 6ewMyirQFL A= a|1 a 1.（）由 2 xa=1，得 x2 ax 2=0 ， =a2+8>0x22x x1， x2 是方程 x2

9、ax 2=0 地兩非零實(shí)根， x1 +x2=a， x1x2=2，從而 |x1 x2|= ( x1 x2 ) 24x1 x2 = a 28 . 1 a 1， |x1-x2|=a28 3.要使不等式m2+tm+1 |x1 x2|對任意 a A 及 t 1， 1恒成立，當(dāng)且僅當(dāng) m2+tm+1 3 對任意 t 1，1 恒成立，即 m2+tm 2 0 對任意 t 1， 1恒成立 .設(shè) g(t) =m2+tm 2=mt+(m 2 2)，方法一：g( 1)=m2 m2 0， g(1)=m2+m 2 0，m 2 或 m 2.所以，存在實(shí)數(shù)m，使不等式 m2 +tm+1 |x1 x2|對任意 a A 及 t

10、1，1恒成立，其取值范圍是 m|m 2，或 m 2. kavU42VRUs方法二：當(dāng) m=0 時(shí)，顯然不成立；當(dāng) m 0 時(shí)，m>0， g( 1)=m2 m 2 0或 m<0， g(1)=m 2+m 2 0m 2 或 m 2.所以，存在實(shí)數(shù)m，使不等式 m2+tm+1 |x1 x2|對任意 a A 及 t -1， 1恒成立，其取值范圍是 m|m 2，或 m 2. y6v3ALoS89練習(xí) 4：提示 假設(shè)存在，賦值法找到盡可能多地關(guān)系.f (1)abc72f ( 1)abc321c3f ( 0)22從而得到b=1,c=2.5-a等，然后用 a 表示 f(x)再利用恒成立求 a.4 /

11、 6個(gè)人收集整理僅供參考學(xué)習(xí)版權(quán)申明本文部分內(nèi)容，包括文字、圖片、以及設(shè)計(jì)等在網(wǎng)上搜集整理.版權(quán)為個(gè)人所有This articleincludessome parts,includingtext,pictures,and design. Copyright is personal ownership.M2ub6vSTnP用戶可將本文地內(nèi)容或服務(wù)用于個(gè)人學(xué)習(xí)、研究或欣賞，以及其他非商業(yè)性或非盈利性用途， 但同時(shí)應(yīng)遵守著作權(quán)法及其他相關(guān)法律地規(guī)定，不得侵犯本網(wǎng)站及相關(guān)權(quán)利人地合法權(quán)利. 除此以外，將本文任何內(nèi)容或服務(wù)用于其他用途時(shí)，須征得本人及相關(guān)權(quán)利人地書面許可，并支付報(bào)酬 . 0YujCfmU

12、CwUsers may use the contents or services of this article for personal study, research or appreciation, and other non-commercial or non-profit purposes, but at the same time, they shall abide by the provisions of copyright law and other relevant laws, and shall not infringe upon the legitimaterights

13、of this website and its relevant obligees. In addition, when any content or service of this article is used for other purposes, written permission and remuneration shall be obtained from the person concerned and the relevantobligee.eUts8ZQVRd轉(zhuǎn)載或引用本文內(nèi)容必須是以新聞性或資料性公共免費(fèi)信息為5 / 6個(gè)人收集整理僅供參考學(xué)習(xí)使用目地地合理、善意引用，不得對本文內(nèi)容原意進(jìn)行曲解、修改，并自負(fù)版權(quán)等法律責(zé)任. sQsAEJkW5TReproduction or quotation of the content of this articlemust be reasonable and good-faith citation for