1、第三章第三章 FIR FIR 數字濾波器設計數字濾波器設計 3.1 FIR DF 3.1 FIR DF 的線性相位特征的線性相位特征 3.2 FIR DF 3.2 FIR DF 設計的窗函數法設計的窗函數法 3.3 3.3 頻率抽樣法頻率抽樣法 1. 1.線性相位線性相位 H(e)?H(e) e|H(e)|j? ?j?j?j?(?)幅頻響應幅頻響應 相頻響應相頻響應 線性相位線性相位 ? ?(? ?)如果：如果： ?(?)? ?k?若若: ?(?)?k?也稱線性相位也稱線性相位 例：例： x(n)h(n) ? ?|H(ej? ?y(n)|ej? ?(? ?)輸出輸出： Y(ej? ?)? ?H

2、(ej? ?)X(ej? ?)X(ej? ?)若：若： |H(e)|? ?1 ,j? ? ?(? ?)? ? ? ?k? ?j? ? ?jk? ?線性相位線性相位 則則： Y(e)? ?X(e)ey(n)?x(n?k)j? ?輸出是輸入的簡單移位，移位的大小正比于輸出是輸入的簡單移位，移位的大小正比于 k因此不會發生失真。因此不會發生失真。 例例1： x(n)?cos(?0n)?cos(2?0n)則：則： y1(n)?cos(?0(n?k)?cos(2?0(n?k)沒有發生相位失真沒有發生相位失真 例2： x(n)?cos(?0n)?cos(2?0n)?/40?3?0/2若： ?(?)?3?/

3、2?0?則： y2(n)?cos(?0n?/4)?cos(2?0n?)發生了相位失真發生了相位失真 2x(n)0-2-10201020y1(n)0-2-10201020y2(n)0-2-1001020 如果系統的相頻響應如果系統的相頻響應不是線性的不是線性的，那么系統的輸出將不再是輸入信號作線那么系統的輸出將不再是輸入信號作線性移位后的組合，因此，性移位后的組合，因此，輸出將發生失輸出將發生失真。真。 定義：定義： ? ?g(? ?)? ? ? ?d? ?(? ?)為系統的群延遲為系統的群延遲d? ?(Group Delay, GD) 若系統具有線性相位，則其若系統具有線性相位，則其GD為常數

4、為常數。 2 FIR DF2 FIR DF的線性相位條件的線性相位條件 在絕大部分信號處理的場合，人在絕大部分信號處理的場合，人們都期盼系統具有線性相位，但是，們都期盼系統具有線性相位，但是，如何實現線性相位？如何實現線性相位？ 對對 FIR FIR 系統，如果保證：系統，如果保證： 則該系統具有線性相位。則該系統具有線性相位。 第一類線性相位條件第一類線性相位條件 偶對稱偶對稱 第二類線性相位條件第二類線性相位條件 奇對稱奇對稱 證明 線性相位線性相位 H(e)?H(e) ej?j?j?(?)幅頻響應幅頻響應 相頻響應相頻響應 如果：如果： ?(?)? ?k?若若: ? ?(? ?)? ?

5、? ?k? ? ? ?線性相位線性相位 也稱線性相位也稱線性相位 h(n)? ?h(N? ?1? ?n)偶對稱偶對稱 h(n)? ? ? ?h(N? ?1? ?n)奇對稱奇對稱 N奇奇數數 N偶偶數數 h(n)=h(N-1-n) 1. N為奇數為奇數 H(e )?h(n)ej?N?1n?0?j?n?N?1?j?2?(N?1)?12N?1?n?0h(n)e?j?n?令： m?N?1?nH(e )?j?N?1?12n?0(N?1)n?12?h(n)e?j?nN?1?h()e2?h(n)e?j?n?N?1?12m?0h(m)?j(N?1?m )?h(N?1?m )eN?1?j()?2N?1?h()e

6、2j?H(e )的對稱性，有 利用 H(e )?j?N?1?12m?0?h(m )e?j?m?e?j(N?1?m )?N?1?h()e2N?1j?(?m)2N?1?j()?2?eN?1?1N?12?j?2m?0?h(m )e?eN?1?j?(?m)2N?1?h()2N?1?1N?12?j?N?1N?12?e?2 h(n)cos?(?m )?h()22m?0j?H(?)增益增益 (Amplitude) 與幅度與幅度 (|H(e)|Magnitude) H(?)可正可負可正可負， |H(e)|總為正總為正 j?例：例： h(n)?1 ,1 ,1 H(e)?1?2cos?e增益增益 H(?)?1?2

7、cos?j?j?(?)? ?,j?j?幅度幅度 |H(e)|?|1?2cos?|0?2?/3?,H(e)?,2?/3?H(?)?1?2cos?|H(e)|?|1?2cos?|0?2?/3?,H(e)?,2?/3?j?j?(?)? ?,?eN?1?1N?12?j?2?m?0N?1N?12 h(n)cos?(?m )?h()22N?1N?1?2 h(?n)cos?n?h()22n?12N?1?m令： n?2N?1H(e )?e令令： j?N?1?j?2?N?1h()?2a(n)?N?1?2h(?n)?2j?j(N?1)?/2n?0n?1, 2, ,(N?1)2p197 (N?1)2H(e )?e?

8、n?0a(n)cos(?n)H(e )?ej?j(N?1)?/2(N?1)2?n?0a(n)cos(?n)p197 ?(?)? ?(N?1)?2(N?1)2相位 增益 Hg(?)?n?0a(n)cos(?n)Hg?Hg?2? ? ? 所以，只要保證濾波器的系數偶對稱，所以，只要保證濾波器的系數偶對稱，該濾波器必然具有線性相位。該濾波器必然具有線性相位。 2. N為偶數為偶數 H(e )?ej?j(N?1)?/2N12h(?n)cos(n?)?22n?1n?1, 2,N 2N 2令： b(n)?2h(N?n),2N,2則： H(e )?ej?j(N?1)?/21b(n)cos(n?)?2n?1H

9、g? ?Hg?2? ? ?第二類線性相位條件第二類線性相位條件 3. N為奇數為奇數 H(e )?ej?N?1?(N?1)2j?22?n?1c(n)sin(?n)N?1c(n)?2 h(?n)2n?1, 2, ,(N?1)2?(?)? ?(N ?1)?/2?/24. N為偶數為偶數 H(e )?ej?N?1? N 2j?22?1?d(n)sin?(n?)?2?n?1n?1, 2, ,N 2Nd(n)?2h(?n)2?(?)? ?(N ?1)?/2?/2請掌握四種情況下線性相位表達式的推導方法。 說明：說明： 第一類第一類 FIR 系統是系統是 cos(?n)? 0時，時， H(e )易取得最大

10、易取得最大 的線性組合，在的線性組合，在 j?值，因此這一類濾波器易體現低通特性，且是值，因此這一類濾波器易體現低通特性，且是 偶函數。通過頻率移位，又可體現高通、帶通、偶函數。通過頻率移位，又可體現高通、帶通、 帶阻特性。所以，經典的低通、高通、帶通和帶阻特性。所以，經典的低通、高通、帶通和 h(n)都是偶對稱的。都是偶對稱的。 帶阻濾波器的帶阻濾波器的 第二類第二類 FIR 系統是系統是 sin(?n)? 0時，時，H(e )的值為零，且的值為零，且 的線性組合，在的線性組合，在 j?是奇函數。這一類濾波器都是作為特殊形式的是奇函數。這一類濾波器都是作為特殊形式的 濾波器，如濾波器，如 H

11、ilbert變換器、差分器等。變換器、差分器等。 例：四類FIR濾波器的增益 FIR_Type I , FIR_Type II FIR_Type III ,FIR_Type IV P199, Tab. 7.1.1 FIR_Type I Impulse Response1052010, N: odd FIR Type I Amplitudeh(n)0-505na(n) coefficents10Hr0-10-2000.511.5Frequency(pi)21051Imaginary Part0.50-0.5-110a(n)0-505n10-10Real Part1FIR_Type II Impu

12、lse Response4010205, N: even FIR Type II Amplitudeh(n)0-505nb(n) coefficents1010Hr0-20-4000.511.5Frequency(pi)21Imaginary Part50.50-0.5-111b(n)0-505n10-10Real Part1FIR_Type III Impulse Response1054020, N: odd FIR Type III Amplitudeh(n)0-505nc(n) coefficents10Hr0-20-4000.511.5Frequency(pi)2101Imagina

13、ry Part50.50-0.5-110c(n)0-505n10-10Real Part1FIR_Type IV Impulse Response3010205, N: even FIR Type VI Amplitudeh(n)0-505nd(n) coefficents1010Hr100-1000.511.5Frequency(pi)21Imaginary Part50.50-0.5-1-10Real Part111d(n)0-505n10h(n)=h(N-1-n) N為奇數為奇數 線性相位線性相位 (N?1) 2H(e)?ej?j(N?1)?/2?n?0a(n)cos(?n)相位 增益

14、?(?)? ?(N?1)?2(N?1)2Hg(?)?n?0a(n)cos(?n)Hg?Hg?2? ? ?Hd(ej?)11hd(n)? ?2? ?2? ? ? ? ?Hd(e)ej? ?hd(n)j? ?nd? ?2?c?csin? ?cnhd(n)? ? ?n1j? ?|H(e)|? ?|Hd(e)|*|2? ?j? ?sin? ?(N)? ?22h1(n)? ?hd(n)? ?M(n)|sin窗函數窗函數: 主瓣寬度主瓣寬度 旁瓣最大峰值旁瓣最大峰值 越小越好越小越好 1j? ?|H(e)|? ?|Hd(e)|*|2? ?j? ?越小越好越小越好！sin? ?(N)? ?22|sin為了省

15、去每次的移位，事先給一線性相位為了省去每次的移位，事先給一線性相位 即即 ? ?ej? ?Hd(e)? ? ? ?0? ?c? ?j? ?M 20?c?c?e? ?jM? ?2于是： 1hd(n)? ?2? ? ? ? ?ej? ?ncsin(n? ?M 2)? ?cd? ? ? ?(n? ?M 2)h(n)? ?hd(n)? ?M(n)n? 0,1,.M使用窗 H(z)的思路可推廣到的思路可推廣到高通高通、 上述設計上述設計 帶阻帶阻及及帶通帶通濾波器，也可推廣到其它特殊類濾波器，也可推廣到其它特殊類j? ?型的濾波器。實際上，給定一個型的濾波器。實際上，給定一個 Hd(e) ，hd(n)，

16、即可由截短、移位，即可由截短、移位只要能積分得到只要能積分得到 的方法得到因果的、且具有線性相位的的方法得到因果的、且具有線性相位的FIR濾濾H(z)。 波器波器 高通高通： ?ej?H (e )?d令： ?0?j?M 2?c?0 ?csin( n?M 2)?sin( n?M 2)?chd(n)?(n?M 2)?處的低通濾波器減去一個截止處的低通濾波器減去一個截止相當于用一個截止頻率在相當于用一個截止頻率在 頻率在頻率在 ?c處的低通濾波器。處的低通濾波器。 ?e?l?hj?帶通帶通： Hd(e )?0其它?令： sin( n?M 2)?h?sin( n?M 2)?lhd(n)?(n?M 2)

17、?j?M 2相當于用一個截止頻率在相當于用一個截止頻率在? c2處的低通濾波器減去一個截止處的低通濾波器減去一個截止?c1處的低通濾波器。處的低通濾波器。 頻率在頻率在 帶阻帶阻 ?e令令： Hd(e )?0j?j?M 2?l,?h其它 三、三、 FIR DF 窗函數法設計的步驟：窗函數法設計的步驟： 1. 根據技術要求確定待求濾波器的單位取樣根據技術要求確定待求濾波器的單位取樣響應響應 1? ?j? ?j? ?nhd(n)? ?H (e)ed? ?d? ? ? ?2? ? 2.根據阻帶衰減要求查表，選窗類型根據阻帶衰減要求查表，選窗類型 3.根據過渡帶計算濾波器階數根據過渡帶計算濾波器階數N

18、 確定窗函數確定窗函數 ? ?(n)4. h(n)? ?hd(n)? ?(n)N? ?1n? ?0? ? ? ?A/ N? ?nH(z)? ? ?h(n)zFIR DF 階數階數N越大，越大， 阻帶衰減也越大。阻帶衰減也越大。 FIR DF 階數階數N越大，越大， 過渡帶越小。過渡帶越小。 ? 例：低通：例：低通： FIRLPHam.m 高通：高通： FIRHPHam.m 帶通：帶通：FIRBPHam.m function hd=ideal_lp(wc,M) function dB,w=freqz_m(b,a) 上一節的窗函數法是指定連續的理想上一節的窗函數法是指定連續的理想j?Hd(e )，

19、然后用積分的方法求出，然后用積分的方法求出頻率響應頻率響應 理想濾波器的單位抽樣響應理想濾波器的單位抽樣響應 hd(n)，再將，再將其移位、截短，得到因果的、具有線性相其移位、截短，得到因果的、具有線性相H(z)。 位的位的 FIR DF Hd(e )進行采樣，進行采樣， 對連續的理想頻率響應對連續的理想頻率響應 Hd(k)，再求，再求IDFT得到得到 得到離散的頻率響應得到離散的頻率響應 j?hd(n)一、基本思路一、基本思路H: : ?2?d( ej?)1頻率頻率 ?2?采樣采樣 ?c?c?1Hd(k)?得：得： ?0N?1forpassband kforstopbandk1j2?nk/N

20、h(n)?Hd(k)eNk?0濾波器就設計出來濾波器就設計出來 如何實現線性相位？ Hd(e )? ?Hg(e )eN: odd Hg(e)? ?j? ?(N? ?1)/2n? ?0j? ?j? ?j? ?(? ?)(N ? ?1 )? ?偶對稱偶對稱 h(n)? ?h(N? ?1? ?n)? ?(? ?)? ? ? ?2N:even 1Hg(e )? ? ?b(n)cos? ?(n? ?)2n? ?0j? ?N/2? ?a(n)cos(? ?n)Hg?Hg?2? ? ?Hg? ?Hg?2? ? ?FIR_Type I Hg?Hg?2? ? ?2010, N: odd Impulse Resp

21、onse105FIR Type I Amplitudeh(n)0-505na(n) coefficents10Hr0-10-2000.511.5Frequency(pi)21051Imaginary Part0.50-0.5-110a(n)0-505n10-10Real Part1FIR_Type II Impulse Response4010205, N: even Hg? ?Hg?2? ? ?FIR Type II Amplitudeh(n)0-505nb(n) coefficents1010Hr0-20-4000.511.5Frequency(pi)21Imaginary Part50.

22、50-0.5-111b(n)0-505n10-10Real Part1二、線性相位對二、線性相位對H(k)H(k)的約束條件的約束條件 H(k)? ?Hd(e)|j? ?2? ? ? ?kN? ?Hg(e)ej? ?j? ?(? ?)|2? ? ? ?kNN? ?12? ?N? ?1? ?(k)? ? ? ?k? ? ? ? ?k2NNHg(k)? ?Hg(e)|N: odd N:even j? ?2? ? ? ?kNHg(k)? ?Hg(N? ?k)Hg(k)? ? ? ?Hg(N? ?k)?1 ,?j?Hd(e)?0 ,?|?|?4FIRLPSampling.m ?4?用頻率采樣法設計該濾波器，要求具有線性用頻率采樣法設計該濾波器，要求具有線性相位。濾波器系數的長度為相位。濾波器系數的長度為N N29 Sampling,M=2910.8)k0.6(Hr0.40.2000.51frequency(pi)1w)Hr(0.5000.51frequency(pi)0.3Impulse response0.2)h(n0