1、專題07圓錐曲線概念及其幾何性質 方法技巧專題 7 圓錐曲線的概念及其幾何性質 解析版一、 圓錐曲線的概念及其幾何性質知識框架 二、圓錐曲線的定義、方程 【一】圓錐曲線的定義 1 、橢圓 （1）秒殺思路：動點到兩定點(距離為 )距離之和為定值( )的點的軌跡； （2）秒殺公式：過拋圓的一個焦點作弦 ,與另一個焦點 構造 ，則 的周長等于 。 （3） 當 時，表示橢圓；當 時，表示兩定點確定的線段； 當 時，表示無軌跡。 2 、雙曲線 （1）秒殺思路： 雙曲線上任意一點到兩焦點距離之差的絕對值是常數 ; 注意定義中兩個加強條件:（i）絕對值; （ii） ； 加絕對值表示兩支(或兩條),不加絕對值

2、表示一支(或一條); （2）秒殺公式：過雙曲線的一個焦點作弦 （交到同一支上），與另一個焦點 構造 ，則的周長等于 。 （3） 當 時，表示雙曲線； 當 時，表示以兩定點為端點向兩側的射線； 當 時，無軌跡； 當 時表示兩定點的中垂線。 3 、拋物線 （1）秒殺思路：到定點(焦點)距離等于到定直線(準線)距離。所以，一般情況下,拋物線已知到焦點的距離需轉化為到準線的距離,已知到準線的距離需轉化為到焦點的距離。 （2）秒殺公式一：焦點在 軸上的圓錐曲線,曲線上的點到同一個焦點的距離成等差數列，則橫坐標成等差數列，反過來也成立。 （3）秒殺公式二：作過拋物線焦點且傾斜角為 或 的弦,兩段焦半徑分別

3、為: . 1. 例 例 題 【例 1 1 】設 p 是橢圓2 2125 16x y+ = 上的點,若2 1 ,ff 是橢圓的兩個焦點,則1 2pf pf + 等于 ( ) a.4 b.5 c.8 d.10 【解析】利用橢圓的定義得1 2pf pf + = 10 2 = a ,選 d。 【例 2 2 】已知橢圓 c :2 219 4x y+ = ,點 m 與 c 的焦點不重合,若 m 關于 c 的焦點的對稱點分別為 b a, ,線段mn 的中點在 c 上,則 | | | | an bn + = . 【解析】如圖,22qf bn = ,12qf an = , | | | | an bn + = 1

4、2 4 ) ( 22 1= = + a qf qf . 例 【例 3 3 】已知雙曲線 12 2= - y x ,點2 1 ,ff 為其兩個焦點,點 p 為雙曲線上一點,若2 1pf pf ,則2 1pf pf + 的值為_. 【解析】 , 8 , 22221 2 1= + = - r r r r 得2 1pf pf + = 3 2 . 【例 4 4 】設橢圓1c 的離心率為135,焦點在 x 軸上且長軸長為 26,若曲線2c 上的點到橢圓1c 的兩個焦點的距離的差的絕對值等于 8,則曲線2c 的標準方程為 ( ) a. 13 42222= -y x b. 15 132222= -y x c.

5、 14 32222= -y x d. 112 132222= -y x 【解析】由雙曲線定義得 4 = a ， 5 = c ， 3 = b ，選 a。 【例 5 5 】( (2021 年新課標全國卷 i10)以拋物線 c 的頂點為圓心的圓交 c 于 b a, 兩點,交 c 的準線于 e d, 兩點.已知 ab = 4 2 , de = 2 5 ,則 c 的焦點到準線的距離為 ( ) a.2 b.4 c.6 d.8 【解析】a apx y am 2 8 , 2 2 = = = ,px a4= ,24 ppr + = =4522 2pon dn + = + , 4 = p ,選 b。 例 【例 6

6、 6 】已知拋物線22 ( 0) y px p = > 的焦點為 f ,點 ( )1 1 1, y x p , ( )2 2 2, y x p , ( )3 3 3, y x p 在拋物線上,且2 1 32x x x = + ,則有 ( ) a.1 2 3fp fp fp + = b.2 2 21 2 3fp fp fp + = c.2 1 32 fp fp fp = + d.22 1 3fp fp fp = 【解析】2 1 32x x x = + 可知焦半徑成等差數列,選 c. 【例 7 7】 】(2021 年新課標全國卷 ii)已知 f 是拋物線 : c 的焦點, m 是 c 上一點

7、, fm 的延長線交 軸于點 n .若 m 為 fn 的中點，則 fn = . 【解析】28 y x = 則 4 p = ，焦點為 ( ) 2 0 f ， ，準線 : 2 l x = - ，如圖， m 為 f 、 n 中點，知線段 bm 為梯形 afnc 的中位線, 2 cn = , 4 af = , 3 = mb ,又由定義知 mf mb = ,且 mn nf = , 6 = fn 。 【例 8 8 】 m 是拋物線24 y x = 上一點,f 是拋物線的焦點,以 fx 為始邊、 fm 為終邊的角 60 xfm Ð = ° ,求fm . 【解析】由秒殺公式得 fm = p

8、 2 =4。 【例 9 9 】拋物線24 y x = 的焦點為 f ,準線為 l ,經過 f 且斜率為 3 的直線與拋物線在 x 軸上方的部分相交于點 a , ak l ,垂足為 k ,則 akf 的面積是 ( ) 28 y x = ylfnmcbaoyx a.4 b. 3 3 c. 4 3 d. 8 【解析】由秒殺公式得 4 2 = = = p af ak ， akf d 是邊長為 4 的正三角形， =dakfs 4 3 。 2. 鞏固提升綜合練習 【練習 1 1 】(2021 年新課標全國卷 14)在平面直角坐標系 xoy 中,橢圓 c 的中心為原點,焦點1 2, f f 在 x 軸上,離

9、心率為22.過1f 的直線 l 交 c 于 , a b 兩點,且2abf d 的周長為 16,那么 c 的方程為 . 【解析】 4 , 16 4 = = a a ,得方程為:2 2116 8x y+ = . 【練習2 2】 】已知 為橢圓 的兩個焦點,過 的直線交橢圓于 , a b 兩點, ,則 = . 【解析】 8 12 4 = - = a ab 。 【練習 3 3 】已知雙曲線 c 的離心率為 2，焦點為1f 、2f ,點 a 在 c 上,若1 22 fa f a = ,則2 1cos af f Ð = a.14 b.13 c.24 d.23 【解析】由雙曲線定義得： a a f

10、 a f 22 1= - ，1 22 fa f a = ， a a f a a f 2 , 42 1= = ， a c f f 4 22 1= = ，由余弦定理得：2 1cos af f Ð =41，選 a。 【練習 4 4 】若雙曲線 的左、右焦點分別為 ,點 在雙曲線 上,且 ,則 等于 ( ) a.11 b.9 c.5 d.3 【解析】由雙曲線定義得： 92= pf ,選 b。 【練習 5 5 】拋物線24 y x = 上的一點 m 到焦點的距離為 1,則點 m 的縱坐標是 ( ) a.1617 b.1615 c.87 d.0 【解析】由拋物線定義得選 b。 【練習 6 6 】

11、已知 f 是拋物線2y x = 的焦點, , a b 是該拋物線上的兩點, =3 af bf + ,則線段 ab 的中點到y 軸的距離為 ( ) 2 1f f、 19 252 2= +y x1f 122 2= + b f a fab2 2: 19 16x ye - =1 2, f f p e13 pf =2pf a.34 b.1 c.54 d.74 【解析】由拋物線定義得選 c。 【練習 7 7 】(2021 年新課標全國卷 i10)已知拋物線 c :28 y x = 的焦點為 f ,準線為 l , p 是 l 上一點, q 是直線pf 與 c 的一個焦點,若 4 fp fq = ,則 | |

12、 qf = ( ) a.72 b.52 c.3 d.2 【解析】利用相似成比例與拋物線上的點到焦點的距離等于到準線的距離，得 | | qf =3，選 c。 【練習 8 8】 】(2021 年新課標全國卷 ii 文 12)過拋物線 x y c 4 :2= 的焦點 f ,且斜率為 3 的直線交 c 于點 m( m 在 x 軸上方), l 為 c 的準線,點 n 在 l 上且 l mn ,則 m 到直線 nf 的距離為 ( ) a. 5 b. 2 2 c. 3 2 d. 3 3 【解析】斜率為 3 可知 mnf d 為邊長為 4 的等邊三角形,則 nf = 3 2 ，選 c。 【練習 9 9】 】設

13、拋物線28 y x = 的焦點為 f ,準線為 l , p 為拋物線上一點, pa l , a 為垂足,如果直線 af 的斜率為 3 - ,那么 pf = ( ) a. 4 3 b.8 c. 8 3 d.16 【解析】由秒殺公式得選 b。 【練習 10 】設 o 是坐標原點, f 是拋物線22 ( 0) y px p = > 的焦點, a 是拋物線上的一點, fa 與 x 軸正向的夾角為 ° 60 ,則 oa 為 【解析】由秒殺公式得212p 。 【二】圓錐曲線的方程 1、 、 橢圓( 秒殺方法：分母大的為焦點所在軸)： ：2 2 2b a c - = 2 22 21( 0)x

14、 ya ba b+ = > >表示焦點在 x 軸橢圓的標準方程; 2 22 21( 0)y xa ba b+ = > >表示焦點在y軸橢圓的標準方程。 2、 、 雙曲線（秒殺方法：系數為正的為焦點所在軸）：2 2 2c a b = + 2 22 21( 0, 0)x ya ba b- = > > 表示焦點在 x 軸上雙曲線的標準方程; 2 22 21( 0, 0)y xa ba b- = > > 表示焦點在y軸上雙曲線的標準方程。 1. 例題 【例 1 1 】(2021 年新課標全國卷 8)已知等軸雙曲線 c 的中心在原點,焦點在 x 軸上,c

15、與拋物線 x y 162= 的準線交于 a,b 兩點, 3 4 = ab ,則 c 的實軸長為 ( ) a. 2 b. 2 2 c.4 d.8 【解析】設等軸雙曲線方程為2 2 2a y x = - ,拋物線的準線方程為： 4 = x ，聯立解得 2 = a ,選 c. 【例 2 2 】" '是"方程 '表示焦點在 y 軸上的橢圓'的 ( ) a.充分而不必要條件 b.必要而不充分條件 c.充要條件 d.既不充分也不必要條件 【解析】橢圓方程可化為：11 12 2= +nymx，如焦點在 y 軸上，只需 01 1> >m n，即 0 &g

16、t; > n m ，所以是充要條件，選 c。 例 【例 3 3 】設 ab 是橢圓的長軸,點 c 在橢圓上,且4p= Ðcba .若 2 , 4 = = bc ab ,則橢圓的兩個焦點之間的距離為 . 【解析】由 4 = ab 得 2 = a ，由4p= Ðcba 與2 = bc得 c ( ) 1 , 1 ， 634代入橢圓 1422 2= +by x得342= b ，382= c ， c 2 = 634。 【例 4 4 】已知雙曲線 和橢圓 19 162 2= +y x有相同的焦點,且雙曲線的離心率是 橢圓離心率的兩倍,則雙曲線的方程為 . 【解析】由橢圓方程得 7

17、2= c，47= e，所以雙曲線的離心率為27， 3 , 42 2= = b a ，由雙曲線的方程為： 13 42 2= -y x。 0 m n > >2 21 mx ny + =2 22 21( 0 b 0)x yaa b- = ， 3 、拋物線（秒殺方法：一次項對應焦點所在軸）： 表示焦點到準線的距離 表示焦點在 軸上拋物線的標準方程; 表示焦點在 軸上拋物線的標準方程。 【例 5 5 】曲線2 21( 6)10 6x ymm m+ = <- -與曲線2 21(5 9)5 9x ymm m+ = < <- -的 ( ) a.焦距相等 b.離心率相等 c.焦點相

18、同 d.準線相同 【解析】2 21( 6)10 6x ymm m+ = <- -表示焦點在 x 軸上的橢圓,2 21(5 9)5 9x ymm m+ = < <- -表示焦點在 y軸上的雙曲線,化簡為2 21(5 9)5 9x ymm m- + = < <- -,可知焦距相等,選 a。 2. 鞏固提升綜合練習 【練習 1 1 】若 r kÎ ,則" 3 > k '是"方程 13 32 2=+- kykx表示雙曲線'的 ( ) a.充分不必要條件 b.必要不充分條件 c.充要條件 d.既不充分也不必要條件 【解析】

19、方程表示雙曲線只需 ( )( ) 0 3 3 > + - k k ，即 3 > k 或 3 - < k ，所以是充分不必要條件，選 a. 【練習 2 2 】已知拋物線 x y 82= 的準線過雙曲線 ) 0 , 0 ( 12222> > = - b abyax的一個焦點,且雙曲線的離心率 為 2,則該雙曲線的方程為 . 【解析】拋物線的準線為 2 = x ，所以雙曲線中 2 = c ，由離心率為 2 得 1 = a ，焦點在 x 軸上，所以雙曲線的方程為 1322= -yx 。 【練習 3 3】 】下圖是拋物線形拱橋,當水面在 l 時,拱頂離水面 2 米,水面寬

20、4 米,水位下降 1 米后,水面寬 米 【解析】設拱橋所在拋物線的方程為 py x 22- = ，將點 ( ) 2 , 2 - 代入得 1 = p ，轉化為求點 ( ) 3 ,- x 中的 x ， 將點 ( ) 3 ,- x 代入拋物線 y x 22- = 中可得 6 = x ，即水面寬為 6 2 米。 【練習 4 4 】已知 04pq < < ,則雙曲線2 212 2: 1cos sinx ycq q- = 與2 222 2 2: 1sin sin tany xcq q q- = 的 ( ) a.實軸長相等 b.虛軸長相等 c.焦距相等 d. 離心率相等 【解析】由方程得11co

21、seq= ,( )2 22sin 1 tan1sin coseq qq q+= = ，選 d. 三、圓錐曲線的幾何性質 【一】焦點三角形 1. 例題 【例 1 1】 】(2021 年新課標全國卷 i 文 12)設 a 、 b 是橢圓 c 132 3= +my x長軸的兩個端點,若 c 上存在點 m 滿1 、橢圓的焦點三角形：橢圓上任意一點 與兩焦點 、 構成的三角形: 。 （1）秒殺題型一：周長為定值： 。 當點 靠近短軸端點時 增大，當點 靠近長軸端點時 減小；與短軸端點重合時 最大。 （2）秒殺題型二： ， 即 與短軸端點重合時面積最大。 （3）秒殺題型三：當 底角為 ， 個數：4 個(

22、點為通徑端點)； 當 時， 個數： 。 。（ 點為以 為直徑的圓與橢圓的交點） 2 、雙曲線的焦點三角形： （1）焦點直角三角形的個數：一定為八個，頂角為直角與底角為直角的各為四個； （2） 為焦點三角形的頂角)= 。（等面積思想在解題時非常重要） 足 ° = Ð 120 amb ,則 m 的取值范圍是 ( ) a. ( ) +¥ , 9 1 , 0 u b. ( ) +¥ , 9 3 , 0 u c. ( ) +¥ , 4 1 , 0 u d. ( ) +¥ , 4 3 , 0 u 【解析】當 0 3 m < < 時,橢

23、圓的焦點在 x 軸上,要使c上存在點m滿足 120 amb Ð = ,則 tan60 3ab³ = ,即33m³ .得 0 1 m < £ ;當 3 m > 時,橢圓的焦點在 y 軸上,要使 c 上存在點 m 滿足 120 amb Ð = ,則tan60 3ab³ = ,即 33m³ ,得 9 m³ ,故 m 的取值范圍為 ( ) +¥ , 9 1 , 0 u ,選 a. 【例 2 2 】已知 , 是橢圓 ) 0 ( > >b a 的兩個焦點, 為橢圓 上一點, . 若 的面積為

24、9,則 = . 【解析】由橢圓焦點三角形面積公式得： 94tan b2 2= = bp， 3 = b 。 例 【例 3 3 】設1f 、2f 為橢圓2 219 4x y+ = 的兩個焦點, p 為橢圓上的一點.已知 p ,1f ,2f 是一個直角三角形的三個頂點,且1 2pf pf > ,求12pfpf的值. 【解析】 c b < q ，所以頂角為直角與底角為直角的均存在， .如果底角為直角，243pf = ，1143pf = ,12pfpf=72； .如果頂角為直角，1 26 r r + = ，2 21 220 r r + = ，1 24, 2 r r = = ,12pfpf=2

25、。 【例4 4】 】(2021年新課標全國卷i5)已知 ( )0 0 , yx m 是雙曲線 12:22= - yxc 上的一點,2 1 ,ff 是 c 的兩個焦點,若 02 1< ×mf mf ,則0y 的取值范圍是 ( ) a.÷÷øöççèæ-33,33 b.÷÷øöççèæ-63,63 c.÷÷øöççèæ-32 2,32 2 d.&

26、#247;÷øöççèæ-33 2,33 2 【解析】秒殺方法：當2 1mf mf 時，由等面積得：333 12tan2= Þ × = × = = = y y y cbsq，選 a。 【例 5 5 】已知1f 、2f 為雙曲線 c :2 21 x y - = 的左、右焦點,點 p 在 c 上,2 1 pff Ð ° = 60 ,則1 2| | | | pf pf × = 1f2f 1 :2222= +byaxc p c2 1pf pf 2 1 fpf d b ( )

27、 a.2 b.4 c.6 d.8 【解析】由等面積得： 43sin2132tan2 1 2 12= Þ = = = pf pf pf pfbspq，選 b。 例 【例 6 6 】雙曲線2 219 16x y- = 的兩個焦點為1 2, f f ,點 p 在雙曲線上,若1 2pf pf ,則點 p 到 x 軸的距離為 . 【解析】5165 6 12tan2= Þ × = × = = = y y y cbsq。 2. 鞏固提升綜合練習 【練習 1 1】 】已知1 2, f f 是橢圓2 219 5x y+ = 的焦點,點 p 在橢圓上且1 23fpfp

28、08; = ,1 2fpf d 的面積為 . 【解析】利用焦點三角形面積公式得33 53352tan2= ´ = =qb s 。 【練習 2 2 】1f 、2f 是橢圓2 2: 18 4x yc + = 的焦點,在 c 上滿足1 2pf pf 的點 p 的個數為 . 【解析】 c b = q ，p 點的個數是 2 個。 【練習 3 3 】已知橢圓 19 162 2= +y x的左、右焦點分別為1 2, f f ,點 p 在橢圓上,若1 2, , p f f 是一個直角三角形的三個頂點,則點 p 到 x 軸的距離為 ( ) a.59 b.3 c.77 9 d.49 【解析】 c b &

29、gt; q ，所以頂角為直角的不存在；而底角為直角時，p 到 x 軸的距離為通徑，即：492=ab，選 d。 【練習 4 4 】已知1f 、2f 為雙曲線 c :2 21 x y - = 的左、右焦點,點 p 在 c 上,2 1 pff Ð = ° 60 ,則 p 到 x 軸的距離為 ( ) a.32 b.62 c. 3 d. 6 【解析】262 32tan2= Þ × = × = = = y y y cbsq，選 b。 習 【練習 5 5 】設 p 為雙曲線22112yx - = 上的一點,2 1 ,ff 是該雙曲線的兩個焦點,若1 2| |

30、:| | 3:2 pf pf = 則1 2pff d 的面積為 ( ) a. 6 3 b. 12 c. 12 3 d. 24 【解析】設 t pf 31= ，則 t pf 22= ，由雙曲線的定義得： 2 2 = = a t ， 61= pf ， 42= pf ， 13 22 1= f f , 所以由勾股定理得1 2pff d 為焦點直角三角形，所以 122= =b s ，選 b。 習 【練習 6 6 】設2 1 ,ff 分別是雙曲線2219yx - = 的左、右焦點,若點 p 在雙曲線上,且1 20 pf pf × = ,則1 2pf pf + = ( ) a. 10 b. 2 1

31、0 c. 5 d. 2 5 【解析】由向量中線定理得：1 2pf pf + = po 2 = 10 2 2 = c ，選 b。 【二】離心率 1. 例題 1 1 、 題型一：利用焦點三角形 （1）橢圓： （焦點三角形兩底角分別為 、 ）； （2）雙曲線： （焦點三角形兩底角 ）。 2 、題型二：尋找 關系求離心率 （1）秒殺思路：如果建立 或 或 的關系，一般情況要通過平方消去 化簡為 關系求離心率。 （2）特別地：當 成等比數列時，即 ，橢圓: ，叫優美橢圓； 類比：雙曲線： 。 例 【例 1 1 】在平面直角坐標系 xoy 中,已知 abc d 頂點 ( 4,0) a - 和 (4,0)

32、c ,頂點 b 在橢圓2 2125 9x y+ = 上,則sin sinsina cb+= . 【解析】秒殺公式：sin sinsina cb+=45 1=e。 【例 2 2 】(2021 年新課標全國卷 ii)設橢圓2 22 2: 1x yca b+ = ( 0) a b > > 的左、右焦點分別為1 2, f f , p 是 c 上的點,2 1 2pf ff ,1 230 pff Ð = ,則 c 的離心率為 ( ) a.36 b.13 c.12 d.33 【解析】設 t pf =2， t pf 21= ，則 t f f 32 1= ，即 t a 3 2 = ， t

33、c 3 2 = ，3322= =ace ，選 d。 秒殺公式：( )3330 sin 90 sin30 90 sin=° + °° + °= e ，選 d。 【例 3 3】 】已知 是雙曲線 的左、右焦點,點 在 上, 與 軸垂直, ,則 的離心率為 ( ) a. b. c. d. 【解析】設 ，則 32= mf ， 2 2 22 1= = c f f ， ， ，選 a。 秒殺公式：( )23232 2311cossin 90 sin90 sin1 21 21 2= =-Ð=Ð - °Ð + °=f mf

34、f mff mfe ，選 a。 【例 4 4 】(2021 年新課標全國卷 ii11)已知 b a, 為雙曲線 e 的左、右頂點,點 m 在 e 上, 為等腰三角形,且頂角為 ,則 的離心率為 ( ) a. b.2 c. d. 【解析】可得 ，代入雙曲線得 ，選 d。 2 1 ,ff2 22 2: 1x yea b- = m e1mf x2 11sin3mf f Ð =e2233 211 =mf 2 21 2= - = mf mf a 2 = eabm d° 120 e5 3 2( ) a a m 3 , 2 ± 2 , = = e b a 【例 5 5 】設直線

35、 過雙曲線 的一個焦點,且與 的一條對稱軸垂直, 與 交于 兩點, 為 的實軸長的 2 倍,則 的離心率為 ( ) a. b. c.2 d.3 【解析】 為通徑長， = ，即 ，得 ，選 b。 【例 6 6 】(2021 年新課標全國卷 i15)已知雙曲線 ) 0 , 0 ( 1 :2222> > = - b abyaxc 的右頂點為 a ,以 a 為圓心, b為半徑作圓 a ,圓 a 與雙曲線 c 的一條漸近線交于 m 、 n 兩點.若 ° = Ð 60 man ,則 c 的離心率為 . 【解析】可得 man d 為等邊三角形， a 到漸近線的距離為 b23，

36、得 b a 3 = ，33 2= e 。 秒殺方法：由2323= =bbca可得(利用焦點到漸近線的距離為 b)。 【例 7 7 】如圖, 是橢圓 與雙曲線 的公共焦點, 分別是 在第二、四象限的公共點.若四邊形 為矩形,則 的離心率為 ( ) a. b. c. d. l c c l c , a b ab cc2 3ab ab aab422=2 22a b = 3 = e2 1 ,ff 14:221= + yxc2c b a,2 1 ,cc2 1 bfaf2c2 32326o x y a b f 1 f 2 【解析】在雙曲線中，可得 ，在橢圓中，利用焦點三角形面積公式得 ，在雙曲線中， ， ，

37、 ， ，選 d。 例 【例 8 8 】已知雙曲線 的左,右焦點分別為 ,點 在雙曲線的右支上,且,則此雙曲線的離心率 的最大值為 ( ) a. b. c. d. 【解析】由 得 ，即223pf a c a = ³ - ，513e < £ 。 2. 鞏固提升綜合練習 習 【練習 1 1 】雙曲線2 22 21x ya b- = ( , )的左、右焦點分別是 ,過 作傾斜角為 的直線交雙曲線右支于 點,若 垂直于 軸,則雙曲線的離心率為 ( ) a. b. c. d. 【解析】設 t pf =2， t pf 21= ，則 t f f 32 1= ，即 t a = 2 ，

38、t c 3 2 = ， 322= =ace ，選 b。 秒殺公式：( )330 sin 90 sin30 90 sin=° - °° + °= e ，選 b。 習 【練習 2 2 】橢圓2 22 2: 1( 0)x ya ba bg + = > > 的左、右焦點分別為1 2, f f ,焦距為 c 2 ,若直線 3( ) y x c = + 與橢圓 g 的一個交點 m 滿足1 2 2 12 mff mf f Ð = Ð ,則該橢圓的離心率等于 . 【解析】秒殺公式：( )1 321 3130 sin 0 6 sin90 s

39、in- =+=° + °°= e 。 【練習 3 3 】已知橢圓2 22 21( 0)x ym a ba b+ = > > ： ，雙曲線2 22 21x ynm n- = ： 若雙曲線 n 的兩條漸近線與橢圓 m的四個交點及橢圓 m 的兩個焦點恰為一個正六邊形的頂點，則橢圓 m 的離心率為 ；雙曲線 n 的離心率為 【解析】設其中一個交點為 p ，則2 1 fpf d 為焦點直角三角形，設 11= pf ，則有 2 , 32 1 2= = f f pf ，橢圓的離心率為 1 31- = e ，雙曲線漸近線的傾斜角為 ° 60 ，雙曲線的離心率

40、為 2。 3 = c 12tan212 1= × =dqb sf af12tan22222 1= = × =db b sf afq12= b 22= a 26= e2 22 21,( 0, 0)x ya ba b- = > >1 2, f f p1 2| | 4| | pf pf = e43532731 24 pf pf =2 22 4 a pf pf + =0 a > 0 b >1 2, f f1f ° 30m2mf x6 3 233 【練習 4 4 】1f 和2f 分別是雙曲線2 22 21( 0, 0)x ra ba b- = >

41、; > 的兩個焦點, a 和 b 是以 o 為圓心,以1f o 為半徑的圓與該雙曲線左支的兩個交點,且 是等邊三角形,則雙曲線的離心為 ( ) a. b. c. d. 3 1+ 【解析】取2 1 faf d ，秒殺公式：( )1 321 3130 sin 0 6 sin90 sin+ =-=° - °°= e ，選 d。 習 【練習 5 5 】在 中, , .若以 為焦點的橢圓經過點 ,則該橢圓的離心率 【解析】：設 ，則 ， ， ， 。 秒殺公式： 。 【練習 6 6】 】設 是等腰三角形, ,則以 為焦點且過點 的雙曲線的離心率為( ) a. b. c.

42、 d. 【解析】 c bc ab 2 = = ， ， ， ，選 b。 【練習 7 7 】已知 為坐標原點, 是橢圓 的左焦點, 分別為 的左、右頂點.為 上一點,且 軸.過點 的直線 與線段 交于點 ,與 軸交于點 .若直線 經過 的中點,則 的離心率為 ( ) a. b.21 c.32 d.43 【解析】由線段成比例得：ac aoemf -= ，c aamfoe+=21，得31= e ，選 a。 習 【練習 8 8 】(2021 年新課標全國卷 ii9)若雙曲線 c : （ ， ）的一條漸近線被圓ab f 2 d3 525abc 90 a Ð =3tan4b = , a b ce

43、=t ac 3 = t bc 5 = t c ab 4 2 = = t a 8 2 =218422= = =ttace2153154=+= eabc d 120 abc Ð = , a b c22 1+23 1+2 1+ 3 1+ c ac 3 2 = c c a 2 3 2 2 - =21 32 3 2222 +=-= =c ccaceo f ) 0 ( 1 :2222> > = + b abyaxc b a, cp c pf x a l pf m ye bm oe c312 22 21x ya b- = 0 a > 0 b > 所截得的弦長為 2,則 c

44、的離心率為 ( ) a.2 b. c. d. 【解析】由圓心到漸近線的距離為 3 ，即 32 22 2= =+cbb ab，平方得 2 = e ； 秒殺方法：畫圖可得漸近線的傾斜角為3p，即 3 =ab，平方得 2 = e 。 【練習 9 9 】(2021 年新課標全國卷 iii10)已知橢圓 c :2 22 21x ya b+ = ( 0 , 0 > > b a )的左、右頂點分別為2 1 ,aa ,且以線段2 1 aa 為直徑的圓與直線 2 0 bx ay ab - + = 相切,則 c 的離心率為 ( ) a.63 b.33 c.23 d.13 【解析】因為圓與直線相切，即圓

45、心到直線距離等于 a 得： acabb aab= =+2 22 2，即 b c 2 = ， b a 3 = ，36= e ，選 a。 【練習 10】 】過雙曲線 的左焦點且垂直于 軸的直線與雙曲線相交于 兩點,以 為直徑的圓恰好過雙曲線的右頂點,則雙曲線的離心率等于 . 【解析】設右頂點為 ，左焦點為 ，則 為等腰直角三角形，可得 ，即，得 ， ， （舍去）。 習 【練習 11 】從橢圓2 22 21( 0)x ya ba b+ = > > 上一點 p 向 x 軸作垂線,垂足恰為左焦點1f , a 是橢圓與 x 軸正半軸的交點, b 是橢圓與 y 軸正半軸的交點,且 op ab /

46、 ( o 是坐標原點),則該橢圓的離心率是 ( ) a.24 b.12 c.22 d.32 【解析】 op ab/ q ， o pf1d boa d ，babac2= ， c b = ，22= e ，選 c。 ( )222 4 x y - + =3 22 332 22 21x ya b- = ( ) 0, 0 a b > > x , m nmn2a1f2 1 amf d c aab+ =20 22 2= - - a ac c 0 22= - -e e 2 = e 1 - = e 【練習 12 】(2021 年新課標全國卷 ii)若 1 > a ,則雙曲線 1222= - ya

47、x的離心率的取值范圍是 ( ) a. 2 +¥ （ ， ） b. 2 2 （ ，） c. 2 （1， ） d. 12 （，） 【解析】 21112 22< + =+=a aae ，選 c。 【三】雙曲線的漸近線 1. 例題 【例 1 1 】已知雙曲線 c :2 22 21x ya b- = ( 0, 0 a b > > )的離心率為52,則 c 的漸近線方程為 ( ) a.14y x = ± b.13y x = ± c.12y x = ± d. y x = ± 【解析】由25= =ace ，得21=ab，選 c。 例 【例 2

48、 2 】已知 0 , 0 > > b a ,橢圓1c 的方程為 12222= +byax,雙曲線2c 的方程為 12222= -byax,1c 與2c 的離心2 2mx ny l - =2 20 mx ny Þ - =xaby ± = xbay ± =2 2 2 22 2 2 21x y x ya b a bl - = Þ - =2 20 ( ) ( ) ax by ax by l ± = Þ - =b 率之積為23,則2c 的漸近線方程為 ( ) a. b. c. d. 0 y 2x = ± 【解析】 q232

49、 2 2 2=+´-ab aab a，得22=ab，選 a。 【例 3 3 】設雙曲線 c 經過點 ( ) 2,2 ,且與2214yx - = 具有相同漸近線,則 c 的方程為 ；漸近線方程 為 . 【解析】設雙曲線方程為： l = -224xy，代入點 ( ) 2,2 得 l =-3，雙曲線的方程為： 112 32 2= -y x，漸近線方程為 x y 2 ± = 。 【例 4 4 】(2021 年新課標全國卷 ii)已知雙曲線過點 ,且漸近線方程為 ,則該雙曲線的標準方程為 【解析】設雙曲線方程為： l = -224yx，將點 ( ) 3 4， 代入得 1 = l ，所

50、以雙曲線方程為 1422= - yx。 【例 5 5 】已知雙曲線2 22 21( 0, 0)x ya ba b- = > > 的離心率為 2，過右焦點且垂直于 x 軸的直線與雙曲線交于b a, 兩點. 設 b a, 到雙曲線同一條漸近線的距離分別為1d 和2d ，且1 26 d d + = ，則雙曲線的方程為 ( ) a.2 214 12x y- = b.2 2112 4x y- = c.2 213 9x y- = d.2 219 3x y- = 【解析】秒殺方法：由梯形中位線知,焦點到此漸近線的距離為 3，即 3 = b ，選 c。 【例 6 6 】(2021 年新課標全國卷

51、iii)設1 2f f ， 是雙曲線 ) 0 , 0 ( 1 :2222> > = - b abyaxc 的左，右焦點， o 是坐標原點.過2f 作 c 的一條漸近線的垂線,垂足為 p .若 op pf 61= ,則 c 的離心率為 ( ) a. 5 b.2 c. 3 d. 2 【解析】： q2| | pf b = , | | po a = ，又因為1| | 6| | pf op = ，所以1| | 6 pf a = ，在2rt pof d 中， 0 2 x = ± y 0 2 = ± y x 0 2y x = ±( )4, 312y x = 

52、7; 22| |cos| |pf bof cq = = ，在2 1 fpf d 中，2 2 22 1 2 12 1 2| | | | | |cos2 | | | |pf ff pf bpf ff cq+ -= =× ×， 2 2 22 2 2 2 2 2 2 24 ( 6 )4 6 4 4 6 3 32 2b c a bb c a b c a c ab c c+ -= Þ + - = Þ - = -×2 23 c a Þ = 3 e Þ = 。 2. 鞏固提升綜合練習 【練習 1 1 】若雙曲線2 22 21x ya b-

53、= 的離心率為 3 ,則其漸近線方程為 ( ) a. x y 2 ± = b. x y 2 ± = c.12y x = ± d.22y x = ± 【解析】由 3 = =ace ，得 2 =ab，選 b。 【練習 2 2 】求與雙曲線2 219 16x y- = 有公共的漸近線,且經過點 a ()3,2 3 - 的雙曲線的方程. 【解析】設雙曲線方程為： l = -16 92 2y x，代入點 a 得41= l ，雙曲線方程為：2 2419 4x y- = 。 【練習 3 3 】若雙曲線的漸近線方程為 x y 3 ± = ,它的一個焦點是 (

54、10,0) ,則雙曲線的方程是 . 【解析】設雙曲線方程為： l = -2 29 y x ，因為焦點在 x 軸上，化簡為 192 2= -lly x， 109= + ll得 9 = l ，雙曲線方程為： 1922= -yx 。 【練習 4 4 】已知 f 是雙曲線 c :2 23 ( 0) x my m m - = > 的一個焦點,則點 f 到 c 的一條漸近線的距離為 ( ) a. 3 b.3 c. 3m d. 3m 【解析】由秒殺公式得 3 = b ，選 a。 【練習 5 5 】已知雙曲線2 2214x yb- = 的右焦點與拋物線 x y 122= 的焦點重合,則該雙曲線的焦點到其漸近線 的距離等于 ( ) a. 5 b. 4 2 c.3 d.5 【解析】拋物線與雙曲線的焦點為 ( ) 0 3， ，則 b= 5 ，雙曲線的焦點到其漸近線的距離為