1、第五章第五章 平面體平面體 由平面圍成的立體稱(chēng)平面體，如棱柱、棱錐、棱臺(tái)等由平面圍成的立體稱(chēng)平面體，如棱柱、棱錐、棱臺(tái)等。 概述概述5-1 平面體的投影及其表面上的點(diǎn)與線平面體的投影及其表面上的點(diǎn)與線 平面體的表面是由點(diǎn)、直線、平面構(gòu)成，因此，繪制平平面體的表面是由點(diǎn)、直線、平面構(gòu)成，因此，繪制平面體的投影就是繪制平面體面體的投影就是繪制平面體 表面各點(diǎn)、直線、平面表面各點(diǎn)、直線、平面 的投影。的投影。VWH 棱 柱 1 棱柱的投影空間分析 作圖時(shí)，先畫(huà)反映特征的水平投影，再按投影規(guī)律完成其它兩個(gè)投影。YHYW. 棱 柱 1 棱柱的投影 2 棱柱表面上的點(diǎn)YH 如圖所示，已知前棱面上的點(diǎn)A的正

2、面投影a，左前棱面上的點(diǎn)B的正面投影b，求它們的水平投影和側(cè)面投影。ab作圖分析作圖分析:(1) 由于前棱面的水平投影和側(cè)面投影均具有積聚性,故可直接求出a和a。 (2) 由于左前棱面只有水平投影有積聚性,故只能利用積聚性求出b,再根據(jù)YH=YW,由b和b求出b。baaYWb( )b . 棱 錐1 棱錐的投影SABCa (c)bscbsascba分析分析: 錐底面ABC為水平面,棱面SAC為側(cè)垂面,另外兩棱面為一般位置平面。作圖作圖: 一般先畫(huà)出底面的各個(gè)頂點(diǎn)的投影,再定出錐頂S的投影,并將錐頂與底面各頂點(diǎn)的同面投影相連即可。 2 棱錐表面上的點(diǎn)和線 . 棱 錐1 棱錐的投影 如圖所示，已知棱

3、面SAB上點(diǎn)M的正面投影m和棱面SAC上的點(diǎn)N的正面投影n，求作M、N兩點(diǎn)的其余投影。aacbs bm（n）a（c）sc bss Is （1）棱面SAC為側(cè)垂面,利用積聚性可直接求出n，再由n、n求得n。 （2） M點(diǎn)所在棱面SAB為一般位置平面，可作輔助線的方法求解。YWYHm mSABCM baacbsbm（n）a（c）scsnmnmkkkscbabscbascanmhnmmh( n )hh截交線基本性質(zhì)截交線基本性質(zhì) 2 共有性共有性：截交線：截交線即在截平面上，又在立即在截平面上，又在立體表面上，是截平面與體表面上，是截平面與立體表面共有點(diǎn)的集合。立體表面共有點(diǎn)的集合。 1 封閉性封閉

4、性: 因?yàn)楸灰驗(yàn)楸唤馗畹牧Ⅲw占有一定截割的立體占有一定的空間，所以截交線的空間，所以截交線為封閉的平面圖形。為封閉的平面圖形。截平面截平面截交線截交線 平面 體被平面截切，在平面體 表面產(chǎn)生截交線。 5-2 平面體平面體 的截切的截切1 平面立體形體分析（棱柱，棱錐，積聚性）平面立體形體分析（棱柱，棱錐，積聚性）2 截平面相對(duì)投影面的位置（平行，垂直）截平面相對(duì)投影面的位置（平行，垂直）3 截交線的空間分析及投影分析（積聚性）截交線的空間分析及投影分析（積聚性）4 求棱線的交點(diǎn)連線或求棱面的交線求棱線的交點(diǎn)連線或求棱面的交線 (線上取點(diǎn)或棱面上取線）線上取點(diǎn)或棱面上取線）5 檢查漏線和多線檢查

5、漏線和多線 6 判斷可見(jiàn)性判斷可見(jiàn)性截交線的求法截交線的求法截交線截交線投影分析投影分析:例例5-1 ：求三棱錐被正垂面截切截交線的投影。：求三棱錐被正垂面截切截交線的投影。截平面截平面三棱錐表面三棱錐表面上取截交線上取截交線的各頂點(diǎn)的各頂點(diǎn) s231132abcs123bacSABC作圖步驟：作圖步驟：abc1. 找出有積找出有積聚性的投影聚性的投影 2. 從已知投從已知投影開(kāi)始，確影開(kāi)始，確定各棱線的定各棱線的交點(diǎn)交點(diǎn)1 23 3. 用線上取用線上取點(diǎn)的方法求點(diǎn)的方法求得其余各投得其余各投影。影。 4. 連接棱面連接棱面上的交線并上的交線并判斷可見(jiàn)性判斷可見(jiàn)性 例例5-1 ：求三棱錐被正垂

6、面截切截交線的投影。：求三棱錐被正垂面截切截交線的投影。s完成作圖：將多余的線擦去，將不可見(jiàn)的線畫(huà)成虛線。完成作圖：將多余的線擦去，將不可見(jiàn)的線畫(huà)成虛線。3. 截交線的空間分析及截交線的空間分析及 投影分析（積聚性）投影分析（積聚性） 1. 平面立體形體表平面立體形體表 面性質(zhì)面性質(zhì)的分析（積聚性）的分析（積聚性） 124241356712345（6）（7）（3 ）（5 ）6（7 ）例例5-2 ：求四棱柱被截切截交線的投影。：求四棱柱被截切截交線的投影。側(cè)平面?zhèn)绕矫嬲姑嬲姑鎮(zhèn)绕矫鎮(zhèn)绕矫?正垂面正垂面2. 截平面相對(duì)投影面的位置截平面相對(duì)投影面的位置（平行，垂直）（平行，垂直）4. 求棱線的

7、交點(diǎn)求棱線的交點(diǎn)連線或求棱面的連線或求棱面的交線交線 ( 線上取點(diǎn)或線上取點(diǎn)或棱面上取線）棱面上取線）5. 檢查漏線和多檢查漏線和多線線 .6. 判斷可見(jiàn)性判斷可見(jiàn)性.分析：分析：作圖：作圖：例例5-3 試求正四棱錐被兩平面切割后的三面投影試求正四棱錐被兩平面切割后的三面投影空間分析：空間分析：四棱錐被正垂面切割，四棱錐被正垂面切割，截交線也應(yīng)是平面多邊截交線也應(yīng)是平面多邊形，其正面投影積聚為形，其正面投影積聚為一條線，水平投影側(cè)面一條線，水平投影側(cè)面投影小于實(shí)形的類(lèi)似形投影小于實(shí)形的類(lèi)似形。空間分析：空間分析：四棱錐被水平面切割，四棱錐被水平面切割，截交線應(yīng)是平面多邊形截交線應(yīng)是平面多邊形，

8、其水平投影反映實(shí)形，其水平投影反映實(shí)形。側(cè)面投影是一條線。側(cè)面投影是一條線。水平面水平面正垂面正垂面56（8）74（3）1（2）例例5-3 試求正四棱錐被兩平面切割后的三面投影試求正四棱錐被兩平面切割后的三面投影56（8）7876231454（3）121578346（2） 四棱錐表面上取四棱錐表面上取截交線的各頂點(diǎn)截交線的各頂點(diǎn)作圖步驟：作圖步驟：1. 找出有積聚性的投影找出有積聚性的投影 2. 確定截平面的特點(diǎn)確定截平面的特點(diǎn)，數(shù)量。，數(shù)量。 3. 各棱線的交點(diǎn)各棱線的交點(diǎn)1,2,3,4,5,6,7,8。 3. 用線上取點(diǎn)的方法用線上取點(diǎn)的方法求得其余各投影。求得其余各投影。 4. 連接棱面

9、上的交線連接棱面上的交線并判斷可見(jiàn)性。并判斷可見(jiàn)性。ssc(d )absaabcdbc完成作圖完成作圖:1.1.將各點(diǎn)連成線將各點(diǎn)連成線2.2.檢查漏線和多線檢查漏線和多線3.3.判斷可見(jiàn)性判斷可見(jiàn)性多線擦除多線擦除注意不可見(jiàn)的線例例5-4 完成棱柱截切后的投影完成棱柱截切后的投影 如圖所示如圖所示 , 四棱柱中間的切槽是由兩個(gè)側(cè)平面和四棱柱中間的切槽是由兩個(gè)側(cè)平面和一個(gè)水平面切割而成。一個(gè)水平面切割而成。 平面平面為側(cè)平面為側(cè)平面,它與四棱它與四棱柱側(cè)面的交線為兩條鉛垂線柱側(cè)面的交線為兩條鉛垂線AA1,BB1。 平面平面為一水平面為一水平面,它與它與四棱柱側(cè)面和側(cè)平面的交線共四棱柱側(cè)面和側(cè)平

10、面的交線共同圍成一六邊形。同圍成一六邊形。BB1AA1作圖時(shí)作圖時(shí) , 先作反映切口特先作反映切口特征且具有積聚性的正面投影征且具有積聚性的正面投影 , 然后補(bǔ)畫(huà)其它兩面投影。然后補(bǔ)畫(huà)其它兩面投影。BB1AA1YHYW例例5-5 完成帶切口的棱臺(tái)的投影完成帶切口的棱臺(tái)的投影 如圖所示如圖所示 , 四棱臺(tái)中間的切槽是由兩個(gè)側(cè)平面和四棱臺(tái)中間的切槽是由兩個(gè)側(cè)平面和一個(gè)水平面切割而成。一個(gè)水平面切割而成。 平面平面為側(cè)平面為側(cè)平面 , 它它與前、后棱面的交線為等與前、后棱面的交線為等腰梯形的兩腰。腰梯形的兩腰。 平面平面為一水平面為一水平面 , 它與各棱面的交線成一它與各棱面的交線成一矩形。矩形。(

11、1) 作基本體四棱臺(tái)的三面投影(2) 作切口的積聚性投影(3) 補(bǔ)畫(huà)切槽的側(cè)面投影 (4) 補(bǔ)畫(huà)切槽的水平投影YWYH(5) 擦去被切割掉的輪廓線，判別可見(jiàn)性ABaa1aa1bb1Cb1bc 5-3 直線與平面體相交 直線與立體相交直線與立體相交,在在立體表面產(chǎn)生的交點(diǎn)立體表面產(chǎn)生的交點(diǎn)稱(chēng)為貫穿點(diǎn)稱(chēng)為貫穿點(diǎn).貫穿點(diǎn)是貫穿點(diǎn)是直線與立體表面的公直線與立體表面的公有點(diǎn)有點(diǎn) 貫穿點(diǎn)的求法貫穿點(diǎn)的求法: 如果立體表面如果立體表面 或直線或直線的投影有積聚性的投影有積聚性,則可直則可直接利用積聚性求出接利用積聚性求出,否則否則利用輔助平面法求出利用輔助平面法求出.例例5-6 求直線求直線AB與三與三棱錐

12、的貫穿點(diǎn)棱錐的貫穿點(diǎn)題給題給分析分析 求交點(diǎn)并求交點(diǎn)并 判定可見(jiàn)性判定可見(jiàn)性例例5-7 求直線與四棱柱的貫穿點(diǎn)求直線與四棱柱的貫穿點(diǎn)題給題給分析分析作圖作圖 5-4 兩平面體相貫兩平面體相貫相貫線相貫線相貫線相貫線兩立體相交稱(chēng)為相貫兩立體相交稱(chēng)為相貫,它們的表面交線稱(chēng)為相貫它們的表面交線稱(chēng)為相貫 線線 全貫全貫 互貫互貫性質(zhì)性質(zhì):2.相貫線一般為封閉的空間折線相貫線一般為封閉的空間折線,折線段折線段是兩平面體表面的交線是兩平面體表面的交線,折線的頂點(diǎn)是折線的頂點(diǎn)是棱線與平面的交點(diǎn)棱線與平面的交點(diǎn).1.相貫線是兩立體表面的公有線相貫線是兩立體表面的公有線貫相線的求法貫相線的求法貫相線的求法可按下

13、面步驟進(jìn)行貫相線的求法可按下面步驟進(jìn)行:1.求一立體表面上的各棱線對(duì)另一立體表面的交點(diǎn)或求兩棱面的交線求一立體表面上的各棱線對(duì)另一立體表面的交點(diǎn)或求兩棱面的交線.2. 依次連接所求各點(diǎn)的同面投影依次連接所求各點(diǎn)的同面投影. 連點(diǎn)原則連點(diǎn)原則:位于第一個(gè)立體同一表面又位于第二個(gè)立體同一表面的兩位于第一個(gè)立體同一表面又位于第二個(gè)立體同一表面的兩點(diǎn)才可連點(diǎn)才可連.3.判別可見(jiàn)性判別可見(jiàn)性. 原則原則:兩立體的相交表面都可見(jiàn)時(shí)兩立體的相交表面都可見(jiàn)時(shí),交線才可見(jiàn)交線才可見(jiàn),否則為不可見(jiàn)否則為不可見(jiàn).例例5-8 求三棱錐與四求三棱錐與四棱柱的相貫線棱柱的相貫線.題給題給分析分析作圖作圖包含四棱柱的上、下

14、包含四棱柱的上、下 棱面作兩輔助平面棱面作兩輔助平面P、Q可分別求出交線可分別求出交線-，-，-，-判別可見(jiàn)性判別可見(jiàn)性例5-9 求求 三棱柱三棱柱與三棱錐的相貫線與三棱錐的相貫線題給題給分析分析作圖1.利用三棱柱水平投影的積聚性，可利用三棱柱水平投影的積聚性，可直接求得直接求得、點(diǎn)點(diǎn)2.利用面上取點(diǎn)的原理利用面上取點(diǎn)的原理,求得求得、兩點(diǎn)兩點(diǎn)連線連線判別可見(jiàn)性判別可見(jiàn)性例例5-10 求兩個(gè)求兩個(gè)五棱柱的相貫線五棱柱的相貫線題給題給分析分析作圖作圖利用棱線與積聚性棱面利用棱線與積聚性棱面 相交求相交求出交點(diǎn)出交點(diǎn) 5-5同坡屋面的交線同坡屋面的交線同坡屋面的概念：同坡屋面的概念： 在坡頂屋面中

15、，同一個(gè)屋在坡頂屋面中，同一個(gè)屋頂?shù)母鱾€(gè)坡面，對(duì)水平面的傾頂?shù)母鱾€(gè)坡面，對(duì)水平面的傾角相同，稱(chēng)為同坡屋面角相同，稱(chēng)為同坡屋面. 右上圖為屋檐等高的四坡頂屋右上圖為屋檐等高的四坡頂屋面，右下圖為其投影圖面，右下圖為其投影圖,其屋面交其屋面交線及其投影有如下線及其投影有如下特性：特性： 1.屋檐線相互屋檐線相互 平行平行 的兩坡面如相的兩坡面如相交交,必相交成水平屋脊線必相交成水平屋脊線,其水平投影其水平投影與與 兩屋檐線的水平投影平行且等距兩屋檐線的水平投影平行且等距. 2.屋檐線相交的兩坡面屋檐線相交的兩坡面,必交成必交成斜脊線或天溝線斜脊線或天溝線,斜脊線位于凸墻斜脊線位于凸墻角處角處, 天溝線位于凹?jí)翘幪鞙暇€位于凹?jí)翘?無(wú)論無(wú)論是天溝線或斜脊線是天溝線或斜脊線,它們的水平投它們的水平投影與屋檐線的水平投影都成影與屋檐線的水平投影都成45角角. 3.在屋面上如果有兩條交線交于在屋面上如果有兩條交線交于一點(diǎn)一點(diǎn),必有第三條交線交于此點(diǎn)必有第三條交線交于此點(diǎn),這這個(gè)點(diǎn)就是三個(gè)相鄰屋面的公有點(diǎn)個(gè)點(diǎn)就是三個(gè)相鄰屋面的公有點(diǎn).如如圖中圖中A、B、G、H四點(diǎn)四點(diǎn)例例 5-11 已知四坡頂屋面已知四坡頂屋面的平面形狀及坡面的傾的平面形狀及坡面的傾角角，求屋面交線，求屋面交線題給題給作圖步