1、9.1 9.1 邊邊界界層概層概念念9.2 9.2 邊邊界界層層微分方程微分方程9.3 9.3 邊邊界界層動層動量量積積分方程分方程9.4 9.4 平板平板邊邊界界層層的近似的近似計計算算9.5 9.5 沿曲面的沿曲面的邊邊界界層層及分離及分離現現象象9.6 9.6 粘性流體粘性流體繞繞小小圓圓球的蠕流流球的蠕流流動動9.7 9.7 粘性流體粘性流體繞繞流物體的阻力流物體的阻力工程工程實實例例第第9 9章章 不可不可壓縮壓縮粘性粘性流體的外部流流體的外部流動動第第9章章 不可壓縮粘性流體的外部流動不可壓縮粘性流體的外部流動教學提示教學提示：邊界層理論是分析粘性流體繞流物體時運動參數的基本理論。

2、本章討論界層的理論基礎；當雷諾數足夠大時，普朗特邊界層理論是分析外部繞流的理論基礎；外部流動一般是二維、三維流動；本章主要討論大雷諾數下繞流固體物面的邊界層流動和小雷諾數下繞小球的蠕流流動。教學要求教學要求：理解并掌握邊界層概念；理解并掌握普朗特邊界層方程；理解并掌握求解邊界層方程的方法。9.1 邊界層概念9.1.1 基本概念基本概念邊界層邊界層(Boundary Layer)又稱附面層。附面層。邊界層的概念是德國力學家普朗特(Prandtl)在1904年首先提出的。他認為，對于水和空氣這些粘度較小的流體，當其繞流物體時，粘性的影響不能忽略。下面以一塊與均勻來流相平行的薄板周圍的流動為例進行分

3、析。可以這樣設想，如果是理想流體，則薄板周圍的速度剖面如圖9-1所示，由于流體相對于平板可以滑動(無粘性)且平板厚度很小，平板對于均勻來流流場并無影響。但任何真實流體都具有粘性，因此與板面相接觸的流體與板面之間不可能有滑移運動，故真實的平板繞流如圖9-2所示。9.1.2 邊界層的基本特征普朗特邊界層的概念完全可以通過實驗得到證實。用微型測速流管測量機翼周圍的速度分布，就可以發現邊界層的存在，如圖9-4所示。此時整個流場分為三個區域：(I)邊界層，()尾流區尾流區(Wake region), (III)外部勢流。圖9-5示出了流體在大小兩種雷諾數下流過鋒銳的平板，在平板附近形成的邊界層的情況。在

4、邊界層內，壁面上的流體速度等于零，隨著離開壁面的距離增加速度增大。一般規定在速度達到主流速度99%處為邊界層的邊緣。在雷諾數很小時，邊界層較厚，且向前延仲，如圖9-5(a)所示。在大雷諾數時邊界層很薄，如9-5（b）所示。工程中遇到的大多是大雷諾數的情況，這時邊界層的厚度 與物面長度 相比是個小量。邊界層的厚度 沿著流動方向不斷增加。邊界層內的速度梯度很大。由于在邊界層內速度梯度很大，即使流體的粘度很小，粘性切應力也很大。在邊界層外，流體的速度梯度很小，粘性切應力很小，所以邊界層外的流體可以看成是理想流體?？梢娺吔鐚拥耐膺吔绨蚜鲌龇譃閮蓚€區域：層內粘滯區和層外無粘性區(勢流區)。實際上，邊界層

5、內外區域并沒有明顯的分界，規定速度達到主流速度的99處為邊界層的外邊界是為了研究問題的方便，并且突出了邊界層內速度梯度大這個特點。還必須指出，邊界層的外邊界線不是流線，流體可以流入流出邊界層。邊界層內同樣存在這兩種流態，即邊界層可分為層流邊層流邊界層界層(Laminar boundary layer)和湍流邊界層湍流邊界層(Turbulent boundary layer)。如圖9-6所示。在大 數情況下，流體從平板的前緣起形成層流邊界層，之后從某個位置開始，層流邊界層變得不穩定，并逐漸過渡為湍流邊界層，在層流邊界層和湍流邊界層之間為過渡邊界層，湍流邊界層的厚度沿流動方向比層流邊界層增加得快。

6、在湍流邊界層內緊靠壁面總是存在著一層極薄的粘性底層。在粘性底層內速度梯度極大。若全部邊界層內部都是層流，稱為層流邊界層，若在邊界層起始部分內是層流，而在其余部分內是湍流，稱為混合混合邊界層邊界層。9.2 邊界層微分方程邊界層微分方程前已述及，流體統流運動的流場可分成理想流區和邊界層區兩個區域，而理想流區可以使用第6章介紹的位勢理論求解，因此，接下的任務就是如何求解邊界層內的粘性流動問題。描述邊界層粘性流動的方程仍然是 方程。由于該方程的復雜性，使得求解困難，因此，必須根據邊界層理論對 方程進行簡化，得到研究邊界層的運動微分方程，簡稱邊界層方程。方程是描述流場中流體所受到的慣性力、壓力、粘滯力及

7、質量力之間的關系。在這四種力中，如果一種力與其它力相比為一極小量，則這種力即可忽略。這種分析方法稱為量級分析法，即通過比較方程式中各項數量級的相對大小，把數量級較大的項保留下來，而舍去數量級較小的項。下面介紹 方程的具體簡化步驟。為了簡單起見，在此只討論流體沿平壁作定常的二維流動，且壁面與x軸重合的情況，見圖9-7。并假設邊界層內的流動均為層流，同時忽略質量力。則二維定常不可壓縮粘性流體的 方程和連續性方程為：9.3 邊界層動量積分方程盡管普朗特邊界層微分方程大大簡化了二維不可壓縮粘性流體的N-S方程，但由于方程非線性的性質未變，求解起來仍然非常困難。為解決這一求解問題，馮卡門等人著眼于控制體

8、的角度，忽略控制體內流體質點流動的細節，提出了一種近似解法，又稱馮卡曼動量積分方程式解法。該解法是以邊界層的動量積分方程為基礎，成功解決了流體繞流固體表面的阻力問題，求解相對簡單，具有很強的實際意義。下面就用動量定理推導馮卡曼邊界層動量積分方程。如圖9-8所示，在不可壓縮黏性流體繞流平板的定常流動的邊界層內取一控制體 ，其中 為作為x軸的平板表面微元段，9.4 平板邊界層的近似計算平板邊界層的近似計算9.4.1層流邊界層的近似計算層流邊界層的近似計算繞平板流動的層流邊界層是最簡單的一種邊界層，下面利用馮卡曼邊界層動量積分方程對層流邊界層進行近似計算，并將計算結果與布拉休斯精確解相比較。9.4.

9、2湍流邊界層的近似計算湍流邊界層的近似計算層流邊界層限于臨界雷諾數以下的區域。超出了臨界雷諾數就是湍流邊界層。實際上，在自然界和各種工程技術中更多的是湍流流動，因而研究湍流邊界層具有更重要的實際意義。前已述及，馮卡曼邊界層動量積分方程同樣適用于湍流邊界層的近似計算，但由于湍流邊界層相對層流邊界層要復雜得多，因此上節中用于層流邊界層的兩個補充關系式及牛頓內摩擦定律在此已不適用了，而需要根據湍流流動的特點，提出新的補充關系式。（1）速度分布（2）切應力9.4.3混合邊界層的近似計算混合邊界層的近似計算混合邊界層是指在邊界層內同時存在著層流和湍流兩種流態，如圖9-9所示。即平板雷諾數 ，也就是平板長

10、度 。其中，由層流轉變為湍流的過程稱之為轉。具體表現為，在繞流平板的邊界層前部，是穩定的層流階段；經歷一定長度后，層流中猝發產生一些不規則的小渦，這些小渦形似發夾，因此稱為發夾渦。隨著發夾渦的進一步發展，其中處于高剪切區域的發夾渦出現局部破碎，破碎渦充分發展形成三維脈動，從而產生了更多渦結構。流場中各種尺度渦相互作用形成湍流斑，湍流斑不斷長大，最后在邊界層的后部成為完全湍流。由以上分析可知，混合邊界層內的流動非常復雜，在對平板混合邊界層作近似計算時，為了使問題簡化，普朗特提出了以下假定：9.4.4層流邊界層和湍流邊界層的特性對比前面介紹了層流邊界層和湍流邊界層的概念及相關計算，為了更清楚的分析

11、兩者各自的特點，在此分別從速度分布規律、邊界層的厚度及摩擦阻力系數三方面加以對比。9.5沿曲面的邊界層及分離現象沿曲面的邊界層及分離現象9.5.1 繞曲面流動邊界層的分離繞曲面流動邊界層的分離之前討論的不可壓縮粘性流體繞流平板的流動，其特點之一是邊界層外勢流的流速保持 不變，使整個勢流區和邊界層區內的壓強處處相同。當粘性流體繞流曲面流動時，情況則大不相同，這是由于此時邊界層外勢流的流速沿曲面發生變化，使勢流區和邊界層區內的壓強也沿曲面發生變化，最終導致一種新的物理現象邊界層的分離。下面通過粘性流體繞流一種特殊曲面圓柱體的邊界層內壓強變化及速度變化分析，來觀察邊界層的分離是如何產生。9.5.2卡

12、門渦街上節提到，邊界層分離后將產生漩渦，而后在物體尾部形成尾渦區，那么尾渦區內漩渦又是如何運動的呢？下面我們同樣以粘性流體繞流圓柱體為例分析其流動。當流體以很小的雷諾數繞圓柱體流動時，此時與理想流體繞流圓柱體幾乎相同，流動中流體的慣性力很小，整個流場均為層流，不產生分離現象，即不存在壓差阻力，只有不大的摩擦阻力，如圖9-12(a)所示。隨著雷諾數的增大，慣性力變得不能忽略，圓柱體后半部分的逆壓強梯度增加，當 20時，在 點處流體逐漸堆積，引起層流邊界層分里，并在分離點后生成一對駐渦，如圖9-12(b)所示。eR實驗證明，卡門漩渦自圓柱體周期性的交替脫落時，流體會施加給圓柱體一個垂直與主流的周期

13、性交變作用力，這是由于漩渦脫落的一側柱面的繞流情況改善，側面總壓力降低，而漩渦形成中的一側柱面的繞流情況惡化，側面總壓力升高。交變作用力的方向總是自漩渦形成的一側指向漩渦脫落的一側，交變的頻率與渦街脫落頻率相同。若脫落頻率與圓柱體橫向振動的固有頻率相近或相同時，將會引起諧振，產生較大的振動和內應力，從而影響圓柱體的正常工作。9.6 粘性流體繞小圓球的蠕流流動粘性流體繞小圓球的蠕流流動9.6.1斯托克斯阻力系數斯托克斯阻力系數前面討論了邊界層流動的特點以及繞平板流動邊界層的近似計算，由此可知，只有在大Re數條件下，才能將不可壓縮粘性液體的外部流動分成邊界層流動和勢流流動，并在邊界層流動中，將N-

14、S方程簡化成普朗特邊界層方程，從而得到求解。而工程上經常遇到小球體與周圍流體間相對運動速度很小的情況，比如煤粉顆粒、煙氣中塵粒及汽包蒸汽中的小水滴等等，都可以近似看作是小圓球體，這些小球體在熱能裝置或大氣中的沉降或輸送形成了小雷諾數下粘性流體繞小圓球的蠕流流動。當上面提到的這些固體微?；蛞后w細滴在粘性流體中運動時， Re數很小，意味著慣性力遠小于粘性力，斯托克斯認為此時可忽略慣性項。又由于微粒的質量很小，故質量力也可忽略。若將這些微粒視為形狀規則的小圓球，并將坐標系固定在小圓球上，則將微粒在靜止粘性流體中的運動轉換為來流速度為 的粘性流體繞靜止小球的緩慢運動，且流動是定常的，從而將N-S方程簡

15、化將奧森解、斯托克斯解及實驗結果作在同一座標系上，如圖9-16所示。理論上，奧森解要比斯托克斯解更精確，但從圖中可以看出，奧森解并無明顯的改進，實驗結果剛好位于斯托克斯解和奧森解之間。實際上，奧森解雖然沒有提高計算精度，但奧森為后續研究提供了一條思路。例如1975年陳景堯將奧森解作為N-S方程的一級近似解，然后用迭代方法依次求出了逐級近似解。所求得的阻力系數可在0Re6范圍內與實驗結果很好吻合。9.6.2顆粒在靜止流體中的自由沉降9.7粘性流體繞流物體的阻力9.7.1 摩擦阻力和壓差阻力通過前面討論可知，不可壓縮粘性流體繞流物體流動時，物體表面的應力引起摩擦阻力；另一方面，由于邊界層分離產生能

16、量損失，使得沿曲壁面流時，物體前后總壓強不平衡而引起壓差阻力，故不可壓縮粘性流體繞流物體時會引起摩擦阻力和壓差阻力兩種阻力損失。摩擦阻力是粘性直接作用的結果，當粘性流體繞流物體時，流體對物體表面切向應力作用，由切向應力產生摩擦力，可以將壁面切應力沿物體表面積分得到，如果邊界層分離在某處發生，則該計算只能在分離點前進行；如果邊界層從某處由層流轉變為湍流，則應分為層流段和湍流段分別計算，然后再相加。（4）當 數近似于2105時，邊界層轉變為紊流，分離點突然后移，此時雖然摩擦阻力由于紊流而增加，但壓差阻力下降顯著，導致阻力系數突然下降，出現所謂“阻力危機”的情況。（5）當Re2105時，邊界層較早地

17、轉變為湍流，由于湍流邊界層中流體質點相互摻混，發生劇烈的動量交換，能較好地克服逆壓強梯度，所以湍流邊界層的分離發生要遲一些，分離點圓心角大約為105，這樣，就使漩渦區變窄，壓差阻力大為降低。由此可見，阻力系數的突然下降，是邊界層較早的由層流轉為湍流的結果。9.7.2減少粘性流體繞流物體阻力的措施雖然摩擦阻力和壓差阻力都是粘性引起的，但兩種阻力形成的物理機制不同，因此減少這種阻力采取的措施也不同。對摩擦阻力而言，由于層流邊界層作用在物體表面上的切向應力要比湍流邊界層小得多，為了減少摩擦阻力，應使繞流物體表面的層流邊界盡可能長，即讓層流邊界層轉變為湍流邊界層的轉捩點盡可能往后推移，即控制邊界層；另外，物面光滑或潤濕面較小也有利于減小摩擦阻力。對壓差阻力而言，則要盡量減少分離區，這可采用減小逆壓強梯度的方法，即采用具有圓頭尖尾細長外形的流線型物體，使分離位置盡量往后推移，一般流線型物體的阻力系數與非流線型物體相比要小一個數量級；9.7.3 粘性流體繞流物體的升力習題九9-1 什么是邊界層？其厚度是如何定義的？它對