1、專題 3.8 一題多解 玩透直線方程、典例分析，融合貫通 典例 1 1 例 1 1 :求經過直線l1：3x 2y _1 = 0和|2: 5x 2y T = 0的交點，且垂直于直線|3: 3x -5y 6=0的直線|的方程. .【思路點撥】【解法1】直接法先解方程組得/話的交點坐標為再由右的斜率;求出/的斜率為于是由直5x4-2j + 1 =053線的點斜式方程求出J的方程，整理得“+曲-1一【點睛之笙】直譯條件直搗董龍.【解法 2 2】線系法 1 1由于l _l3，故I是直線系5x 3y 0中的一條，而I過l1,l2的交點（-1,2），故5 -1 3 2 0，由此求出C =-1，故I的方程為5

2、x 3y - 1 = 0. .【點睛之筆】線系法，少思少算很合算！【解法 3 3】線系法 2 2由于l過hl的交點，故l是直線系3x 2y -V 5x 2y 1 =0中的一條，3+5k 51將其整理，得3 x 2 2 2 2 y y -1-1-=0.其斜率-乂二5，解得=-廠丿丿2+ 2丸35代入直線系方程即得I的方程為5x 3y -1 = 0。【點睛之筆】利用線系，思維無縫隙！【解后反思】解法一：先求出兩條直線的交點坐標，再用點斜式求解；解法二：先建立與直線垂直的直線系方程，再將交點代入求解；解法三：先建立過兩條直線交點的直線系方程，再利用斜率求解典例 2 2 例 2 2、若直線l過點（-1

3、,2）且與直線2x-3y+4 = 0垂直，則直線l的方程為 _. .【解法11直接法7直線2x3j + 4 = 0的斜率為k k = = j jf f設所求直線的斜率為疋,T所求直線與直線2兀一3p + 4 = 0垂直，二庶=二所求直線萬程為72 =扌& +1),即：3x+2p 1 = 0.【點睛之筆】直接法，直走不拐彎！【解法2線系法由已知J殳所求直線I I的方程為:3x+2?+ C=0.又r過點(-L2),；,3X(-1) + 2X2+C = 0 ,得:C=-l，所以所求直線方程為3x+2j-l = O,【點睛之筆】線系，好用又合適！【解后反思】解法一：先求斜率，再用點斜式求解；解

4、法二：先建立與直線垂直的線系方程，再將點代入求解典例 3 3 若A(1(1，- 2)2),耳 5,6)5,6)，直線 I I 經過 ABAB 的中點 M M 且在兩坐標軸上的截距相等，求直線【解法 1 1】截距式法設直線I在x軸，y軸上的截距均為a. .由題意得M M 3,23,2 . .若a=a= 0 0，即I過點0,0和3,2,2所以直線I的方程為y 二x，即2x-3y=0.3若a = 0，設直線I的方程為=1,a a32因為直線I過點M 3,2，所以3 2=1,I I 的方程.3a a所以a=5，此時直線I的方程為-=1，即x+ y5=0. .55綜上，直線I的方程為2x 3y= 0或x

5、+ y 5= 0. .【點睛之筆】截距式法，與真相零距離！【解法21點斜式法易知M02由題意知所求直線J的斜率在 存在且00廠2=狀廠3).令，=0,得i=3-i=3- ；令尸0,得y=2y=23Jc3Jc . .所以3丄=2-如解得 ET 或k=-.Jt3所以直線 的方程為廠2=-(兀-3)或y-2-|(x-3),即y5=0或2廠3尸0【點睛之筆】點斜式，直點問題死穴！【解后反思】解法一：先分類，再圍繞載距相等進行求解；解法二：先用點斜式建立方程，再求出兩截距并建立方程求解.二、精選試題，能力升級1.1.若直線3x 4y -0與直線6x my 14=0平行，則它們之間的距離為【解析】由兩直線

6、平行的條件得3m = 4 6,解得m = 8,此時直線6x my 10的方程可化為3x 4y 0,兩直線3x 4y -3 =0和3x 4y 0間的距離為3兀，2.2.已知直線1的傾斜角為4直線I1經過點 A(3A(3, 2)2)和 B(a,-1)B(a,-1)，且直線 h h 與直線程為 2x+by+2x+by+仁0 0，且直線|2與直線|1平行，則 a+ba+b 等于_則直線J的方程為l垂直， 直線l2的方【解析】 由直線l的傾斜角得l的斜率為-1,3l1的斜率為3_a，直線l與垂直,5A A. 4 4C.C. 3 35 5 經過點 R1R1 , 4 4）的直線在兩坐標軸上的截距都是正的，且

7、截距之和最小，則直線的方程為B B. 2 2x+y 6 6 = 0 0D.D.x 2 2y 7 7 = 0 0【解折】設直線方程為- + =兩，因為直線過點科1,4八所以丄+a a b ba a b b所以。（-+|）=1+單+?+4 2怦+5=9,當且僅當單=匕,艮卩a a b bb b a a b b a ab b a aPg 即口=3,b=6b=6時等號成立，所以載距之和最小時直線方程為寸+1，即衣*-6=0 ,36故選B.6 6.如圖，直線l1,12,13的斜率分別為k1,k2,k3,貝Uk1,k2,k3的大小關系為 _.兀宀2n2nD.D.5TIA A. _B B.C C6336【解

8、析】直線斜率為即tan :3，因為很50,二），所以:-5n ,，故選D.3363 3.（ 20162016 朝陽模擬）直線x、3y1=0的傾斜角為4 4 .斜率為 2 2 的直線經過b）三點，貝 U Ua+b=(3(3 , 5)5) , ( (a,7)7),( (-1 1,a= =0 0 . .又直線l2的斜率為di2b1,b = -2. .因此a-2B B.D.D.【解析】 根據題意， 得7 -5W22.一 1 一 3解得a=4，故a+b=1.故選b=3A A.x+ 2 2y 6 6= 0 0C.C.x 2 2y+ 7 7= 0 0所以0vk3vk2，因此k|3,【解析】顯然直線I的斜率存

9、在且不為0，設直線I的方程為y2=2=k(x+2) k = 0，則直線I與x軸交7【解析】由題青可得匕=如45匚1,toil50一 ,所以直線y y 【回y y= =-半設/伽m),m),-y/3n-y/3n ) ),顯然冏工0,所以.曲的中點C(加解得船,所以咸羽怎)又陀0),所嘰也二豈遐mu 尸 斗 d(hl)，即(3 + )L2廠 3- =0.9 9.已知直線I:kxy+ 1 1+ 2 2k= 0(0(kR)R).(1)若直線不經過第四象限，求k的取值范圍；(2)若直線I交x軸負半軸于A,交y軸正半軸于BAOB的面積為S( (O為坐標原點) )，求S的最小值 并求此時直線I的方程.【解析

10、】(1 1)顯然直線I過定點(一 21)，要使直線I不經過第四象限，由直線I的方程知：當k = 0時直線I的斜率k 0；當k=0時，直線I為y=1，也符合題意，故k _0.2點為(匚2, 0),與y軸交點為(0,2k+ 2)，所以-2| |2k21,解得k=-或2 k2k=2，所求直線方程為8 8如圖，射線OA OB分別與x+ 2y 2= 0或2x+ y+ 2= 0.x軸正半軸成 4545和 3030角，過點P(1(1 , 0)0)作直線AB分別交OA OB于A,B1一兩點，當AB的中點C恰好落在直線y=-x上時，求直線AB的方程.2由點C在尸;兀上且乂AS S三點共線，得*m-nm-n1m

11、my y2222m mQ Q01 2k1 1 +2k+2k- -_ 0 0(2 2)由題意，可得A(- ,0), B(0,1+2k)，且 0.kJ +2kA0111+2k111因為S OA OB | |1 - 2k |(4k 4)(2 2 4)=4,22 k2 k 211當且僅當4k，即k時取等號，k2所以S的最小值為4，此時直線I的方程為x 2y+ 4= 0.10.10. (1 1 )已知直線I1：ax 2 2y= 2 2a 4 4,I2： 2 2x+a2y= 2 2a2+ 4 4，當 0 0va2i2if f弭2*將點P(3#2)代入得bx y .I = 1此時直線/的方程為6 4，即2卄3廠12=0.方法二 依題意，可知直線/的斜率疋存在且疋,所以直線/的方程可設為7一2 =冷-3)住 0),/(30)(0,2