1、第五章 近代數學史1 中世紀的歐洲數學 公元511世紀，是歐洲歷史上的黑暗時期，直到12世紀歐洲數學才開始復蘇。 斐波那契（公元1170年至公元1250年）是第一位有影響的數學家。他的代表作算經系統介紹了印度、阿拉伯數碼，對改變歐洲數學的面貌產生了很大的影響。算經中的一個“兔子問題”，產生了著名的斐波那契數列。2 向近代數學過渡作準備 代數學的產生歐洲人在數學上的推進是從代數學開始的，并拉開了近代數學的序幕。特別表現在三、四次方程求解和符號代數兩個方面。代表人物有：A 塔塔利亞（公元1499年至公元1557年）意大利數學家，給出了形如： 三次方程的代數解法B 費羅（公元1465年至公元1526

2、年）波倫亞大學的數學教授，給出了形如： 三次方程的代數解法C 卡爾丹（公元1501年至公元1576年）學者，在其著作中公布了這些解法。并認識到復根是成對出現的。D 邦貝利（公元1526年至公元1573年）意大利數學家，在其著作代數中引進了虛數。E 吉拉德（公元1593年至公元1632年）荷蘭數學家在代數新發現中給出了著名的“代數基本定理”F 韋達（公元1540年至公元1603年）法國數學家，是數學符號系統化的先驅和功臣。他使用的代數符號的改進工作由笛卡兒完成。如：a，b，c表示已知量，x，y，z表示未知量。在方程方面有著名的韋達定理（方程的根與系數的關系）。 三角學的形成 在1450年前，三角

3、學主要是球面三角學，15、16世紀，德國人開始對三角學作新的推進。編制了正弦表，給出了三角函數關系，并采用了6個函數：正弦、余弦、正切、余切、正割、余割。產生了三角恒等式。 在16世紀三角學從天文學中分離出來，成為一個獨立的數學分支。 射影幾何學射影幾何學源于繪畫藝術中的透視學（法）。研究射影幾何學的數學家有： A 德沙格（公元1591年至公元1661年）法國數學家，在其著作試論錐面截一平面所得結果的初稿中引入70多個射影幾何術語，成為從數學上第一個解答透視法問題的人。 B 帕斯卡（公元1623年至公元1662年）法國數學家，在射影幾何學方面的成就是帕斯卡定理：圓錐曲線的內接六邊形對邊交點共線

4、。 射影幾何產生后不久，就讓位于代數、解析幾何和微積分。 對數的發明 數值計算的需要導致了對數的發明。 納皮爾（公元1550年至公元1617年）蘇格蘭數學家在球面天文學的三角學研究中首先發明對數方法的。對數的發明大大減輕了計算工作量，很快風靡歐洲。3 解析幾何學的誕生 近代數學的本質上可以說是變量數學。而變量數學的第一個里程碑是解析幾何的發明。最重要的前驅是法國數學家奧雷斯姆（公元1323年至公元1382年）。但解析幾何的真正發明要歸功于法國數學家笛卡兒和費馬。 笛卡兒（公元1596年至公元1650年）1637年發表了著名的哲學著作更好地指導推理和尋求科學真理的方法論。在這本書的附錄幾何學中，

5、笛卡兒從一個著名的希臘數學問題帕波斯問題出發，系統闡述了解析幾何的理論，成為解析幾何的發明人。笛卡兒也是一位哲學家，他將其方法論作為發現真理的一般方法，稱之為“通用數學”，并概述了這種通用數學的思路。甚至提出一項計劃：任何問題數學問題代數問題方程求解。 笛卡兒堅持用懷疑的態度進行科學研究。他有一句哲學名言：“我思故我在”。 費馬（公元1601年至公元1665年）1629年，在著作論平面和立體的軌跡引論一書中，清晰地闡述了他的解析幾何原理。并解析地定義了下面的曲線：直線方程： 圓： 橢圓： 拋物線： ， 雙曲線： ； 費馬還定義了新曲線： ， 和 但是費馬并沒有說明他的解析幾何思想是如何形成的。

6、4 微積分的創立及分析時代的成果解析幾何是代數與幾何相結合的產物。它將變量引進了數學，使運動與變化的定量表述成為可能，從而為微積分的創立打下了基礎。微積分發明之前，在科學研究上醞釀了近半個世紀，發生了許多重大事件： 德國天文學家、數學家開普勒（公元1571年至公元1630年）在1615年論述了圓錐曲線圍繞某直線旋轉而成的立體體積的積分法。1619年，公布了他的行星運動三大定律。 意大利物理學家、數學家伽利略（公元1564年至公元1642年）在1638年建立了自由落體定律、動量定律。 意大利數學家卡瓦列里（公元1598年至公元1647年）發展了系統的不可分量方法，即“卡瓦列里原理”。P147。

7、法國數學家笛卡兒（公元1596年至公元1650年）在幾何學中提出了求切線的所謂“圓法”，這種方法本質上是一種代數方法。在推動微積分的早期發展方面有很大的影響，牛頓正是以這種方法為起跑點而踏上研究微積分的道路的。 法國數學家費馬（公元1601年至公元1665年）的求極大值與極小值的方法也可以用來求曲線的切線。 英國數學家巴羅（公元1630年至公元1677年）也給出了求曲線的切線的“微分三角形”法。巴羅是牛頓的老師，一位劍橋大學的數學教授。 英國數學家沃利斯（公元1616年至公元1703年）是最早將分析方法引入微積分的，具體體現在他的著作無窮算術中。他在研究四分之一單位圓的面積時，得到了的無窮乘積

8、表達式。這項工作直接引導牛頓發現了有理數冪的二項式定理。P154頁。16世紀的數學家們的突出工作為微積分的發明鋪平了道路。時代的需要和個人的才識，使牛頓和萊布尼茲完成了微積分的創立中的最后也是最關鍵的一步。 牛頓的“流數術”牛頓（公元1642年至公元1727年）于1661年進入劍橋大學三一學院，受教于巴羅。笛卡兒的幾何學和沃利斯的無窮算術對于他的數學思想的形成影響最深。正是這兩部著作引導牛頓走上創立微積分之路的。1664年，牛頓首創了小o記號表示x的無窮小且最終趨于零的增量。1665年11月，發明了“正流數術”（微分法）。1666年5月，又建立了“反流數術”（積分法）。1666年10月，寫出了

9、歷史上第一篇微積分論文流數簡論。但未發表。到1693年，又先后寫成了三篇微積分論文：運用無限多項方程的分析（簡稱分析學1669年）；流數法與無窮級數（簡稱流數法1671年）；曲線求積術（求積術1691年）。1687年出版的力學名著自然哲學的數學原理（簡稱原理）成為數學史上劃時代的著作。 萊布尼茲的微積分 萊布尼茲（公元1646年至公元1716年）德國數學家，早年在萊比錫大學學習法律，同時接觸伽利略、開普勒、笛卡兒、帕斯卡和巴羅等人的數學思想。1667年獲阿爾特多夫大學法學博士學位。1672年1676年在巴黎任德國駐法國大使。從1672年開始，萊布尼茲將他對數列的研究與微積分的運算聯系起來。用笛

10、卡兒的解析幾何研究曲線時，他發現：求切線不過是求差，求積不過是求和。他首先著眼于求和。在1675年10月29日的一份手稿中，他首次用符號表示sum。11月11日的手稿中，又引進了記號表示兩相鄰x的值的差，并尋找運算和d 運算的關系，并給出了冪函數的微分和積分的公式（P169頁）。1677年，他在一份手稿中明確陳述了微積分基本定理。1684年萊布尼茲發表了他的第一篇微分學論文一種求極大與極小值和求切線的新方法（簡稱新方法）。這是數學史上第一篇正式發表的微分學文獻。其中定義了微分并使用了微分記號，。在新方法中，他陳述了1677年得到的函數和、差、積、商、乘冪與方根的微分公式（P171頁）。并包含了

11、在求拐點以及光學等方面應用。1686年萊布尼茲發表了他的第一篇積分學論文深奧的幾何學與不可分量及無限的分析。在這篇積分學論文中，積分號第一次出現在印刷出版物上。萊布尼茲還是二進制數制的發明人（1679年二進制算術）。他也是制造計算機的先驅（1674年制成了第一臺做四則運算的“算術計算機”）。萊布尼茲也是行列式的發明人（1693年）（P173頁）。 分析時代的成果 微積分的創立，被譽為“人類精神的最高勝利”。在數學史上，18世紀可以說是分析的時代，也是向現代數學過渡的重要時期。 微積分的發展 在英國和歐洲大陸，對微積分的發展起重大作用的代表人物有： 泰勒（公元1685年至公元1731年）英國數學

12、家，曾做過英國皇家學會的秘書，以泰勒公式的發現而著稱。 麥克勞林（公元1698年至公元1746年）英國數學家，著有流數論。 棣莫弗（公元1707年至公元1730年）英國數學家，有著名的棣(di)莫弗公式： （這個公式由歐拉明確地陳述） 上面的三位數學家都是牛頓微積分學說的維護者和繼承者。 雅各布·伯努利（公元1654年至公元1705年）和約翰·伯努利（公元1667年至公元1748年）則是萊布尼茲微積分學說的維護者和繼承者。 18世紀微積分最重大的進步是由歐拉作出的。 歐拉（公元1707年至公元1783年）瑞士數學家，13歲進入巴塞爾大學，受教于約翰·伯努利。他的科

13、學生涯是在俄國圣彼得堡科學院（公元1727年至公元1741年；公元1766年至公元1783年）和德國柏林科學院（公元1741年至公元1766年）度過的。 歐拉是歷史上最多產的數學家。他生前發表的著作與論文有560余種，死后留下了大量的手稿。1911至今，瑞士自然科學協會出版了歐拉全集70多卷（計劃84卷）。 歐拉在1748年出版的無限小分析引論，1755年發表的微分學和積分學（17681770）是微積分史上里程碑式的著作。其中，他引進了一批標準的數學符號，如： 函數符號； 求和號； 自然對數底； 虛數單位 在18世紀推進微積分及其應用貢獻卓著的歐陸數學家中，還有法國學派，代表人物有： 克萊洛（

14、公元1713年至公元1765年）； 達朗貝爾（公元1717年至公元1783年）； 拉格朗日（公元1736年至公元1813年）； 蒙日（公元1746年至公元1818年）； 拉普拉斯（公元1749年至公元1827年）； 勒讓德（公元1752年至公元1833年）。 這一時期，微積分的深入發展表現在以下幾個主要方面：A 積分技術與橢圓積分（不能用已知的初等函數表示）（法尼亞諾，歐拉，拉格朗日和勒讓德及阿貝兒、雅可比）。B 微積分向多元函數的推廣尼古拉·伯努利（公元1687年至公元1759年）證明了公式： （，符號由雅可比創立） C 無窮級數理論（P181184頁） D 函數概念的深化函數概念

15、是萊布尼茲首先使用，最先將其公式化的是約翰·伯努利，而歐拉在無限小分析引論中明確宣布：“數學分析是關于函數的科學”，并給出了函數的定義。他還區分了代數函數和超越函數。18世紀最重要的超越函數有函數（名稱和記號是勒讓德后來在1811年給出的）和函數。歐拉在1771年給出這兩個函數之間的關系： 在18世紀，已有的初等函數被推廣到復數領域。歐拉在無限小分析引論中還發表了著名的公式： E 微積分嚴格化的嘗試牛頓和萊布尼茲的微積分是不嚴格的（尤其是無限小概念）。18世紀的數學家則力圖以代數化的途徑來克服微積分基礎的困難，代表人物是達朗貝爾、歐拉和拉格朗日。 微積分的應用和新分支的形成 18世紀

16、的數學家們一方面努力探索使微積分嚴格化的基礎，一方面大膽擴展微積分的應用范圍，形成了一系列新的數學分支。 A 常微分方程常微分方程是伴隨著微積分一起發展起來的。1690年雅各布·伯努利提出了有名的懸鏈線問題。（P188頁）解一階常微分方程的所謂“積分因子法”，先后由歐拉和克萊洛提出。歐拉在1743年給出了n階常系數線性齊次方程的完整解法，并指出：n階方程的通解是其n個特解的線性組合。他是最早區分“通解”與“特解”的數學家。18世紀常微分方程求解的最高成就是拉格朗日在17741775年間用參數變易法解出了一般n階變系數非齊次常微分方程。 B 偏微分方程微積分對弦振動等力學問題的應用則引

17、導到另一門新的數學分支-偏微分方程。開始于達朗貝爾1747年發表的論文張緊的弦振動時形成的曲線研究，明確導出了弦的振動所滿足的偏微分方程： 并給出了通解： 及初始條件 之后，歐拉在1749年也發表了論弦的振動。18世紀的另一類偏微分方程是位勢方程：通稱“拉普拉斯方程” 拉格朗日、拉普拉斯、勒讓德并稱為“巴黎三L”。拉普拉斯有一句名言：“我們知道的，是很微小的；我們不知道的，是無限的?！?C 變分法變分法起源于“最速降線”和其他一些類似的問題（P193頁）。這個問題最早由約翰·伯努利提出向其他數學家挑戰。牛頓給出了解答：擺線。變分法處理的是一個全新的課題。變分的概念由拉格朗日首創，用記

18、號表示。 18世紀的幾何與代數分析方法的應用開拓出一個嶄新的幾何分支-微分幾何。 A 微分幾何的形成歐拉是微分幾何的重要奠基人。他關于曲面論的經典工作關于曲面上曲線的研究（1760年）被認為是微分幾何史上的一個里程碑。18世紀微分幾何的發展由于蒙日的工作而臻于高峰。 B 方程論及其他18世紀代數學的主題仍然是代數方程。這世紀的最后一年（1799年），年青的高斯公布了代數基本定理（n次代數方程恰有n個根）的第一個實質性證明。瑞士數學家克拉默（公元1704年至公元1752年）在代數曲線分析引論（1750年）中提出了線性代數方程組解的表達式法則，即“克拉默法則”。法國數學家范德蒙德（公元1735年至

19、公元1796年）在1772年的研究中，使行列式成為獨立的數學對象，因此被認為是行列式理論的奠基人。歐拉在1737年證明了是無理數。蘭伯特在1761年證明了是無理數。之后，數學家們將無理數區分為代數數和超越數。1873年和1882年，法國數學家埃爾米特和德國數學家林德曼分別證明了和的超越性。 C 數論進展近代意義的數論研究是從費馬開始的。他提出的一堆定理（猜想），讓數學家們忙碌了好幾個世紀。如：費馬小定理；費馬大定理等等。18世紀的數論研究都和這些定理有關。（P201204頁）。不過，18世紀的數學家們也提出了自己的猜想，著名的有：德國數學家哥德巴赫（公元1690年至公元1764年）猜想（174

20、2年提出）。英國數學家華林（公元1734年至公元1798年）猜想（1770年提出）。其中，華林猜想1909年由希爾伯特首次證明，哥德巴赫猜想至今沒有徹底解決。18世紀的數論還有兩個深刻的工作：1737年，歐拉導出了恒等式： 其中 s>1，n取遍所有的正整數，p取遍所有的素數。歐拉利用這一恒等式證明了：素數的個數是無窮的。這個恒等式是解析數論的開端。1743年，歐拉發現了二次互反律，從而開啟了數論的一個新領域-代數數論。5 代數學的發展與幾何學的變革從17世紀初開始，數學經歷了近兩個世紀的開拓，在18世紀末的時候，數學家們卻普遍存在著一種悲觀的情緒。其原因是對于數學靠內在邏輯需要推動而發展

21、的前景缺乏充分的預見。19世紀，數學跨入了一個前所未有、突飛猛進的歷史時期。 群和伽羅瓦理論 對于5次及以上代數方程是否有根式解的問題，拉格朗日第一個給出了否定的回答，但沒有給出證明。1824年，22歲的挪威數學家阿貝爾（公元1802年至公元1829年）在論文論代數方程，證明一般五次方程的不可解性中給出完整的證明。這里，他引入了“域（field）”的概念。那么，有沒有特殊的方程能夠用根式來求解？怎樣判斷？1829年1831年，法國數學家伽羅瓦（公元1811年至公元1832年）在幾篇論文中，建立了判別方程根式可解的充分必要條件，從而徹底解決了經歷了300年的世紀難題。他的思想是將n次方程的n個根

22、作為一個整體來考慮，并研究它們之間的排列或“置換”。這些“置換”的全體構成一個集合，伽羅瓦稱之為“群”，這是歷史上最早的“群”的定義。繼而伽羅瓦理論形成。代數學由于“群”的概念的引進和發展而獲得了新生。 布爾代數和代數數論早在17世紀，萊布尼茲就想要發明一種通用的語言來指導推理。他提出的邏輯數學化的思想在19世紀中后葉得以實現。英國數學家布爾（公元1815年至公元1864年）的邏輯代數即“布爾代數”基本上完成了邏輯的演算工作。他的思想集中在1847年發表的著作邏輯的數學分析和1854年出版的思維規律研究中。1801年德國數學家高斯（公元1777年至公元1855年）發表了算術研究后，數論作為現代

23、數學的一個重要分支得到了系統的發展。在其中，他研究了同余理論，復整數理論和型的理論，并證明了二次互反律。德國數學家庫默爾（公元1810年至公元1893年）是在高斯之后對代數數論作出重要貢獻的數學家。他的工作與證明費馬大定理有關，并在1844年1847年間創立了理想數理論。 非歐幾何與射影幾何 從公元前3世紀到18世紀末，數學家們一直對歐幾里得幾何學中的第五公設，即平行公設心存疑慮。18世紀中葉開始，數學家們發展了這種平行公設在其中不成立的新幾何，高斯稱之為非歐幾何。對非歐幾何的發明有影響的數學家有：高斯、波約和羅巴切夫斯基。隨后，德國數學家黎曼（公元1826年至公元1866年）在1854年發展

24、了非歐幾何，建立了黎曼幾何。黎曼是最先理解非歐幾何全部意義的數學家，也是現代數學史上最具創造性的數學家之一。19世紀70年代以后，德國數學家克萊因、法國數學家龐加萊先后在歐幾里得空間中給出了非歐幾何的直觀模型。至此，非歐幾何才真正獲得了廣泛的理解。19世紀初，蒙日的畫法幾何學及其工作，重新刺激了射影幾何的研究。到1850年前后，數學家們對于射影幾何與歐氏幾何在一般概念與方法上已作出了區別。19世紀中葉以后，通過否定歐氏幾何中的部分公設或公理，產生了多種幾何學（P242頁）。所以，尋找不同幾何學之間的內在聯系，用統一的觀點來解釋它們，便成為數學家們追求的目標。首先提出統一幾何學計劃的是德國數學家

25、克萊因（公元1849年至公元1925年）。這種思想體現在1872年他的就職演講愛爾朗根綱領中。其次，希爾伯特（公元1862年至公元1943年）提出了統一幾何學的途徑-公理化方法。并在歷史上第一次明確闡明了選擇和組織公理系統的原則。6 分析學及其嚴格化 柯西與分析基礎 19世紀分析嚴格化真正有影響的先驅是法國數學家柯西（公元1789年至公元1851年）?？挛髟谄浯碜鞣治鼋坛蹋?821年）、無限小計算教程概論中嚴格地定義了微積分的基本概念，如：變量、函數、極限、連續性、導數、微分、收斂等等，（P248頁）。柯西的工作向分析的全面嚴格化邁出了關鍵一步。他的研究結果一開始就引起了科學界的很大轟動。然

26、而，柯西的理論還只能說“比較嚴格”，人們不久便發現柯西的理論實際上也存在漏洞。1861年德國數學家魏爾斯特拉斯（公元1815年至公元1897年）舉出一個處處連續但卻處處不可微的函數例子，使數學界大為震驚： 其中是奇數，為常數，使得。把分析建立在“純粹算術”的基礎上，導致了19世紀后半葉數學史上著名的“分析算術化”運動。主角便是魏爾斯特拉斯。他關于分析嚴格化的貢獻使他獲得了“現代分析之父”的稱號。（P253頁） 集合論的誕生 在分析的嚴格化過程中，康托爾發展了一般點集的理論。（P255258頁）。 復分析的建立與解析數論的形成復分析真正作為現代分析的一個研究領域，是在19世紀建立起來的，而且通過柯西、黎曼和魏爾斯特拉斯三個人的工作而發展的?？挛髟?825年出版的關于積分限為虛數的定積分的報告可以看成是復分析