1、高等數學公式導數公式：(tgx)sec2 x(arcsin x)11x2(ctgx)csc2 x(arccos x)1(secx)secx tgx1x2(cscx)cscx ctgx( arctgx )1(a x )a x ln a1 x2(log a x)1( arcctgx )1x ln a1x2基本積分表：tgxdxctgxdxsecxdxcscxdxdx22axx2a2dx22axa2x2ln cosxCln sin xCln secxtgxCln cscxctgx C1 arctg x Caa1 ln xaC2axa1 ln axC2aaxxCarcsinadxsec2 xdxtgx

2、 Ccos2 xdxcsc2 xdxctgxCsin 2 xsecx tgxdxsecxCcscxctgxdxcscxCa xdxa xCln ashxdxchxCchxdxshxCdxln( xx2a 2 )Cx 2a22sin n xdx2cosn xdxn1 I nI n200nx2a2 dxxx2a2a2ln( xx2a2 )C22x2a2dxxx2a2a2ln xx2a2C22a 2x2 dxxa2x2a2arcsin xC22a三角函數的有理式積分：sin x2u， cos x1u2，u tgx，dx2du1 u 21u221 u2一些初等函數：雙曲正弦 : shxexe x2雙曲

3、余弦 : chxexe x2shxexe雙曲正切 : thxexechxarshx ln( x x2）1兩個重要極限：limsin x1xx 0lim (1 1 ) xe 2.718281828459045.x xxxarchxln( xx21)arthx1 ln 1x2 1x三角函數公式：·誘導公式：函數sincostgctg角 A-sin cos -tg -ctg 90°-cos sin ctg tg 90°+cos -sin -ctg -tg 180°-sin -cos -tg-ctg 180°+-sin -cos tg ctg 270&

4、#176;-cos -sin ctg tg 270°+-cos sin -ctg -tg 360°-sin cos -tg -ctg 360°+sin cos tg ctg ·和差角公式：·和差化積公式：sin()sincoscossinsinsin2sincoscos()coscossinsin22tg ()tgtgsinsin2 cossin1 tgtg22coscos2coscosctgctg1ctg ()22ctgctgcoscos2 sinsin22·倍角公式：sin 22 sincoscos22cos2112 sin2co

5、s2sin2sin33sin4 sin3ctg2ctg 21cos34 cos33cos2ctg3tgtg3tg32tg13tg 2tg 21tg 2·半角公式：sin1coscos1cos2222tg1cos1cossinctg1cos1cossin1cossin1cos1cossin1cos22·正弦定理：abc2R·余弦定理： c2a2b22ab cosCsin Asin Bsin C·反三角函數性質：arcsin xarccos xarctgx2arcctgx2高階導數公式萊布尼茲（Leibniz ）公式：n(uv)( n )Cnku ( n k

6、 ) v(k )k 0u( n) vnu ( n 1) vn(n 1)u (n 2) vn(n1) ( n k1)u( n k)v (k )uv(n )2!k!中值定理與導數應用：拉格朗日中值定理：f (b)f (a)f ( )(ba)柯西中值定理： f (b)f (a)f ()F (b)F (a)F ()當 F( x)x時，柯西中值定理就是拉格朗日中值定理。曲率：弧微分公式： ds1y 2 dx,其中 ytg平均曲率：K.: 從 M 點到 M 點，切線斜率的傾角變化量；s： MM 弧長。sM 點的曲率： Klimdy.sds2s 0(1 y)3直線： K0;半徑為 a的圓： K1 .a定積分

7、的近似計算：bba ( y0 y1矩形法： f ( x)yn 1 )anbba 1 ( y0梯形法： f ( x)yn )y1yn 1 an2bb a拋物線法： f ( x)yn )2( y2y4yn 2 ) 4( y1 y3yn 1 )( y0a3n定積分應用相關公式：功：W Fs水壓力： FpA引力： Fk m1m2 ,k為引力系數r 2b函數的平均值： y1f (x)dxb a ab均方根：1f 2 (t )dtba a空間解析幾何和向量代數：空間 2點的距離： dM1M2(x2 x1) 2( y2y1 )2( z2z1 )2向量在軸上的投影： Pr j u ABAB cos,是 AB與

8、 u軸的夾角。Pr j u (a1a2 )Pr ja1 Pr ja2a b ab cosaxbxay byazbz ,是一個數量 ,兩向量之間的夾角： cosaxbxay byazbzax 2ay 2az2bx2by 2bz 2ijkc a baxayaz , cab sin .例：線速度： vwr .bxbybzaxayaz向量的混合積： ab c(ab )cbxbybzabc cos , 為銳角時，cxc ycz代表平行六面體的體積。平面的方程：1、點法式： A( xx0 )B( yy0 )C ( z z0 ) 0，其中 n A, B, C, M 0 (x0 , y0 , z0 )2、一般

9、方程： AxByCzD03、截距世方程： xyz1abc平面外任意一點到該平面的距離： dAx0By0A2B2空間直線的方程： x x0y y0z z0t,其中 smnp二次曲面：Cz0 DC 2xx0mt m, n, p; 參數方程： yy0ntzz0pt1、橢球面： x2y2z21a2b2c2、拋物面： x2y 2（同號）22qz,p, q2 p3、雙曲面：單葉雙曲面： x2y2z22221abc雙葉雙曲面： x2y2z2（馬鞍面）a2b2c21多元函數微分法及應用全微分： dzz dxz dyduu dxu dyu dzxyxyz全微分的近似計算：z dzf x ( x, y)x f y

10、 (x, y)y多元復合函數的求導法 ：zf u(t ), v(t)dzzdtuzf u(x, y), v( x, y)zx當u，時，u( x, y)v v( x, y)duu dxu dydvxy隱函數的求導公式：隱函數F ( x, y)，dy0dx隱函數F ( x, y, z)， z0xuzvtvtzuzvuxvxv dxv dyxyFx ，d 2 yFxFxdyFydx 2()()x Fyy FydxFx，zFyFzyFz隱函數方程組： F (x, y,u, v)0(F ,G)FFFuFvJuvG(x, y,u, v)0(u,v)GGGuGvuvu1(F,G)v1(F ,G)xJ( x,

11、 v)xJ(u, x)u1(F,G)v1(F,G)yJ( y,v)yJ(u, y)微分法在幾何上的應用：x(t ), z0 )處的切線方程： x x0y y0z z0空間曲線 y(t )在點 M (x0, y0z(t)(t 0 )(t0 )(t0 )在點 M 處的法平面方程：(t0 )( xx0 )(t0 )( yy0 )(t 0 )( zz0 )若空間曲線方程為： F ( x, y, z) 0,則切向量 T FyFzFxG y, FzFx ,G ( x, y, z) 0G z G z G x Gx曲面 F ( x, y, z) 0上一點 M ( x0 , y0 , z0 )，則：1、過此點的

12、法向量： n Fx (x0 , y0 , z0 ), Fy ( x0 , y0 , z0 ), Fz ( x0 , y0 , z0 )2、過此點的切平面方程： Fx ( x0 , y0 , z0 )( xx0 )Fy ( x0 , y0 , z0 )( yy0 )3、過此點的法線方程：x x0y y0z z0Fx ( x0 , y0 , z0 ) Fy ( x0 , y0 , z0 )Fz (x0 , y0 , z0 )0FyG yFz ( x0 , y0 , z0 )( zz0 )0方向導數與梯度：函數zf ( x, y)在一點沿任一方向的方向導數為： ffcosfsinp( x, y)ll

13、xy其中 為 軸到方向的轉角。xl函數zf ( x, y)在一點的梯度：gradf ( x, y)ffp( x, y)ijxy它與方向導數的關系是 ：f，其中e cosisin j，為方向上的grad f (x, y) ell單位向量。f 是 gradf (x, y)在l上的投影。l多元函數的極值及其求法：設 f x ( x0 , y0 )f y (x0 , y0 )0，令： f xx (x0 , y0 ) A, f xy (x0 , y0 ) B, f yy (x0 , y0 ) CACB2A 0,( x0 , y0 )為極大值0時，B 2A 0,( x0 , y0 )為極小值則： AC0時

14、，無極 值ACB 20時 ,不確定重積分及其應用：f ( x, y)dxdyf (r cos,r sin)rdrdDD22曲面 z f ( x, y)的面積 A1zzdxdyDxyM xx ( x, y)dM yy ( x, y)d平面薄片的重心：D,yDxM( x, y) dM( x, y)dDD平面薄片的轉動慣量：對于 x軸 I xy2( x, y)d,對于 y軸 I yx 2( x, y)dDD平面薄片（位于 xoy平面）對 z軸上質點 M (0,0, a), (a0)的引力： F Fx , Fy , Fz，其中：( x, y) xdFyf( x, y) yd3，Fzfa( x, y)

15、xdFx f3，3D ( x2y2a 2 ) 2D ( x2y 2a2 ) 2D ( x2y 2a2 ) 2柱面坐標和球面坐標：xr cos柱面坐標： yr sin ,f ( x, y, z)dxdydzF (r , z) rdrddz,zz其中： F (r ,球面坐標：, z) f (r cos , r sin , z)x r sin cosyr sinsin，dvrdr sinddrr 2 sindrddzr cos2r (, )f (x, y, z)dxdydzF ( r , )r 2 sindrddddF (r , )r 2 sindr0001xdv,y1z1z dv，其中 Mxdv重

16、心： xy dv,MMM轉動慣量： I x( y 2z2 )dv，I y( x2z2 )dv，I z( x2y2 ) dv曲線積分：第一類曲線積分（對弧長的曲線積分）：設 f (x, y)在 L上連續， L的參數方程為： x(t) ,(t), 則：y(t)f (x, y)dsf (t ),(t )2 (t )2 (t)dt()特殊情況：xtLy(t )第二類曲線積分（對坐 標的曲線積分）：設L 的參數方程為 x(t)，則：y(t )P( x, y)dx Q( x, y)dy P (t ),(t )(t ) Q(t ), (t)(t ) dtL兩類曲線積分之間的關 系：PdxQdy(P cosQ

17、 cos，其中 和 分別為) dsLLL上積分起止點處切向量 的方向角。格林公式：(QP格林公式：QPPdx Qdyx)dxdyPdx Qdy()dxdyDyLDxyL當Py,Qx，即： QP時，得到D的面積：A1xdy ydxxy2dxdyD2 L平面上曲線積分與路徑 無關的條件：·、是一個單連通區域；1 G2、 P( x, y)， Q( x, y)在 G內具有一階連續偏導數 ，且Q P 。注意奇點，如 (0,0)，應xy減去對此奇點的積分， 注意方向相反！·二元函數的全微分求積 ：在 Q P 時， Pdx Qdy才是二元函數 u(x, y)的全微分，其中：x y( x,

18、 y)u(x, y)P( x, y) dx，通常設x0。Q( x, y)dyy0 0( x0 , y0 )曲面積分：對面積的曲面積分：f ( x, y, z) dsf x, y, z(x, y) 1 zx2 ( x, y) zy2 (x, y) dxdyD xy對坐標的曲面積分：，其中：P(x, y, z)dydz Q( x, y, z)dzdx R( x, y, z) dxdyR( x, y, z) dxdy，取曲面的上側時取正 號；R x, y, z(x, y)dxdyD xyP( x, y, z) dydzP x( y, z), y, zdydz，取曲面的前側時取正 號；D yzQ( x

19、, y, z)dzdxQ x, y( z, x), zdzdx，取曲面的右側時取正 號。D zx兩類曲面積分之間的關 系： PdydzQdzdxRdxdy(P cosQ cosRcos )ds高斯公式：PQR()dvPdydzQdzdxRdxdy(P cosQ cosR cos) dsxyz高斯公式的物理意義 通量與散度：散度： divPQR ,即：單位體積內所產生的流體質量，若 div0,則為消失 .xyz通量： A n dsAn ds(P cosQ cosR cos) ds，因此，高斯公式又可寫成：div AdvAnds斯托克斯公式曲線積分與曲面積分的關系：( RQ ) dydz ( PR

20、) dzdx ( QP ) dxdyPdxQdyRdzyzzxxydydzdzdx dxdycoscoscos上式左端又可寫成：xyzxyzPQRPQR空間曲線積分與路徑無 關的條件： RQ ， PR， QPyzzxxyijk旋度： rotAxyzPQR向量場 沿有向閉曲線的環流量：PdxQdyRdz A t dsA常數項級數：等比數列：qq2n 11qn1q1q等差數列：23(n 1)n1n2調和級數： 111 是發散的123n級數審斂法：、正項級數的審斂法 根植審斂法（柯西判 別法）：1時，級數收斂1設：limnun，則時，級數發散1n時，不確定1、比值審斂法：2時，級數收斂U n 1 ，

21、則1設：lim時，級數發散U n1n時，不確定1、定義法：3sn u1u2un ; lim sn 存在，則收斂；否則發 散。n交錯級數u1u2u3u4或的審斂法 萊布尼茲定理：(u1 u2 u3,un 0)如果交錯級數滿足un un1u1 ,其余項 rn的絕對值 rn un 1。lim un，那么級數收斂且其和 s0n絕對收斂與條件收斂：(1)u1u2un，其中 un 為任意實數；(2) u1u2u3un如果 ( 2)收斂，則 (1)肯定收斂，且稱為絕對 收斂級數；如果 ( 2)發散，而 (1)收斂，則稱 (1)為條件收斂級數。調和級數：1 發散，而( 1)n 收斂；nn級數：1 收斂；n2p

22、級數：1 時發散n pp1時收斂冪級數：x1時，收斂于11 x x 2x3x n1 xx1時，發散對于級數 (3) a0a1x a2 x 2an x n，如果它不是僅在原點收斂，也不是在全xR時收斂數軸上都收斂，則必存在 R，使x R時發散 ，其中 R稱為收斂半徑。x R時不定10時， R求收斂半徑的方法：設liman 1，其中 an， an 1是 (3)的系數，則0時， Rnan時，R 0函數展開成冪級數：函數展開成泰勒級數：f (x)f ( x0 )( xx0 )f ( x0 ) ( xx0 )2f ( n) ( x0 ) ( x x0 )nf ( n1) ( ) ( x2!n!余項： R

23、nx0 )n 1 , f ( x)可以展開成泰勒級數的充要條件是： lim Rn 0(n1)!nx0 0時即為麥克勞林公式：f (x) f (0)f (0)xf (0) x2f (n ) (0) xn2!n!一些函數展開成冪級數：(1 x) m1mxm( m1) x2m(m1)(mn 1) xn( 1 x 1)2!n!sin x xx3x5( 1)n 1x2 n 1(x)3!5!(2n 1)!歐拉公式：cosxeixeix2或e cosx i sin xeixesin x2ixix三角級數：f (t ) A0An sin( ntn )a0( an cosnxbn sin nx)2n 1n1其中

24、， a0aA0， anAn sinn， bnAn cosn， tx。正交性：,cos2sin,cos任意兩個不同項的乘積在 , 1,sin , cos , sin 2xxnxnxxx上的積分 0。傅立葉級數：a0(an cosnx bn sin nx)，周期f (x)2n 1an1(n0,1,2f (x) cosnxdx其中1bn(n1,2,3f ( x)sinnxdx2)111211112（相加）3252111224262正弦級數： an余弦級數： bn822324221112413242220， bn2f ( x) sin nxdx00， an2f ( x) cosnxdx062（相減）1

25、2n1,2,3f ( x)bn sin nx是奇函數n0,1,2f ( x)a0an cosnx是偶函數2周期為 2l 的周期函數的傅立葉級數：f (x)a0(an cos nxbn sin nx )，周期2l2n1llan1 lf ( x) cos nx dx(n0,1,2)其中lll1 lf (x) sin nx dxbn(n1,2,3)lll微分方程的相關概念：一階微分方程： yf ( x, y)或 P(x, y) dxQ(x, y) dy0可分離變量的微分方程 ：一階微分方程可以化 為的形式，解法：g ( y)dy f ( x)dxg( y)dyf ( x) dx得： G( y)F ( x) C