1、第二章2. 3雙曲線雙曲線標準方程（隹點在X軸x2 y2p-務=血0上0）a o標準方程焦點在卩軸）第一定義：平面內與兩個定點圻.巧的距離的差的絕對值是常數（:小于虧罵|）的 點的軌跡叫雙曲線。這兩個定點叫做雙曲線的焦點9兩焦點的距離叫焦距。引-邱| =加（加 辭|）定文第二定義:平面內與一個定點F和一條定直線/的距離的比是常數s當el時，動 點的軌跡是雙曲線。定點F叫做雙曲線的焦點，定直線叫做雙曲線的準線9常數e （el）叫做雙曲線的離心率。對稱軸 龍軸卩軸；實軸長為2c虛軸長為沏對稱中 心原點0(0,0)占丄、 /V 、1一頁（Y,0）耳（C期冷0,y)妝0Q標焦點在實軸上，c = la1

2、+h1 ；焦距；虧罵| = 2c坐 點 頂標(a, 0) (a 90 )(0 a, )(0, a)率 心X7>1C - a- e準線方 程"-C± = X“T±=3到的一III-¥ 2 £ 為為 離藹 距距 的 的 Tfx Al/(X 料線 那 到 / / 44 / 71 4 4 點 點 頂頂到的G +F 一 74T07漸近線 方程X2 a± = yX a -b±=y近雙M 漸的線程 共線曲方2 2 X - ao 興/IXit-1 2-2 2lo雙曲線的定義 當丨屈尸1 I 丨“任丨=鮎時，則表示點M在雙曲線右支上；當

3、MF2-MFt=2a時，則表示點M在雙曲線左支上； 注意定義中的“小于屑瑪卩”這一限制條件，其根據是“三角形兩 邊之和之差小于第三邊"。若2a- 2 c時，即卜眄一|_«兀|=岡盡|,當3阿|一何洛| =匡瑪動點軌跡是以耳為端點 向右延仲的一條射線；當= 時，動點軌跡是以碼為端點向左延伸 的一條射線；若2 Q2c時,動點軌跡不存在.2. 雙曲線的標準方程判別方法是：如果/項的系數是正數，則焦點在x軸上：如果X頂的系數是正數，則焦點在y軸上.對于雙曲線，a不一定大于b,因此不能僮橢圓那樣，通過比較分母的大小來判 斷焦點在哪一條坐標軸上.3. 雙曲線的內外部(0點POo，_y(

4、j)在雙曲線一務=l(a>0,>0)的內部0一誥>1。(2 )點心幾)在雙曲線扌召=l(a>a>0)的外部o頁-瞽<1。4。形如Ax1-YBy1 = 1(AB Y 0)的方程可化為+yA當學0二”0,雙曲線的焦點在卩釉上;A R當才咗2取曲線的焦點在工軸上;5. 求雙曲線的標準方程，應注意兩個問題：正確判斷焦點的位置基 紊數法求解.6. 離心率與漸近線之間的關系設出標準方程后，運用待定1r7。雙曲線的方桎與漸近線方程的關系(1 )若雙曲線方程為莓-斗二1二>漸近線方程：a2 b1若漸近線方程為廠±乙。王土 Jo二>雙曲線可設為竽a a

5、baX2 v2x2 v2C 3)若雙曲線與務-”=1有公共漸近線，可設為務-卷"<%>0,焦點 在x軸上，入vO,焦點在y軸上兒與雙曲線w=i共漸近線的雙曲線縈方程是尋-話=兀"® 與砂線寫g=l共焦點的雙曲線紊方程是=1/ ya2+k y-i(6)當a = M o離心率e = j2o兩漸近線互相垂直，分別為Y=±x,此時雙曲 線為等軸雙曲線，可設為x2-y2 =入；1+8.雙曲線的切線方程x yb-=OoJ = ±_x.二入(i )雙曲線召-召=Ka>3>0)上一點住如處的切線方程是芳-第=12過雙曲線尋-務=l(a&

6、gt;a>0)外一點卩區,幾)所引兩條切線的切點弦方直線八y - kx+ m(m 0) 雙曲線C：(3)雙曲線號£=1>3>0)與Ax+By+C = 0相切的條件是9. 直線與雙曲線的位置關系y = kx+m« 云 護二(ft2 -a2k2)x2 -2a2mkx-a2m2 -ah2 =0F=11) 當b2-a2k2=0t即血=±2時，直線/與雙曲線的漸進線一壬也，直線與a雙曲線C相交于一點：2) 當 b 2a2k20,時 9 A=(2a2mk)a2k2) ( a 2 k 2 )a(a 2m2-a2 b2) A>0時，直線f與雙曲線相交，有兩

7、個公共點 A = 0時，直線/與雙曲線相切，有且僅有一個公共點 AY0時，直線/與孜曲線相離9無公共點3) 直線與雙曲線只有一個公共點，則直線與雙曲線必相切嗎？為什么？(:不一 定10. 關于直線與雙曲線的位置關系問題常用處理方法直線八 y-x+OT(m0)聯立方程法：雙曲線C:= l(a>0, b>Q)y = kx+m« F 尸 亠(b7 -a7k7)x7 -2a7mix-a7m7 -a2b7 =QF=1設交點坐標為班西,另，眶乃)，則有AR。，以及X+X2,XX7還口進一步求出X +y2 =kxxmkc2 4-m = k(x1-¥x2)+2m 9yxy2 = (Axt + w?X 氏巧 +w) = VxjXj + km + x2) + m2在渉及張長，中點，對稱，面積等問題時，常用此法，比如a.相交弦AB的弦長JaK嗣=-1 =+乃嚴一4必比=斤+社VAKAB Jl + t2 |xj - x21 = '1+ k2 +x2)2 -4xjX2 二 pl + Fb-中點 Mgj） x0=l,升二嚀1點差法：設交點坐標為«兀丿）兒）代入雙曲線方程.得2 2 2 2±_2L1邑 _生_1將兩式相減，可得（旺+兀»（齊一眄）_ O十兀