1、一個不容忽視的基本圖形“幾何幾何，急得我無可奈何！ ”許多同學在學習數學時都有一 種感覺：有時遇到一個問題百思不得其解，一經別人點撥就立刻豁 然開朗、茅塞頓開，才知如此簡單。那么，為什么會產生這樣的感 覺呢？其實，解決數學問題，關鍵是要抓住問題的本質屬性。筆者 近日在執教蘇科版數學八年級上冊“勾股定理”時，遇到這樣一個 內容：1876年4月1日，伽菲爾德在新英格蘭教育日志上發表了他 對勾股定理的這一證法（如圖1）。1881年，伽菲爾德就任美國第 二十任總統。后來，人們為了紀念他對勾股定理直觀、 簡捷、易懂、 明了的證明，就把這一證法稱為“總統”證法。其實，從總統證法的圖形來看，實際上就是出現了

2、三個“垂直”，即/b=Zc=Zaed=90,進而產生了abeAecd,我們可以 把這個圖形稱為“三垂直”基本圖形（如圖2）。這一基本圖形在我們的幾何學習中頻頻出現，應用非常廣泛，命 題者也經常以此為背景，命制出一批構思巧妙，立意新穎的試題。一、基于“三垂直”，尋找全等形例1.正方形abcd中，點p是cd延長線上一動點，連接ap,分 別過b、d兩點作be丄ap,df丄ap,垂足為e、f,如圖3請你通過 觀察或測量be、df、ef的長度，然后猜想它們之間的數量關系.并tnii學朮友叢網論文發表專家一匸交發表專家一LB 國學朮發叢網加以證明。解析：由be丄ap,df丄ap,得/bea二/afd=90

3、 ,abe+Zbae=90,又因為正方形abcd，所以/bad=90, 所以/daf+Zbae=90,所以Zabe=Zdaf， 在正方形abcd中，ab二ad,所以abedaf(aas),可得基本圖形2,所以df=ae,be=af，而由圖可知，af=ef-ae，所以be=ef-df.評析：本題主要考查了全等三角形的判定，根據基本圖形圖2,尋找通過全等三角形得出線段相等是解題的關鍵。二、基于“三垂直”，尋找相似形例2.(2009年廣東省中考題)如圖4,正方形abcd邊長為4,m n分別是bc、cd上的兩個動點，當m點在bc上運動時，保持am和mn垂直。(1) 證明：rtabmrtmen(2) 設

4、bm=x梯形abcn的面積為y，求y與x之間的函數關系 式；當m點運動到什么位置時，四邊形abcn的面積最大，并求出 最大面積；(3)當m點運動到什么位置時，rtabm rtamn求此時x的值.解析：(1)因為Zmab+Zamb= 90,Znmc+Z amb= 90,所以Zmab=Znmc,又因為Zb=Zc=90,所以abmAmcn.可得基本圖形2。匸交發表專家一LB 國學朮發叢網www,qikanwa ng.nEt(2) 又厶abmAmen得二，所以二，解得cn二.于是y=s梯形abcn=(4+)=-x2+2x+8=-(x-2)2+10因此，當x=2時，y取最大值，最大值為10.(3) 由圖

5、4,因為/b=Zamn= 90，要使abmAamr,必須 有，二由厶abmAmen,知,二.因此bm=mc所以， 當點m運動到be的中點時，abmAamr.評析：這是一道關于動點運動型的綜合性較強的試題，本題把相 似三角形的內容與二次函數的內容巧妙地結合起來，對于第(1)問，利用基本圖形2,易證得兩個三角形相似，這一對相似三角形 是解決后兩個問題的必要條件；利用這一對相似三角形中的比例線 段，問題(2)得解；尤其是第(3)問，逆向思考，再結合原相似 三角形中的比例線段，從而形成本問的巧解。三、構造“三垂直”，解決函數題例3.如圖5,梯形abed中，ad/be,/abc=90,ad=9, bc=12,ab=10,在線段be上任取一點p,作射線