1、會(huì)計(jì)學(xué)1高數(shù)小結(jié)高數(shù)小結(jié)第一頁，編輯于星期三：七點(diǎn) 二十二分。【解解】切線方程切線方程,322110 zyx法平面方程法平面方程, 0)2(3)1(2 zyx. 0832 zyx即即, 2, 1, 0 zyx3(,)(cos , 2cossin ,3)ttTxy zettte (0)(1, 2,3)tT P94例例4.第1頁/共17頁第二頁，編輯于星期三：七點(diǎn) 二十二分。例例5. 求曲線求曲線0,6222zyxzyxM ( 1,2, 1) 處的切線方程與法平面方程處的切線方程與法平面方程. xxzzxyydddd解解: 方程組兩邊對(duì) x 求導(dǎo)求導(dǎo), 得1ddddxzxyddzx ddyx 曲線

2、在曲線在 M(1,2, 1) 處處切向量切向量:解得解得,zxyz xyyz ) 1, 0 , 1 (MMxzxyTdd,dd,1切線方程切線方程121zyx011法平面方程法平面方程0 zx第2頁/共17頁第三頁，編輯于星期三：七點(diǎn) 二十二分。二、曲面的切平面與法線二、曲面的切平面與法線曲面曲面 在點(diǎn)在點(diǎn) M 的的法向量法向量:),(, ),(, ),(000000000zyxFzyxFzyxFnzyxMTn0),(:zyxF光滑曲面光滑曲面1、空間曲面為隱式方程情形、空間曲面為隱式方程情形求切平面求切平面,法線法線法向量法向量) 1),(),(0000yxfyxfnyx),(yxfz 2、

3、曲面、曲面的方程為顯式的方程為顯式 zyxfzyxF),(),(光滑曲面光滑曲面0000(,),(,), 1)xynfxyfxy 或或( , )0f x yz ( , )0zf x y ( , , )( , )F x y zzf x y 第3頁/共17頁第四頁，編輯于星期三：七點(diǎn) 二十二分。【解解】, 32),( xyezzyxFz令令切平面方程切平面方程法線方程法線方程2(1)(2)0 (0)0,xyz , 042 yx.001221 zyx【分析分析】為隱式情形為隱式情形(,)(2 ,2 ,1)zxyznF F Fy xe (1,2,0)(4,2,0)2(2,1,0)n 第4頁/共17頁第

4、五頁，編輯于星期三：七點(diǎn) 二十二分。【解解1 1】, 1),(22 yxyxf(2,1,4)(2,1,4)(2,1,4)(, 1)(2 , 2 ,1)xynffxy ),1, 2, 4( 切平面方程為切平面方程為, 0)4()1(2)2(4 zyx,0624 zyx法線方程為法線方程為.142142 zyx【分析分析】為顯式情形為顯式情形【解解2 2】先化為隱式先化為隱式, ,22( , , )1,F x y zxyz 令令(2,1,4)(2,1,4)(2,1,4)(,)(2 , 2 ,1)xyznFFFxy ),1, 2, 4( 第5頁/共17頁第六頁，編輯于星期三：七點(diǎn) 二十二分。【解解】

5、設(shè)設(shè) 為曲面上的切點(diǎn)為曲面上的切點(diǎn), ,),(000zyx切平面法向量為切平面法向量為000(2,4,6)xyz因切平面平行于已知平面，得因切平面平行于已知平面，得,664412000zyx .2000zyx 01,x 所求切點(diǎn)為所求切點(diǎn)為又切點(diǎn)滿足曲面方程，代入得又切點(diǎn)滿足曲面方程，代入得),2 , 2 , 1(),2, 2, 1( (1)4(2)6(2)0 xyz 4621xyz (1)4(2)6(2)0 xyz 4621xyz 切平面方程切平面方程：切平面法向量為切平面法向量為(1,4,6)第6頁/共17頁第七頁，編輯于星期三：七點(diǎn) 二十二分。( , , )f x y z沿方向沿方向 l

6、 的方向?qū)?shù)：coscoscosfffflxyz( ,)l 是是 的的方方向向角角定義定義:三元函數(shù)三元函數(shù)fl ,)()()(222zyx,cosx,cosycosz0(,)( , , )limf xx yy zzf x y z 第七節(jié)第七節(jié)方向?qū)?shù)與梯度方向?qū)?shù)與梯度2cos,14 Plu) 1, 1, 1 (1461cos,14 3cos14 1422zyx1412zx1432yx練習(xí)練習(xí)1. 求在點(diǎn) P(1, 1, 1) 沿zyxu2(2, 1,3)l 的方向?qū)?shù) .解解: 向量 l 的方向余弦為第7頁/共17頁第八頁，編輯于星期三：七點(diǎn) 二十二分。在點(diǎn)P(2, 3)沿曲線223yyx

7、z21yx朝 x 增大方向的方向?qū)?shù).解解:將已知曲線用參數(shù)方程表示為2)2, 1 (xxzl P 它在點(diǎn) P 的切向量為,171cos1760 xoy2P1 2xyxx1617xy 24(32 )17xy(2,3) )4, 1 (174cos1機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第8頁/共17頁第九頁，編輯于星期三：七點(diǎn) 二十二分。是曲面n在點(diǎn) P(1, 1, 1 )處指向外側(cè)的法向量,解解: 方向余弦為,142cos,143cos141cos而Pxu8,14Puy 14Puz Pnu同理得) 1,3,2(2632222zyx方向的方向?qū)?shù).Pzyx)2,6,4(14671111438261

8、41Pyxzx22866zyxu2286在點(diǎn)P 處沿求函數(shù)機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 nn第9頁/共17頁第十頁，編輯于星期三：七點(diǎn) 二十二分。方向?qū)?shù)公式coscoscoszfyfxflf令向量方向?qū)?shù)最大值方向?qū)?shù)最大值：,fffGxyz )cos,cos,(cos0l0lGlf梯度定義：梯度定義：grad fzfyfxf,一點(diǎn)處的一點(diǎn)處的方向?qū)?shù)方向?qū)?shù)有很多：有很多：00cos(,)GlG l 0( ,0 )G l 角角G 方向?qū)?shù)最大值時(shí)方向?qū)?shù)最大值時(shí) 的方向?yàn)榈姆较驗(yàn)椋簂 G 的的方方向向grad f grad f即即方方向向G 即即P103第10頁/共17頁第十一頁，編

9、輯于星期三：七點(diǎn) 二十二分。(1)zyxzyxf2),(求函數(shù) 在點(diǎn) M (1,1,1 ) 處沿曲線23 21 xtytzt 在該點(diǎn)切線方向的方向?qū)?shù);)3,4, 1 (1dd,dd,ddttztytx)1 , 1 , 1(coscoscoszyxMffflfl 11432ln(1,1,1)262626zzxzyyy 143210262626 266(2)在點(diǎn)在點(diǎn) M (1,1,1 ) 處處方向?qū)?shù)的最大值方向?qū)?shù)的最大值z(mì)yxzyxf2),(1,1,1)gradf 5,方向?qū)?shù)取最大值的方向方向?qū)?shù)取最大值的方向=(2,1,0 )(1,1,1)gradf第11頁/共17頁第十二頁，編輯于星期

10、三：七點(diǎn) 二十二分。說明說明: （1）使偏導(dǎo)數(shù)都為 0 的點(diǎn)稱為駐點(diǎn) . 定理定理1 (必要條件必要條件)函數(shù)數(shù),0),(,0),(0000yxfyxfyx且在該點(diǎn)取得極值 ,則有),(),(00yxyxfz在點(diǎn)存在偏導(dǎo)駐點(diǎn)駐點(diǎn)不可導(dǎo)點(diǎn)不可導(dǎo)點(diǎn)可能極值點(diǎn)可能極值點(diǎn)（2） 但駐點(diǎn)不一定是極值點(diǎn).（3）第八節(jié)第八節(jié) 多元函數(shù)的極值及其求法多元函數(shù)的極值及其求法 回顧：一元函數(shù)極值必要條件回顧：一元函數(shù)極值必要條件駐點(diǎn)駐點(diǎn)x0可能極值點(diǎn)可能極值點(diǎn)f (x0) = 0不可導(dǎo)點(diǎn)不可導(dǎo)點(diǎn)一、一、第12頁/共17頁第十三頁，編輯于星期三：七點(diǎn) 二十二分。時(shí), 具有極值則: 1) 當(dāng)A0 時(shí)取極小值.2) 當(dāng)

11、3) 當(dāng)時(shí), 沒有極值.時(shí), 不能確定 , 需另行討論.定理定理2 (充分條件充分條件)的某鄰域內(nèi)具有一階和二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), 且令若函數(shù)的在點(diǎn)),(),(00yxyxfz 0),(,0),(0000yxfyxfyx),(, ),(, ),(000000yxfCyxfByxfAyyyxxx02 BAC02 BAC02 BAC回顧：一元函數(shù)極值充分條件回顧：一元函數(shù)極值充分條件第一充分條件：第一充分條件：第二充分條件：駐點(diǎn)第二充分條件：駐點(diǎn)x0處處極值定義極值定義( )fx 列列表表看看可可能能極極值值點(diǎn)點(diǎn)兩兩邊邊異異號(hào)號(hào)00()0,()0,fxfx 極極小小值值極極大大值值比比兩兩邊邊點(diǎn)點(diǎn)值值都

12、都大大或或都都小小( (不不連連續(xù)續(xù)點(diǎn)點(diǎn)也也適適用用) )課本例課本例4二、二、第13頁/共17頁第十四頁，編輯于星期三：七點(diǎn) 二十二分。當(dāng)區(qū)域內(nèi)部最值存在當(dāng)區(qū)域內(nèi)部最值存在, 且內(nèi)部且內(nèi)部只有一個(gè)只有一個(gè)駐點(diǎn)駐點(diǎn)P 時(shí)時(shí), 唯一駐點(diǎn)即為最值點(diǎn)。唯一駐點(diǎn)即為最值點(diǎn)。求求邊界點(diǎn)的最大值點(diǎn)邊界點(diǎn)的最大值點(diǎn)及及駐點(diǎn)駐點(diǎn)及及不可導(dǎo)點(diǎn)不可導(dǎo)點(diǎn)的函數(shù)值的函數(shù)值, ,比比較大小較大小多元函數(shù)最值求法：多元函數(shù)最值求法：課本例課本例5，61.構(gòu)造構(gòu)造拉格朗日函數(shù)拉格朗日函數(shù)0 xxxLf0yyyLf 0L 2.構(gòu)造方程組構(gòu)造方程組:( , , )( , )( , )L x yf x yx y ,0),(下在條件yx條件極值：拉格朗日乘數(shù)法條件極值：拉格朗日乘數(shù)法.),(的極值求函數(shù)yxfz 例如：例如： 為為某某一一常常數(shù)數(shù)3.解此方程組可得到條件極值的可能極值點(diǎn)（駐點(diǎn)）解此方程組可得到條件極值的可能極值點(diǎn)（駐點(diǎn)） .三、三、四、四、課本例課本例7，8第14頁/共17頁第十五頁，編輯于星期三：七點(diǎn) 二十二分。【解解】223323020012xyzLx y zLx yzLx yxyz .691224623max u則則第15頁/共17頁第十六頁，編輯于星期三：七點(diǎn) 二十二分。練習(xí)練習(xí)2：要設(shè)計(jì)一個(gè)容量為0V則問題為求x , y ,令解方程組解解: 設(shè) x , y , z