1、3 參變量函數的導數平面曲線通常用方程( ),( ),.xx tyy ttI為多維空間的情形, 例如 中的曲線: 3R( ),( ),( ),.xx tyy tzz ttI這樣做最明顯的好處, 是能方便地推廣來表示; 一般情形下則采用參數方程( )yf x ( , )0F x y 或設平面曲線設平面曲線 C 的參數方程為的參數方程為平面曲線兩種方程之間的聯系平面曲線兩種方程之間的聯系. ( ),.(1)( ),xttyt 如果函數如果函數 有反函數有反函數 則則 (1) 式可式可( )xt ),(1xt 1( )( ).yxf x 確定復合函數確定復合函數由此說明由此說明( ),( ),tt如

2、果都可導如果都可導, 0)( t 且且根據復合根據復合數數.這種由參數方程這種由參數方程 (1) 所表示的函數所表示的函數, 稱為參變量函稱為參變量函函數和反函數的求導法則函數和反函數的求導法則, 得到得到ddd( )dd.(2)dddd d( )yyttyxttxtxt (2) 式的幾何意義如下式的幾何意義如下: 設由設由 (1) 式表示的曲線式表示的曲線 C0000( )(),( )()tttyxttt 的割線的割線 的斜率為的斜率為00( ),( )Qtttt PQ00( (),()Ptt 在在點點 處有切線處有切線. . 過點過點 及鄰近點及鄰近點 P,)()(00tt 如果如果0(

3、),( )ttt 在在點點則切線則切線, 0)(0 t 可導，可導，000000 ( )() tanlimlim ( )() ttttttyxtttt ,0)(0時時當當 t 有有.)()(cot00tt 的斜率為的斜率為其中其中 是切線與是切線與 x 軸正向的夾角軸正向的夾角 ( 見下頁圖見下頁圖 ) . . 22( )( )0,tt則稱曲線則稱曲線 C 為為光滑曲線光滑曲線. 光滑曲線的每一點都存光滑曲線的每一點都存在在, , 若若在在上都存在連續導數上都存在連續導數, ,且且yQOyxPx C例例1 求由參數方程求由參數方程cos ,(0, )sin ,xattybt 切線切線, 且切線

4、與且切線與 x 軸正向的夾角軸正向的夾角( ) tt 是 的連續是 的連續函函數數. .解解 由公式由公式 (2) 得到得到( 這是上半橢圓方程這是上半橢圓方程 ) 所確定的函數所確定的函數 的的( )yf x 導數導數, 并求此橢圓在并求此橢圓在 處的切線方程處的切線方程.4t ( )cos ,( )sin.xy d( sin )ddcot ,ddd( cos )ybtbyxtttxata 4d.dtybax 故所求切線為故所求切線為: :22().22bbayxa 例例2 若曲線若曲線 由極坐標方程由極坐標方程 ( ) 給出給出, , 則則C可以把它轉化成以極角可以把它轉化成以極角 為參數

5、的參數方程為參數的參數方程dd,ddxy如果存在如果存在, 0dd x且且則則d( ( )sin )( )sin( )cosd( ( )cos )( )cos( )sinyx ( )tan( ).(3)( )( )tan xOT HM C (3) 式表示的是曲線式表示的是曲線)( 線線 MT 與極軸與極軸 Ox 的的( , )M 在點處在點處的切的切向徑向徑 ) 與切線與切線 MT 的夾角的夾角 的正切是的正切是將將 (3) 式代入式代入 (4) 式式, 化簡后可得化簡后可得tantantantan().(4)1tantan ( )tan.(5)( ) 夾角夾角 tan . 的正切的正切過過 M 的射線的射線 OH ( 即點即點M的的徑的夾角徑的夾角 是常數是常數.例例3 證明對數螺線證明對數螺線上所有點處的切線上所有點處的切線與向與向2e 證證, 因為對每一值因為對每一值arc