1、理論力學題解1-3 已知曲柄, 以勻角速度繞定點O轉動,此曲柄借連桿AB使滑動B沿直線運動.設,.求連桿上C點的軌道方程及速度.解: 設C點的坐標為,則聯立上面三式消去得整理得軌道方程設C點的速度為,即考慮A點的速度得所以1-4 細桿OL繞O點以勻角速度轉動,并推動小環C在固定的鋼絲AB上滑動,圖中的為一已知常數.試求小環的速度及加速度解: 小環C的位置由坐標確定解法二:設為小環相對于AB的速度, 為小環相對于OL的速度, 為小環相繞O點轉動的速度,則又設OL從豎直位置轉過了角,則, 所以, 小環相對于AB的速度為,方向沿AB向右.沿滑桿OM滑動的速度為，方向沿OM桿向上。求加速度用極坐標橫向

2、加速度第一章第五節例題一解：坐標向上為正時，速度也向上為正，而實際速度向下，則有阻力，動力學方程，滿足初始條件的解為坐標向下為正時，速度也向下為正，實際速度向下，則有阻力，動力學方程，滿足初始條件的解為（）可以看出第一章第五節例題二解：雙曲正切函數，雙曲余弦函數反雙曲正切函數（）1-10 一質點沿著拋物線運動.其切向加速度的量值為法向加速度量值的倍.如此質點從正焦玄()的一端以速度出發,試求其達到正焦玄另一端時的速率.解: 設條件為, , 上面三式聯立得兩邊積分 , 由可得 在正焦玄兩端點和處, ,.可看出,兩點處拋物線得切線斜率互為倒數,即,代入得1-15 當一輪船在雨中航行時,它的雨蓬遮住

3、篷的垂直投影后的甲板,蓬高.但當輪船停航時,甲板上干濕兩部分的分界線卻在蓬前,如果雨點的速率為,求輪船的速率.解: 設相對于岸的速度為,雨相對于岸的速度為,雨相對于船的速度為則速度三角形與三角形ABC相似,得所以方程的解解: 作變換,原方程變為 設,則實根 兩個虛根: ,對于該題,只取實根. 1-38 已知作用在質點上的力為,其中都是常數,問這些應滿足什么條件才有勢能存在?如果這些條件滿足,試求其勢能.解: 由得: 1-39 一質點受一與距離3/2次方成反比得引力作用在一條直線上運動,試證該質點自無窮遠到達時的速度和自靜止出發到達時的速率相同. 解: 依題意有 ,兩邊積分 , 再積分,可知1-

4、43 如果質點受有心力作用而作雙紐線的運動時，則試證明之。解：比耐公式 而代入得 1-44 質點所受的有心力如果為式中，及都是常數，并且，則其軌道方程可寫成。試證明之。式中，（A為積分常數）。解：比耐公式將F代入得，式中其解為式中，將基準線轉動一角度，可使得2-1 求均勻扇形薄片的質心，此扇形的半徑為，所對的圓心角為。并證明半圓片的質心的距離為解：取對稱軸為軸，則質心比在對稱軸上。設密度為對于半圓片，取，或者直接積分 2-2 如自半徑為為的球上，用一與球心相距為的平面，切出一球形帽，求此球形帽的質心。解：方法一球形帽可看作由許多圓薄片沿Z軸疊成，其質心坐標方法二取任一垂直于OZ軸的兩平面來截球

5、冠，截得一微圓球臺近似地等于圓柱。2-3 重為的人，手里拿著一個重為的物體。此人用與地平線成角的速度向前跳去。當他達到最高點時，將物體以相對速度水平向后拋出。問：由于物體的拋出，跳的距離增加了多少？解：選人與重物組成一個系統，此系統在水平方向無外力作用，水平方向動量應守恒。人在拋出重物以前，水平速度為，在最高點拋出重物之后，其水平速度變為，則人拋出重物后，做以為初速的平拋運動，比不拋重物落地點要遠，增加的距離兩式聯立得討論：若拋出物體時速度是相對人后來的速度即，則上面第一個方程變為結果是一個例子：人重60公斤，物重2公斤，起跳速度，拋物速度，則2-13 長為的均勻細鏈條伸直地平放在水平光滑桌面

6、上，其方向與桌邊沿垂直，此時鏈條的一半從桌上下垂。起始時，整個鏈條是靜止的。試用兩種不同的方法，求此鏈條的末端滑到桌子的邊沿時，鏈條的速度。解：【方法一】設鏈條的線密度為，則時刻下落的鏈條質量為，此時鏈條所受的重力為，根據牛頓第二定律有作變換代入上式兩邊積分，【方法二】設鏈條的線密度為，當鏈條往下移，重力做的功為，216 雨滴下落時，其質量的增加率與雨滴的表面積成正比例，求雨滴速度與時間的關系。解：變質量動力學方程設水蒸氣凝結在雨滴上之前在空氣中的速度，代入上式得設雨滴半徑的增長率為，式中為時雨滴的半徑，雨滴的質量，式中為密度其解設時，的問題：軸為豎直而定點在下的拋物線形金屬絲，以勻角速度繞軸

7、轉動。一質量為的小環套在此金屬絲上，并可沿金屬絲滑動。是研究其運動。拋物線方程建立動參考系，則動能 勢能 運動微分方程 對上式積分一次再積分一次一個自由度下，應用虛功原理求平衡問題半徑為的光滑半球形碗固定在水平桌面上，一均質棒斜靠在碗緣，一端在碗內，另一端在碗外，在碗內長度為，試證棒長為解：主動力，體系平衡時，由虛功原理得上式中如選為廣義坐標，得出這與廣義坐標的變分獨立性相矛盾，故不能選為廣義坐標。選為廣義坐標，則，而，得棒長取直角坐標為廣義坐標，如，因為則廣義力獨立，平衡方程為，即兩種特殊情況當，時，平衡方程簡化為；當，時，平衡方程改寫為，即。解釋個質點組成的力學系統，有個自由度，選取一組廣

8、義坐標設去取值范圍給出的維區域為。主動力作用點（質點）的矢徑為，虛位移只有在定義域的交集中成立。一般有。從而產生虛位移和廣義力的定義域就是廣義坐標的值域的誤解。考慮兩種情況（1） 平衡位置，虛功原理化成；（2） 平衡位置，但，諸中至少有一個在平衡位置不存在。所選廣義坐標雖能表達質點系的平衡位置，但在平衡位置的虛位移卻不能用廣義坐標變分的線性組合來表達。即不成立。在平衡位置不是，而是不存在。若取為廣義坐標，則，的奇點方程為，平衡點是虛位移和廣義力的奇點。（論述該問題的文獻：大學物理，200年5月和2002年4月）設力在球坐標系中沿坐標軸方向的分量為，。若取三個球坐標為廣義坐標，試證其三個廣義力為

9、。證明： 虛位移 （2分） 虛功 （2分）而虛位移又可以寫成 （2分）兩式比較得 （2分）質量分別為和的兩個質點用一長為的不可伸長的細線連接并掛在一定滑輪上，試用拉格朗日方程求體系的運動微分方程。解：力學體系有一個自由度。取到滑輪固定點的距離為廣義坐標體系勢能為 （2分）體系的動能 （2分）拉格朗日函數 分別對廣義坐標和廣義速度求偏導數， （3分）代入拉格朗日方程的體系運動微分方程 （3分）一個質量為的圓環，從一個傾斜角為的斜面上無滑動地滾下來。試用拉格朗日方程求環的運動微分方程。解：力學體系有一個自由度。取環到斜面頂點的距離為廣義坐標體系勢能為 （2分）體系的動能 （2分）拉格朗日函數 分別

10、對廣義坐標和廣義速度求偏導數， （3分）代入拉格朗日方程的體系運動微分方程 （3分）質量為的小環P，套在半徑為的光滑圓圈上，并可沿著圓圈滑動。如圓圈在水平面內以勻角速度繞圈上某點O轉動，已知體系的拉氏函數為式中為P與圓心的連線和通過O點的直徑間所夾的角。試用哈密頓正則方程求關于的運動微分方程。解：體系拉格朗日函數為 （2分）由勒讓德變換得哈密頓函數 （3分）代入正則方程得 （3分）整理得：即=常數 （2分）試用保守系的拉格朗日方程求單擺的運動微分方程并在小角度擺動時解出該方程。解：取懸線和鉛垂線的夾角為廣義坐標，則其動能和勢能分別為 （2分）拉格朗日函數為 ， （2分）代如保守系的拉格朗日方程得 （2分）小角度擺動時變為 （2分）其解為，其中為振幅，為初位相。 （2分）質量為的質點，被限制在水平固定的光滑直線上滑動，另一質量為的質點用一長為 的輕桿和相聯。此桿只能在通過固定直線的鉛直平面內運動，設此二質點只受重力作用。解答下列問題： （1）若選和為廣