1、2. 8 軸向軸向拉伸或壓縮時的變形拉伸或壓縮時的變形1. 軸向變形軸向變形l 直桿軸向拉壓時變形的特點直桿軸向拉壓時變形的特點軸向變形量軸向變形量下面建立下面建立變形變形與與力力之間的關系之間的關系lll1l 應變應變ll1. 軸向軸向變形變形軸向變形量軸向變形量lll1l 應變應變lll 應力應力ANl 應力應力-應變關系應變關系EANEANll llEEAPl 胡克定律的胡克定律的另一種形式另一種形式EA 抗拉抗拉(或抗壓或抗壓)剛度剛度注意注意：上式只在應力不超過比例極限時成立。：上式只在應力不超過比例極限時成立。PN(X)q (1) 階梯軸 (2) 變截面軸iiiiAElNlldxx

2、EAxNl)()(推廣:l1l2l3A1A2A3N(x)+dN(x)N(x)N(X)N(X)dxxPql2. 橫向橫向變形變形橫向變形量橫向變形量bbb1l 橫向應變橫向應變bbl 試驗證明試驗證明上式也可寫成：上式也可寫成： 泊松比泊松比或橫向變形系數。或橫向變形系數。當應力不超過比例極限時，有：當應力不超過比例極限時，有：幾種常用材料的幾種常用材料的E和和的約值的約值(表表2. 2)3. 變截面桿的軸向變形變截面桿的軸向變形取一微段，取一微段， )(dl積分得：積分得：微段的伸長微段的伸長)(d)(xEAxxNlxEAxxNl)(d)(例例 1 變截面桿變截面桿已知已知： BD段段A1=2

3、cm2, AD段段 A2=4cm2, P1=5kN,P2=10kN, E=120GPa 。圖中尺寸為圖中尺寸為cm。求求：AB桿的變形。桿的變形。解：解：(kN)51N(1) 求軸力求軸力BD段段N1(kN)52NCD段段N2(kN)53NAC段段N3(kN)51N(1) 求軸力求軸力BD段段(kN)52NCD段段(kN)53NAC段段(2) 求變形求變形 111EAlNlBD493102101205 . 0105)m(1005. 14222EAlNlCD493104101205 . 0105)m(1052. 04333EAlNlAC493104101205 . 0105)m(1052. 04

4、(2) 求變形求變形 111EAlNlBD493102101205 . 0105)m(1005. 14222EAlNlCD493104101205 . 0105)m(1052. 04333EAlNlAC493104101205 . 0105)m(1052. 04AB桿的變形桿的變形ACCDBDABllll)m(1005. 14例例 2 (書例書例2. 7)已知已知： BC桿桿: d=20mm, BD桿桿: 8號槽鋼。號槽鋼。 = 160MPa, E=200GPa, P=60kN。求求：校核強度及：校核強度及B點位移。點位移。解：解：(kN)451N(1) 求軸力求軸力取取B點點(kN)752N

5、(拉拉)261m10314ABC桿面積桿面積(壓壓)(2) 計算應力計算應力262m108 .1024ABD桿面積桿面積查型鋼表查型鋼表(p.414)得得261m10314ABC桿面積桿面積(2) 計算應力計算應力262m108 .1024ABD桿面積桿面積 查型鋼表得查型鋼表得(p. 414)應力應力MPa143111ANMPa160MPa2 .73222ANMPa16011BBl BC桿變形桿變形(3) 計算桿的變形計算桿的變形111EAlNm1086. 0311BBl BC桿變形桿變形(3) 計算桿的變形計算桿的變形111EAlNm1086. 03m22 DBlBD桿變形桿變形222EA

6、lNm10732. 03(4) 計算計算B點位移點位移u 確定變形后確定變形后B點的位置點的位置B322BBl u B點水平位移點水平位移11lBBm1086. 03(4) 計算計算B點位移點位移u 確定變形后確定變形后B點的位置點的位置B3u B點水平位移點水平位移11lBBm1086. 03u B點垂直位移點垂直位移31BB41BB34BBsin2BBcot42BBsin2lcos(2BB)1BBcotsin2lcos(2l)1lcot, 5/4sin4/3cot, 5/3cos 31BBm1056. 133BBm1078. 132. 9 軸向軸向拉伸或壓縮的變形能拉伸或壓縮的變形能彈性體

7、在外力作用下，因變形而儲存彈性體在外力作用下，因變形而儲存的能量稱為變形能（或應變能）。的能量稱為變形能（或應變能）。1 變形能變形能l 力的功力的功當應力小于當應力小于比例極限時比例極限時u 力的元功力的元功Pll)d(dlPW)(d10lPWlu力的總功力的總功lPW21PdP拉伸曲線Pld(l)l1P1l當應力小于當應力小于比例極限時比例極限時Pll)(d10lPWlu力的總功力的總功lPW21PdP拉伸曲線Pld(l)l1P1ll 變形能變形能WU lP21由能量守恒原理由能量守恒原理單位體積內的變形能。單位體積內的變形能。2 比能比能(應變能密度應變能密度)zyddd拉伸曲線d11單

8、元體上下單元體上下兩面的力為兩面的力為:當應力有一個增量當應力有一個增量d 時時,x方向伸長的方向伸長的增量為增量為:取一單元體：取一單元體： dxdydz x方向的伸長方向的伸長為為:xdxdd則元功為則元功為:zydd力所作的功為力所作的功為:xzyWddddd10 xddd拉伸曲線d11 dxdydz 則力所作的功為則力所作的功為:xzyWddddd10Vdd10Vd)d(10所以所以:WUddVd)d(10比能比能:VUuddd10當應力小于比例極限時當應力小于比例極限時21u比能比能:VUuddd10當應力小于比例極限時當應力小于比例極限時21u由胡克定律由胡克定律E221Eu或或:

9、Eu22l 由比能求應變能由比能求應變能u 應力分布應力分布均勻均勻時時uVU u 應力分布應力分布不不均勻均勻時時VVuUdl 推廣到多桿系統推廣到多桿系統niiiiiAElNU1222222222N AlN lUuVVEEAEAu 應力分布應力分布時時WU lP21由能量守恒原理由能量守恒原理有有21122niiiiiN lP lE A 例例 3 (書例書例2. 9)解：解：已知已知: BD桿外徑桿外徑90mm，壁，壁厚厚2.5mm，桿長，桿長l=3m。E = 210 GPa。BC是兩條鋼索，是兩條鋼索，每根截面積每根截面積172 mm2，E1= 177GPa。P = 30kN , 不考慮

10、不考慮立柱變形。立柱變形。求求: B點垂直位移。點垂直位移。解三角形得解三角形得 BC=l1=2.20m, CD=1.55mBC、BD的截面積分別為的截面積分別為A1344mm2, A=687mm2取取B點，受力如圖：點，受力如圖：取取B點，受力如圖：點，受力如圖：N N1 11.411.41P,N N2 21.931.93PN N1 1PN N2 2外力外力P所作的功等于所作的功等于BC及及BD桿的變形能，所以桿的變形能，所以P PW21111212AElNEAlN222P31093.14m1048. 432. 10 拉伸、壓縮靜不定問題拉伸、壓縮靜不定問題u靜定問題靜定問題 未知力（內力或

11、外力）個未知力（內力或外力）個數等于獨立的平衡方程數數等于獨立的平衡方程數; ;u靜不定問題靜不定問題 未知力個數多于獨立的平未知力個數多于獨立的平衡方程數衡方程數; ;u靜不定次數靜不定次數 未知力個數與獨立平衡方程未知力個數與獨立平衡方程數之差，也稱靜不定度數數之差，也稱靜不定度數; ;u多余約束多余約束 保持結構靜定保持結構靜定多余的約束。多余的約束。l 關于靜不定的基本概念關于靜不定的基本概念u靜力平衡方程靜力平衡方程 力的平衡關系。力的平衡關系。u變形協調方程變形協調方程 變形與約束的協調關系。變形與約束的協調關系。u物理關系物理關系 力與變形的關系。力與變形的關系。l 求解靜不定問

12、題的基本方法求解靜不定問題的基本方法例例 1 (書書p.50)已知已知：1、2桿相同，抗拉桿相同，抗拉剛度為剛度為E1A1 , 3桿的抗拉桿的抗拉剛度為剛度為E3A3 , 長為長為l , 角。角。求求：各桿的內力。：各桿的內力。l靜不定的次數？靜不定的次數？1次次 靜不定。靜不定。P21 13ADCB 解解：例例 1 (書書p.50)已知已知：1、2桿相同，抗拉桿相同，抗拉剛度為剛度為E1A1 , 3桿的抗拉桿的抗拉剛度為剛度為E3A3 , 長為長為l , 角。角。求求：各桿的內力。：各桿的內力。P解解：(1) 靜平衡方程靜平衡方程取取A點，受力如圖。點，受力如圖。0X0sinsin21NN2

13、1NN 0Y0cos213PNN21 13ADCB lyxPN3N1N2靜不定次數？靜不定次數？1次。次。21 13ADCB (1) 靜平衡方程靜平衡方程21NN 0cos213PNNl1l2A(2) 變形協調方程變形協調方程l321ll21 13ADCB l1l2Al3cos3l(3) 物理關系物理關系1lcos111AElN(1) (2) (3) (1) 靜平衡方程靜平衡方程21NN 0cos213PNN(2) 變形協調方程變形協調方程21llcos3l(3) 物理關系物理關系1lcos111AElN3l333AElN物理關系代入變形協調方程物理關系代入變形協調方程cos111AElNco

14、s333AElN與平衡方程聯立，可解出與平衡方程聯立，可解出:(1) (2) (3) (4) (1) 靜平衡方程靜平衡方程21NN 0cos213PNN物理關系代入變形協調方程物理關系代入變形協調方程cos111AElNcos333AElN與平衡方程聯立，可解出與平衡方程聯立，可解出:,cos2cos11333221AEAEPNN333113cos21AEAEPN(1) (2) (4) 例例 2已知已知：等直桿：等直桿, EA,P;a,b。求求：兩端的約束反力。：兩端的約束反力。解解：(1) 靜平衡方程靜平衡方程取桿，受力如圖。取桿，受力如圖。0YPRR21ab(2) 變形協調方程變形協調方程

15、ACl而而AB桿總長度不變，桿總長度不變，AC段受拉，拉伸變形為段受拉，拉伸變形為BCACllBClBC段受壓，壓縮變形為段受壓，壓縮變形為所以所以靜不定次數？靜不定次數？1次。次。(1) 靜平衡方程靜平衡方程PRR21ab(2) 變形協調方程變形協調方程1RNACAC段軸力段軸力BCACllBC段軸力段軸力所以所以(3) 物理關系物理關系2RNBCAClEAaNACBClEAbNBC,1EAaREAbR2由物理關系和由物理關系和 變形協調方程，得變形協調方程，得bRaR21(1) 靜平衡方程靜平衡方程PRR21ab(2) 變形協調方程變形協調方程BCACll(3) 物理關系物理關系AClBC

16、l,1EAaREAbR2由物理關系和變形協調方程，得由物理關系和變形協調方程，得bRaR21與平衡方程聯立，解得：與平衡方程聯立，解得：,1baPaRbaPbR2例例 3 (書例書例 2. 11)已知已知： AB為剛性梁，為剛性梁，1、2兩桿的橫截面面積相等兩桿的橫截面面積相等,材料相同，材料相同，P力已知。力已知。求求：1、2兩桿的內力。兩桿的內力。解解：靜不定次數？靜不定次數？(1) 靜平衡方程靜平衡方程1次。次。取取AB桿，受力如圖。桿，受力如圖。0)(FAMFAyFAxN1N2032cos21aPaNaN03cos221PNNFAyFAxN1N2(2) 變形協調方程變形協調方程12 l

17、(1) 靜平衡方程靜平衡方程l1l2cos2l122cosll03cos221PNN(3) 物理關系物理關系1l,1EAlN2lcos2EAlN2. 11 溫度應力與裝配應力溫度應力與裝配應力 1. 溫度應力溫度應力由于溫度變化引起的應力，稱為由于溫度變化引起的應力，稱為溫度應力溫度應力或或熱應力熱應力。溫度應力僅存在于靜不定結構中。溫度應力僅存在于靜不定結構中。 化工管道化工管道 橋梁橋梁 裸露的輸氣管及水管裸露的輸氣管及水管l 由溫度引起的變形由溫度引起的變形lTlT其中，其中， 為材料的線膨脹系數；為材料的線膨脹系數； T為溫度為溫度變化值；變化值；l為桿的長度。為桿的長度。l 由溫度引

18、起的變形由溫度引起的變形lTlT碳鋼的碳鋼的線膨脹系數線膨脹系數: = 12.5 x 10-6 (1/ C)例例 4已知已知： = 12.5 x10-6 (1/ C) ，E=200GPa。求求：溫度應力。：溫度應力。解解：取桿，受力如圖。取桿，受力如圖。(1) 靜平衡方程靜平衡方程BARR 其中，其中， 為材料的線膨脹系數；為材料的線膨脹系數； T為溫度為溫度變化值；變化值；l為桿的長度。為桿的長度。例例 4已知已知： = 12.5 x10-6 (1/ C) ，E=200GPa。求求：溫度應力。：溫度應力。解解：取桿，受力如圖。取桿，受力如圖。(1) 靜平衡方程靜平衡方程BARR (2) 變形

19、協調方程變形協調方程RTll(3) 物理關系物理關系, lTlTEAlRlBRlT EAlRBTEARB(1) 靜平衡方程靜平衡方程BARR (2) 變形協調方程變形協調方程RTll(3) 物理關系物理關系, lTlTEAlRlBRlT EAlRBTEARBARBTTEMPa5 . 2T當當 T =80 C 時，時，MPa200T而低碳鋼的而低碳鋼的s僅僅235MPa，許用應力，許用應力通常僅通常僅120 MPa 左右。所以溫度應力是非常大的。左右。所以溫度應力是非常大的。伸縮節伸縮節波紋管伸縮節波紋管伸縮節伸縮縫伸縮縫江陰長江大橋的伸縮縫江陰長江大橋的伸縮縫伸縮縫伸縮縫CC時，橋面伸長將達時

20、，橋面伸長將達1.34m例例 5 (書例書例 2. 12)已知已知： ACB為剛性桿，為剛性桿，鋼桿鋼桿AD的的A1=100mm2,l1=330mm，E1= 200 GPa, 1=12.5 10-6/ C;銅桿銅桿BE的的A2=200mm2,l2=220mm，E2=100 GPa，2=16.5 10-6/ C,溫升溫升30 C。求求： 兩桿的軸力。兩桿的軸力。解解：(1) 靜平衡方程靜平衡方程取取AB桿，受力如圖。桿，受力如圖。0)(FCM15024021NN(1) 靜平衡方程靜平衡方程15024021NN(2) 變形協調方程變形協調方程11llAATABTllBB22150240BBAA15

21、02402211TTllll(3) 物理關系物理關系111lTlTm101246(1) 靜平衡方程靜平衡方程15024021NN(2) 變形協調方程變形協調方程1502402211TTllll(3) 物理關系物理關系111lTlTm101246222lTlTm10109611111AElNl 16100165. 0N22222AElNl 2610011. 0N聯立解得聯立解得:kN,68. 61NkN7 .6102N2. 裝配應力裝配應力由于加工時的尺寸誤差，造成裝配后的結構由于加工時的尺寸誤差，造成裝配后的結構存在應力，稱存在應力，稱裝配應力裝配應力。裝配應力僅存在于靜不定結構中。裝配應力僅

22、存在于靜不定結構中。已知已知： 三桿長為三桿長為 l ,截面積、材料均相截面積、材料均相同，中間桿短于名同，中間桿短于名義長度，義長度， 加工誤差加工誤差為為 = l / 2000。求求：裝配裝配應力。應力。例例 6 (書例書例 2. 13)已知已知： 三桿長為三桿長為 l ,截面積、材料均相截面積、材料均相同，中間桿短于名同，中間桿短于名義長度，義長度， 加工誤差加工誤差為為 = l / 2000。求求：裝配裝配應力。應力。解解：分析變形。分析變形。(1) 靜平衡方程靜平衡方程212NN 例例 6 (書例書例 2. 13)取螺栓，受力如圖。取螺栓，受力如圖。(2) 變形協調方程變形協調方程2

23、1ll2000l(1) 靜平衡方程靜平衡方程212NN (2) 變形協調方程變形協調方程21ll2000l(3) 物理關系物理關系,11EAlNl EAlNl22聯立解得聯立解得:,60001EAN 30002EAN MPa,3 .331MPa7 .6622. 12 應力集中的概念應力集中的概念由于截面尺寸的突然變化，使截面上的應由于截面尺寸的突然變化，使截面上的應力分布不再均勻，在某些部位出現遠大于平力分布不再均勻，在某些部位出現遠大于平均值的應力，這種現象稱為均值的應力，這種現象稱為應力集中應力集中。l 應力集中與圣維南原理應力集中與圣維南原理l 理論應力集中系數理論應力集中系數maxk這

24、里，這里，為截面上的平均應力。為截面上的平均應力。 k 的值可以查手冊。的值可以查手冊。當寬度遠大于圓孔直徑時，當寬度遠大于圓孔直徑時，k = 3。應力集中的應用：應力集中的應用： 食品包裝袋上的缺口食品包裝袋上的缺口應力集中的避免或減小應力集中的避免或減小l 應力集中的影響應力集中的影響v 靜載荷時靜載荷時u 塑性材料塑性材料 產生屈服后，應力重新分配。產生屈服后，應力重新分配。應力趨于平均。應力趨于平均。這種情況下，可不考這種情況下，可不考慮應力集中的影響。慮應力集中的影響。v 靜載荷時靜載荷時u 塑性材料塑性材料 產生屈服后，應力重新分配產生屈服后，應力重新分配,應力趨于平均。應力趨于平

25、均。這種情況下，可這種情況下，可不考慮不考慮應力集中的影響。應力集中的影響。u 脆性材料脆性材料 應力集中部位的應力首先達應力集中部位的應力首先達到強度極限而破壞。到強度極限而破壞。應力集中的應力集中的危害嚴重危害嚴重。u 灰口鑄鐵灰口鑄鐵 內部缺陷是產生應內部缺陷是產生應力集中的力集中的主要因素主要因素，外形變化是，外形變化是次要因素次要因素。v 動載荷時動載荷時v 動載荷時動載荷時在交變應力或沖擊載荷作用下，應力集中對在交變應力或沖擊載荷作用下，應力集中對塑性材料和脆性材料的強度都有嚴重影響。塑性材料和脆性材料的強度都有嚴重影響。u 塑性材料塑性材料在交變應力作用下，應力集中部在交變應力作

26、用下，應力集中部位首先產生疲勞裂紋而產生疲勞破壞。位首先產生疲勞裂紋而產生疲勞破壞。2. 13 剪切與擠壓的實用計算剪切與擠壓的實用計算1. 剪切的實用計算剪切的實用計算l 鋼桿的受剪鋼桿的受剪l 鍵的受剪鍵的受剪l 剪切件的特點剪切件的特點u 受力的特點受力的特點桿件某一截面兩側作用有兩桿件某一截面兩側作用有兩個大小相等，方向相反，作個大小相等，方向相反，作用線相距很近的外力。用線相距很近的外力。u 變形的特點變形的特點兩外力作用線間的截面兩外力作用線間的截面發生錯動。發生錯動。u 剪力剪力受剪面受剪面上的剪力上的剪力PQu 剪力剪力簡化假設簡化假設：切應力在切應力在受剪面受剪面上上均勻均勻

27、分布。分布。受剪面受剪面上的剪力上的剪力PQu 切應力計算切應力計算AQ名義切應力名義切應力：受剪面的面積。受剪面的面積。u 強度條件強度條件AQ例例 1 (書例書例2. 14)已知已知： 插銷材插銷材料為料為20鋼，鋼， =30MPa，直徑，直徑d=20mm, t = 8mm, 1.5t =12 mm, P =15kN。求求：校核插銷的剪切強度校核插銷的剪切強度.解解：插銷受力如圖。插銷受力如圖。具有兩個剪切面：具有兩個剪切面：雙剪問題雙剪問題。取兩個剪切面之間的桿為研究對象，受力如圖。取兩個剪切面之間的桿為研究對象，受力如圖。解解：插銷受力如圖。插銷受力如圖。具有兩個剪切面：具有兩個剪切面

28、：0X2/PQ雙剪問題雙剪問題。取兩個剪切面之間的桿為研究取兩個剪切面之間的桿為研究對象，受力如圖。對象，受力如圖。剪切面的面積剪切面的面積42dAAQMPa9 .23MPa30結論：滿足剪切強度要求。結論：滿足剪切強度要求。例例 2 (書例書例2. 15)已知已知：鋼板厚：鋼板厚 t =10mm,其剪切極限應力其剪切極限應力u=300 MPa。求求：要沖出直徑要沖出直徑d =25 mm的孔，需多大沖剪的孔，需多大沖剪力力P？解解：剪切面是哪一個面？剪切面是哪一個面？剪切面的面積剪切面的面積tdA2mm785uAPkN2362. 擠壓的實用計算擠壓的實用計算l 擠壓擠壓l 接觸面上由于擠接觸面

29、上由于擠壓力太大而產生壓力太大而產生塑性變形，形成塑性變形，形成的破壞稱的破壞稱擠壓破擠壓破壞壞 。連接件和被連接件接觸面相互壓緊的現象。連接件和被連接件接觸面相互壓緊的現象。l 應力分布應力分布l 簡化假設簡化假設l 簡化假設簡化假設應力在應力在擠壓面擠壓面上上均勻均勻分布。分布。l 擠壓應力擠壓應力有效擠壓面有效擠壓面面積等于實際擠壓面面積在垂直于面積等于實際擠壓面面積在垂直于總擠壓力作用線的平面上的投影。總擠壓力作用線的平面上的投影。bsbsAP擠壓面上傳遞的力擠壓面上傳遞的力有效擠壓面有效擠壓面的面積。的面積。l 有效擠壓面有效擠壓面面積的計算面積的計算實際擠壓面實際擠壓面有效擠壓面有

30、效擠壓面面積等于實際擠壓面面積在垂直于面積等于實際擠壓面面積在垂直于總擠壓力作用線的平面上的投影。總擠壓力作用線的平面上的投影。l 有效擠壓面有效擠壓面面積的計算面積的計算有效擠壓面有效擠壓面對對圓截面桿圓截面桿：tdAbs對對圓截面桿圓截面桿：tdAbs對對平鍵平鍵：lhAbs21l 擠壓強度條件擠壓強度條件bsbsAPbs許用擠壓應力通常大于許用許用擠壓應力通常大于許用應力，一般地應力，一般地)27 . 1 (bs例例 3 (書例書例2. 16)已知已知：d=70mm, 鍵的尺寸為鍵的尺寸為bhl=20 12 100mm，力偶，力偶m= 2 kNm, 鍵的鍵的 =60 MPa, bs=10

31、0 MPa。 求求：校核鍵的強度。：校核鍵的強度。解解：1) 校核鍵的校核鍵的剪切剪切強度強度u 剪切面上的剪力剪切面上的剪力0)(FOMmdQ2/取鍵的下半部分和軸，受力如圖取鍵的下半部分和軸，受力如圖FoyFoxdmQ2FoyFox1) 校核鍵的校核鍵的剪切剪切強度強度u 剪切面上的剪力剪切面上的剪力0)(FOMmdQ2/取鍵的下半部分和軸，受力如圖取鍵的下半部分和軸，受力如圖dmQ2u 剪切面剪切面的面積的面積blAu 切應力切應力AQbldm2FoyFoxu 切應力切應力AQbldm2MPa6 .28MPa60滿足剪切強度要求。滿足剪切強度要求。2) 校核鍵的擠壓強度校核鍵的擠壓強度u 擠壓力擠壓力取鍵的上半部取鍵的上半部分，受力如圖分，受力如圖QP2) 校核鍵的擠壓強度校核鍵的擠壓強度u 擠壓力擠壓力取鍵的上半部分，受力如圖取鍵的上半部分，受力如圖QPu 有效擠壓面有效擠壓面hlAbs21u 擠壓應力擠壓應力bsbsAPMPa3 .95bs滿足擠壓強度要求。滿足擠壓強度要求。例例 4 (書例書例2. 17)題目同書例題目同書例2. 14已知已知： =30