1、計算n階行列式的若干方法舉例n階行列式的計算方法很多,除非零元素較多時可利用定義計算（按照某一列或某一行展開完全展開式）外,更多的是利用行列式的性質計算，特別要注意觀察所求題目的特點，靈活選用方法，值得注意的是，同一個行列式，有時會有不同的求解方法。下面介紹幾種常用的方法，并舉例說明。1利用行列式定義直接計算例1 計算行列式解 Dn中不為零的項用一般形式表示為.該項列標排列的逆序數t（n1 n21n）等于，故 2利用行列式的性質計算例2 一個n階行列式的元素滿足則稱Dn為反對稱行列式,證明：奇數階反對稱行列式為零. 證明：由知，即故行列式Dn可表示為由行列式的性質 當n為奇數時,得Dn =Dn

2、，因而得Dn = 0。3化為三角形行列式若能把一個行列式經過適當變換化為三角形,其結果為行列式主對角線上元素的乘積。因此化三角形是行列式計算中的一個重要方法。例3 計算n階行列式 解:這個行列式的特點是每行（列）元素的和均相等，根據行列式的性質，把第2，3，n列都加到第1列上，行列式不變，得4降階法降階法是按某一行（或一列）展開行列式,這樣可以降低一階，更一般地是用拉普拉斯定理，這樣可以降低多階,為了使運算更加簡便，往往是先利用列式的性質化簡，使行列式中有較多的零出現,然后再展開.例4 計算n階行列式解 將Dn按第1行展開.5遞推公式法遞推公式法：對n階行列式Dn找出Dn與Dn1或Dn與Dn1

3、， Dn2之間的一種關系稱為遞推公式(其中Dn， Dn1， Dn2等結構相同），再由遞推公式求出Dn的方法稱為遞推公式法.例5 證明 證明:將Dn按第1列展開得 由此得遞推公式：,利用此遞推公式可得6利用范德蒙行列式例6 計算行列式解 把第1行的1倍加到第2行，把新的第2行的1倍加到第3行，以此類推直到把新的第n1行的1倍加到第n行,便得范德蒙行列式例2 計算階行列式其中解 這個行列式的每一行元素的形狀都是，0，1,2，n即按降冪排列，按升冪排列，且次數之和都是n，又因，若在第i行（1,2，n）提出公因子，則D可化為一個轉置的范德蒙行列式，即7加邊法（升階法）加邊法（又稱升階法）是在原行列式中

4、增加一行一列，且保持原行列式不變的方法。例7 計算n階行列式 解： (箭形行列式) 例3 計算n(n2）階行列式，其中解 先將添上一行一列,變成下面的階行列式：顯然,將的第一行乘以后加到其余各行，得因，將上面這個行列式第一列加第i（,，）列的倍,得:故 8數學歸納法例8 計算n階行列式解:用數學歸納法. 當n = 2時 假設n = k時，有 則當n = k+1時,把Dk+1按第一列展開,得由此,對任意的正整數n，有9拆開法把某一行（或列）的元素寫成兩數和的形式，再利用行列式的性質將原行列式寫成兩行列式之和，使問題簡化以利計算。例9 計算行列式 解：例4 計算n(n2）階行列式解 將按第一列拆成

5、兩個行列式的和，即再將上式等號右端的第一個行列式第i列(,3，n）減去第一列的i倍;第二個行列式提出第一列的公因子，則可得到當n3時，當時，上面介紹了計算n階行列式的常見方法，計算行列式時，我們應當針對具體問題，把握行列式的特點，靈活選用方法。學習中多練習，多總結，才能更好地掌握行列式的計算.第1講 計算行列式的若干基本方法計算行列式并無固定的方法其實,同一個行列式可以有多種不同的方法進行計算因此，除了掌握好行列式的基本性質外,針對行列式的結構特點，選取恰當的方法，才能較快地酸楚行列式這一講，我們將介紹一些常用的方法1 化為已經熟悉的行列式來計算我們已經知道上（下）三角行列式、范德蒙行列式以及

6、形如，的行列式的結果如果利用行列式的性質可把給定的行列式化為以上這些形式，則不難求出所給行列式的值為了敘述簡便，仍用記號表示互換行列式的第i行（列）與第j行（列）；用表示將行列式第j行（列)的k倍加到第i行(列）；用表示將第i行（列)乘以非零的數c例1 計算行列式解 這是一個階數不高的數值行列式,通常將它化為上(下）三角行列式來計算例5 計算n階行列式解 這個行列式每一列的元素，除了主對角線上的外，都是相同的，且各列的結構相似，因此n列之和全同將第2，3，,n列都加到第一列上,就可以提出公因子且使第一列的元素全是1例6 計算階行列式其中解 這個行列式的每一行元素的形狀都是，0，1，2,，n即按

7、降冪排列,按升冪排列，且次數之和都是n，又因，若在第i行（1，2，n）提出公因子，則D可化為一個轉置的范德蒙行列式,即2 降階法當一個行列式的某一行（列)的元素有比較多0時，利用行列式的依行(列）展開定理將它化為較低階的行列式來計算例7 計算n（n2）階行列式解 按第一行展開,得再將上式等號右邊的第二個行列式按第一列展開，則可得到3 拆項法拆項法是將給定的行列式的某一行（列)的元素都寫成同樣多的和，然后利用性質6將它表成一些比較容易計算的行列式的和例8 計算n(n2)階行列式解 將按第一列拆成兩個行列式的和，即再將上式等號右端的第一個行列式第i列（,3，n）減去第一列的i倍；第二個行列式提出第

8、一列的公因子，則可得到當n3時，當時，例9 計算n階行列式，（)解 將第一行的元素都表成兩項的和，使變成兩個行列式的和，即將等號右端的第一個行列式按第一行展開，得： 這里是一個與有相同結構的階行列式；將第二個行列式的第一行加到其余各行，得:于是有 （1）另一方面，如果將的第一行元素用另一方式表成兩項之和：仿上可得： （2）將（1）式兩邊乘以，(2)式兩邊乘以，然后相減以消去,得：4 加邊法在給定的行列式中添上一行和一列,得加邊行列式,建立新的行列式與原行列式的聯系，以求得結果例10 計算n(n2）階行列式，其中解 先將添上一行一列，變成下面的階行列式：顯然，將的第一行乘以后加到其余各行，得因，

9、將上面這個行列式第一列加第i(，,）列的倍，得：故5 遞推法遞推法是根據行列式的構造特點，利用行列式的性質，將給定的行列式表成若干個具有相同形狀以及一些容易計算的，但階數較低的行列式之和，然后利用這種關系式計算原行列式的值,最后再用數學歸納法證明所得到的結果正確這是一種頗常使用的方法，在計算范德蒙行列式時已建立過遞推關系式，本講的例6也利用了遞推關系式使用遞推法計算行列式，一般分三個步驟，首先找出遞推關系式，然后算出結果，最后用數學歸納法證明結果正確例11 計算n階行列式解 首先建立遞推關系式按第一列展開，得：這里與有相同的結構，但階數是的行列式現在，利用遞推關系式計算結果對此,只需反復進行代

10、換，得：因，故最后,用數學歸納法證明這樣得到的結果是正確的當時，顯然成立設對階的情形結果正確，往證對n階的情形也正確由可知,對n階的行列式結果也成立根據歸納法原理，對任意的正整數n，結論成立例12 證明n階行列式證明 按第一列展開，得其中,等號右邊的第一個行列式是與有相同結構但階數為的行列式，記作；第二個行列式，若將它按第一列展開就得到一個也與有相同結構但階數為的行列式，記作這樣，就有遞推關系式：因為已將原行列式的結果給出，我們可根據得到的遞推關系式來證明這個結果是正確的當時，,結論正確當時，結論正確設對的情形結論正確,往證時結論也正確由可知,對n階行列式結果也成立 根據歸納法原理,對任意的正

11、整數n，結論成立二、行列式計算方法1。 定義法2。 化為三角形行列式的方法3. 化為范得蒙行列式的方法4。 拆行（列)法5. 降級法6。 加邊法7。 數學歸納法8. 遞推法9。 因式分解法本章主要內容的內在聯系:行列式性質 n級排列 行列式的概念克拉默規則 行列式依行依列展開重點 行列式的計算難點 行列式概念，行列式的展開定理及用定義證明行列式性質3. 化為范得蒙行列式的方法例1 計算行列式 解 作如下行列式,使之配成范德蒙行列式 = 易知等于中 的系數的相反數，而中 的系數為 ，因此， 。4. 拆行(列）法例2 計算行列式.解：.5。 降級法例3 計算行列式。解：易得 .6. 加邊法例4 計

12、算行列式。解：而當時可分只有一個因子為零或至少有兩個因子為零可得同樣的結果.9. 因式分解法如果行列式是某個變數的多項式，可對行列式施行某些變換，求出的互不相同的一次因式，設這些一次因式的乘積為,則，再比較與的某一項的系數，求出值。三、行列式的計算方法方法1化三角形法化三角形法是將原行列式化為上（下）三角形行列式或對角形行列式計算的一種方法.這是計算行列式的基本方法重要方法之一。因為利用行列式的定義容易求得上（下）三角形行列式或對角形行列式的性質將行列式化為三角形行列式計算。原則上，每個行列式都可利用行列式的性質化為三角形行列式。但對于階數高的行列式，在一般情況下,計算往往較繁。因此，在許多情

13、況下，總是先利用行列式的性質將其作為某種保值變形,再將其化為三角形行列式。例3：浙江大學2004年攻讀碩士研究生入學考試試題第一大題第2小題（重慶大學2004年攻讀碩士研究生入學考試試題第三大題第1小題）的解答中需要計算如下行列式的值：分析顯然若直接化為三角形行列式，計算很繁,所以我們要充分利用行列式的性質。注意到從第1列開始；每一列與它一列中有n1個數是差1的,根據行列式的性質，先從第n-1列開始乘以1加到第n列，第n-2列乘以1加到第n1列,一直到第一列乘以1加到第2列.然后把第1行乘以1加到各行去,再將其化為三角形行列式,計算就簡單多了。解：方法2 按行(列）展開法（降階法）設為階行列式

14、，根據行列式的按行（列）展開定理有或其中為中的元素的代數余子式按行(列）展開法可以將一個n階行列式化為n個n-1階行列式計算。若繼續使用按行（列）展開法，可以將n階行列式降階直至化為許多個2階行列式計算,這是計算行列式的又一基本方法。但一般情況下，按行（列)展開并不能減少計算量，僅當行列式中某一行（列)含有較多零元素時,它才能發揮真正的作用.因此，應用按行（列)展開法時，應利用行列式的性質將某一行（列）化為有較多的零元素,再按該行（列）展開。例4、計算20階行列式分析這個行列式中沒有一個零元素，若直接應用按行（列）展開法逐次降階直至化許許多多個2階行列式計算,需進行20！*201次加減法和乘法

15、運算,這人根本是無法完成的，更何況是n階。但若利用行列式的性質將其化為有很多零元素，則很快就可算出結果。注意到此行列式的相鄰兩列(行）的對應元素僅差1，因此，可按下述方法計算：解:方法3遞推法應用行列式的性質，把一個n階行列式表示為具有相同結構的較低階行列式（比如，n1階或n-1階與n2階等）的線性關系式，這種關系式稱為遞推關系式.根據遞推關系式及某個低階初始行列式（比如二階或一階行列式）的值，便可遞推求得所給n階行列式的值，這種計算行列式的方法稱為遞推法.注意用此方法一定要看行列式是否具有較低階的相同結構如果沒有的話,即很難找出遞推關系式,從而不能使用此方法.例5、2003年福州大學研究生入

16、學考試試題第二大題第10小題要證如下行列式等式：（雖然這是一道證明題，但我們可以直接求出其值，從而證之。)分析此行列式的特點是:除主對角線及其上下兩條對角線的元素外，其余的元素都為零，這種行列式稱“三對角"行列式1。從行列式的左上方往右下方看，即知Dn1與Dn具有相同的結構。因此可考慮利用遞推關系式計算。證明：Dn按第1列展開,再將展開后的第二項中n-1階行列式按第一行展開有：這是由Dn-1 和Dn-2表示Dn的遞推關系式。若由上面的遞推關系式從n階逐階往低階遞推，計算較繁,注意到上面的遞推關系式是由n-1階和n-2階行列式表示n階行列式，因此，可考慮將其變形為:或現可反復用低階代替

17、高階，有：同樣有：因此當時由（1）（2）式可解得：，證畢。方法4 數學歸納法一般是利用不完全歸納法尋找出行列式的猜想值,再用數學歸納法給出猜想的證明。因此，數學歸納法一般是用來證明行列式等式。因為給定一個行列式，要猜想其值是比較難的，所以是先給定其值，然后再去證明。（數學歸納法的步驟大家都比較熟悉，這里就不再說了）例6、證明：方法 5 。利用范德蒙行列式范德蒙行列式：例7、 計算n階行列式解:顯然該題與范德蒙行列式很相似，但還是有所不同，所以先利用行列式的性質把它化為范德蒙行列式的類型。先將的第n行依次與第n-1行，n2行，2行，1行對換，再將得到到的新的行列式的第n行與第n1行,n-2行，,

18、2行對換,繼續仿此作法,直到最后將第n行與第n1行對換，這樣，共經過（n1）+（n-2)+2+1=n（n-1）/2次行對換后，得到上式右端的行列式已是范德蒙行列式，故利用范德蒙行列式的結果得： 5.消去法求三對角線型行列式的值例6 求n階三對角線型行列式的值:      （1）的構造是：主對角線元全為2，主對角線上方第一條次對角線與下方第一條次對角線的元全為1，其余的元全為0.解 用消去法,把中主對角線下方第一條次對角線的元1全部消成0:首先從第二行減去第一行的倍，于是第二行變為其次從第三行減去第二行(指新的第二行，以下同)的倍,則第三行變為再從第四行減去第三行的倍，則第四行變為類似地做下去，直到第n行減去第n 1行的倍，則第n行變為最后所得的行列式為        (2）上面的行列式是三角型行列式,它的主對角線元順次為    &