1、第三章有旋（渦）流與無旋流（有勢流）3.1有旋流動渦量jkijkixuu或2 機翼尾渦、龍卷風等直觀上的旋渦現(xiàn)象是大尺度流體團的強烈有旋流動。在有旋流動中，只有當流體團積聚較強渦量并繞某一公共軸線旋轉(zhuǎn)時，才形成旋渦。 有旋流動中，強烈旋渦運動主宰流動。從渦動力學出發(fā)研究旋渦運動，比用N-S方程來研究更加方便。0 xyzdxdydzdl 或渦面與渦管渦線1 渦量場渦通量AAdJll duJ速度環(huán)量Stokes定理沿渦管每一橫截面的包圍曲線的速度環(huán)量相等1 22 渦旋的運動學特性0)(u0jkiijkiixuxx渦旋場內(nèi)無源無匯對一個確定的渦管，它的任意截面上的渦通量是一個常數(shù)。該常數(shù)稱為渦管強度

2、J1 J2渦線和渦管都不能在流體內(nèi)部中斷所以有0iixjkiijkjkijkiiixuxxuxx由ikjijkjkijikxuxxuxiijkiijkxxux3 渦量連續(xù)性方程22jijijjijixxuxut對理想流體得到亥爾姆霍茲方程iiijjjjuutxx 4 不可壓粘性流體質(zhì)量力有勢時渦量輸運方程 習題 已知速度場求（1）渦量及渦線方程 （2）在平面上通過單位面積的渦通量。yxwxzvzyu2221zyx3.2 無旋流動的勢函數(shù) 1 無旋流動的勢函數(shù)在無旋流動中： 1()021()021()02yyzzxxxzzyyyxxzuuuuyzyzuuuuzxzxuuuuxyxy存在函數(shù) ：

3、( , , )x y z( , , )xyzdx y zuuu dzdx+dy+ 函數(shù) 稱為速度勢函數(shù)。存在著速度勢函數(shù)的流動，稱為有勢流動，簡稱勢流。無旋流動必然是有勢流動！xyzuxuyuz cos,cos,cos,cos,cos,cos,mxyzumm xm ym zxyzum xum yum z 速度在某一方向的分量等于勢函數(shù)在該方向上的偏導(dǎo)數(shù)。 2 勢函數(shù)的性質(zhì) 勢函數(shù)是調(diào)和函數(shù)不可壓縮流體的連續(xù)性方程為：yxzuuuxyz0即xxyyzzxyz 2222222000拉普拉斯方程3 基本解疊加法勢流疊加原理20線性方程疊加原理21122()0CC210220基本流動2基本流動1新的復(fù)

4、雜流動cwczbyaxbvau24rQvr2224),(4)(zyxQzyxrQr（1）基本解均勻直線流點源匯 流場中某一點處有流體注入流場，體積流量Q，稱點源強度。設(shè)坐標原點在點源處，徑向流速23222)(4zyxxM偶極子：等強度的源匯無限靠近 若存在 （M為偶極強度），這樣的源匯點叫偶極點。 0lim 2aQaQM 200,zyUxr（2）圓球繞流設(shè)坐標原點在球心，求速度勢邊條件：物面不可穿透無窮遠來流0)(Rrn23222)(4zyxxMxU32RUM用基本解疊加求速度勢時，據(jù)流動特征選擇適當?shù)幕窘饩鶆騺砹?偶極子無窮遠來流條件滿足，再由物面條件求得偶極子強度)21 (cos)(23

5、3232223rRrUzyxxRUxU)21 (sin)1 (cos3333rRUrvrRUrvrsin230Uvvr)sin491 (2122.2222UppUpVpBerRr速度場球面速度前后駐點球面壓強22sin49121Uppcp球面壓力系數(shù)01.0090180-1.25理想無旋繞流，球面壓強分布關(guān)于X軸和Y軸都是對稱的，合力為零。與實際繞流相比，迎風面符合較好。大約從頂部開始，實際壓強分布偏離理想情況。尤其在圓球后部，實際壓強遠低于理論壓強。其原因在于流體粘性導(dǎo)致的尾部分離，產(chǎn)生壓差阻力（形狀阻力）。在流動不發(fā)生分離或在分離點之前，理想無旋繞流是實際流動的良好近似。3.3不可壓流體的

6、平面勢流1 流函數(shù) 在不可壓縮流體平面流動中，連續(xù)性方程簡化為： yyxxdududududxdydxdy 0存在流函數(shù) ： xyddxdyu dyu dxxy0 一切不可壓縮流體的平面流動，無論是有旋流動或是無旋流動都存在流函數(shù)。 流函數(shù)的性質(zhì)： （1）等流函數(shù)線即是流線。xyxydxdyCdu dyu dxuu00流線（2）兩流線間的流函數(shù)差值，等于兩流線間的單寬流量。cos( , )cos( , )nxyxydQu dsux n dsuy n dsu dyu dxxyABABQu dyu dxdABBAQ（3）平面勢流的流函數(shù)是調(diào)和函數(shù) 。22222000 or0yxzuuxyxxyyx

7、y 2 無旋流動 （1）勢函數(shù)為調(diào)和函數(shù)。 （2）平面運動沿任意曲線AB的環(huán)量等于兩端點A及B的 速度勢之差。cos,xyABBAABduu s dsu dxu dydd 3 流函數(shù)與勢函數(shù)的關(guān)系（1）平面無旋運動的勢函數(shù)和流函數(shù)共軛。xyuxyuyx （2）流函數(shù)的等值線與速度勢函數(shù)的等值線正交 。 yyxxyyxx 0柯西-黎曼條件4 平面無旋運動的流網(wǎng) 流網(wǎng)是不可壓縮流體平面無旋流動中，流線簇與等勢線簇構(gòu)成的正交網(wǎng)格。其存在條件是不可壓縮平面勢流。 網(wǎng)中每一網(wǎng)格的邊長之比等于速度勢與流函數(shù)的增值之 比；如取 則網(wǎng)格成正方形。 dd流網(wǎng)的性質(zhì)： 組成流網(wǎng)的流線與等勢線互相垂直，即等流函數(shù)線

8、與 等勢線互相垂直。uu 流網(wǎng)內(nèi)任一點A， 的增值方向與 方向一致； 的增值 方向為 方向向正 y 軸旋轉(zhuǎn)90后所得的方向。cos,cos,sin,sin,xydu dxu dyuu xdnu xuu xdnu xudncos,cos,sin,sin,xydu dyu dxuu xdmu xuu xdmu xudm 3.4平面勢流的復(fù)勢問題ireiyxzyxiyxzw),(),()(1 復(fù)勢 為復(fù)自變量復(fù)勢是解析函數(shù)復(fù)勢是解析函數(shù)勢函數(shù)、流函數(shù)均為調(diào)和函數(shù)，且滿足柯西-黎曼條件，故為一對共軛調(diào)和函數(shù)。其組成的復(fù)變函數(shù)是解析函數(shù)。復(fù)勢的意義在于把兩個二元實函數(shù)變換成復(fù)變量的一元復(fù)函數(shù)。Laure

9、ntzazfnnnn)(101)(2)()(00nnzifzzdzzfLn2 解析復(fù)函數(shù)的性質(zhì) （1）解析函數(shù)的方向?qū)?shù)和求導(dǎo)方向無關(guān)。（2）解析函數(shù)的和是解析函數(shù)。（3）解析函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是解析函數(shù)，即可以無限求導(dǎo)。（4）解析函數(shù)的積分是解析函數(shù)。（5）在不包含原點的有限域中，解析函數(shù)的一般展開式為羅朗級數(shù)（6）留數(shù)公式：L為包含z0的封閉周線.VivuxixxwdzdwivuV.)(ImconstzwLLLdwiddd)(3 復(fù)速度 復(fù)勢的導(dǎo)數(shù)等于復(fù)速度的共軛4 繞流問題的復(fù)勢提法 任一解析函數(shù)，其實、虛部均滿足LAPLACE方程，必對應(yīng)一個平面勢流。具體繞流問題，考慮邊界條件即可確定唯一復(fù)勢

10、：物面不可穿透：無窮遠處：給定環(huán)量iVUdzdwiVUVz3.5平面勢流的基本解1 均勻直線運動流場內(nèi)速度的大小和方向均為常值的流動。實例：均勻直線流繞過順流放置的無限薄平板。,xyuaubdadxbdyaxbydadybdxaybx特例：xu 0,bybx 若 ，則 若 ，則yu 0,axay極坐標表示？ zibaiyxibiyxabxayibyaxzw)()()()()(復(fù)勢2 點源及點匯 （1）點源 設(shè)某平面有一產(chǎn)生流體的源泉O，流體自源泉O點流出后沿一平面均勻的向四方作擴散流動，這種擴散運動叫著點源運動。單位時間流出的流體體積Q稱為源強。實例：泉眼向各方的流動； 離心式水泵葉輪內(nèi)的流體

11、運動。,rQuur 02cossinxryrQ xQxuur rxyQyQyuur rxy22222222lnxyd xyQ xdxydyQdu dxu dyxyxyQxy22222222242zQreQirQzwiln2)ln(2)(ln2)(xyydQ xdyydxQxdu dyu dxxyyxQyarctgx2222212極坐標表示為:lnQrQ22復(fù)勢復(fù)勢（2）點匯 當產(chǎn)生流體的源泉O改為吸收流體的匯聚點O，四周流體均勻的向匯聚點集中，這種運動叫著點匯運動。點匯運動與點源運動僅符號相反。實例：地下水向井中的流動。 lnQxy 222Qyarctgx 2lnQrQ 22極坐標表示為：3

12、點渦 流場中各流體質(zhì)點均繞某點O以輻向流速 （c為常數(shù)）作圓周運動，因而流線為同心圓簇，而等勢線則為自圓心O發(fā)出的射線簇，這種流動稱為點渦(環(huán)流)。cur實例：自然界中龍卷風； 離心式水泵; 離心式除塵器等。,ruur02u rdruc 202zizwln2)(arctanlnxyyyuxyxxuxyxy 2222222222lnr 22極坐標表示為： 復(fù)勢nAzw )sin(cos)(ninArreAwnninArnArnnsincos4 角域流動復(fù)勢為冪函數(shù)A為實數(shù)，n是正實數(shù)極坐標系中2 , 0)2sin2cos(rirAzAw2（1）n=1，w=Az，均勻流（2）n=1/2,當時，為兩

13、條零流線即該流動為繞角流動。0(3) 1/2n1n, 0時，為兩條零流線0即該流動是繞內(nèi)角流動。例n=2時，為直角繞流3.6平面勢流疊加舉例1 源環(huán)流動點源流動與點渦流動疊加。 實例：容器底部小孔旋轉(zhuǎn)出流，旋風除塵器、 旋風燃燒室、離心式水泵葉輪內(nèi)流體。lnlnQrQr12122222zizQzwln2ln2)(復(fù)勢流線是一簇對數(shù)螺形線；等勢線是與流線正交的螺形線。lnQrC流線方程為：lnQrC等勢線方程為：2 偶極流 偶極流是把源點及匯點間距無窮小的等強度點源和點匯疊加起來形成的流動。 lnlnlnrQQrrr11212222 設(shè)點源（Q）與點匯（Q）間的距離為2a，則任意點M的速度勢為：

14、 aaQ-Q,M x y1r12r2xyrxayrxay221222lnlnxayQxayQxaxayQxaxay22222222441444Q12122tan,tanyyxaxa12arctanQyaQyaxyaxya 2222222222 若存在 （M為偶極強度），這樣的源匯點叫偶極點。 0lim 2aQaQMsinM cosMxrxyMMyrxy 22222222yCxy22流線方程為： 偶極流的流線是一族圓心在 y 軸上的圓族，并在坐標原點與 x 軸相切；等勢線是一族圓心在 x 軸上的圓周族，并在坐標原點與 y 軸相切。zMzw2)(復(fù)勢3 均勻直線流中的偶極流無環(huán)量圓柱繞流 ,0 x

15、yuuu 偶極點在坐標原點的偶極流與沿 x 軸的均勻直線流（ ）疊加而成。實例：河水流過橋墩，風吹過煙囪。coscossinsinMxMu xu rrrMyMu yu rrr22222zUrzUzw20)(復(fù)勢sinsinMu rCr2流線方程為：sinMu rr02其中，零流線方程為： Mrru12002或或 =解零流線方程得：r0零流線是由 x 軸和圓心在坐標原點，半徑為 的圓組成。)1 (sin)1 (cos220220rrUrvrrUrvrsin20Uvvr)sin41 (2122.22220UppUpVpBerrr速度場物面速度前后駐點物面壓強22sin4121Uppcp物面壓力系數(shù)

16、01.0090180-3.0理想無旋繞流，物面壓強分布關(guān)于X軸和Y軸都是對稱的，合力為零。與實際繞流相比，迎風面符合較好。大約從頂部開始，實際壓強分布偏離理想情況。尤其在圓柱后部，實際壓強遠低于理論壓強。其原因在于流體粘性導(dǎo)致的尾部分離，產(chǎn)生壓差阻力（形狀阻力）。在流動不發(fā)生分離或在分離點之前，理想無旋繞流是實際流動的良好近似。4 均勻直線流+偶極流+點渦有環(huán)量圓柱繞流 r =r0是一條流線，圓。ryrrUln2)1 (220cos)1 (220rrUur由伯努利方程可以確定圓面壓力分布，積分只有升力，而沒有阻力rrrUu2sin)1 (220UY)ln()2() 1 (2221yxxyarc

17、tgzUrzUzw20)(2sin41pc,4 cmh 習題1 已知不可壓平面勢流的流函數(shù)求復(fù)勢。習題2 無環(huán)量圓柱繞流的復(fù)勢證明物面壓強分布若圖示水壓差計讀數(shù)求空氣來流速度)/204. 1?(3mkgUah3.7求解平面無旋繞流問題的保角變換法iyxz)(zi基本思想：利用復(fù)變函數(shù)的解析變換尋求滿足邊界條件的復(fù)勢基本思想：利用復(fù)變函數(shù)的解析變換尋求滿足邊界條件的復(fù)勢。1 解析變換是保角變換 任意兩條曲線的夾角在解析變換下保持不變。xyk1k2k1k2解析復(fù)變函數(shù)2 基本方法 利用圓柱繞流的復(fù)勢為基本流動，通過解析變換，構(gòu)造各種平面無旋繞流的復(fù)勢。),(tzz ),(z,)(itaetza給定

18、物面線方程尋求解析變換滿足無窮遠點對應(yīng)、無窮遠處導(dǎo)數(shù)為常數(shù)的條件，使得即將給定的物面線型變換成半徑為將給定的物面線型變換成半徑為的圓的圓。然后將代入圓柱繞流基本解，即可得到繞給定物形流動之復(fù)勢。)(z3 常用解析變換 （1）線性變換imeczzcbaz),(0Ua平面0zmamUz平面線性變換將平面上圓柱繞流變換成z平面上一個新的圓柱繞流，圓心在0z，半徑ma，來流速度mU，來流方向與x軸夾角。nAAzn,zUzw （2）冪函數(shù)為實數(shù)。平面上的均勻流平面上的繞角流nAUw)(（3）儒可夫斯基變換)(212az22azz逆變換aaa平面z平面該變換的幾何性質(zhì)：.0是奇點，對應(yīng)z平面上的無窮遠點。.z,無窮遠點對應(yīng)。21ddz無窮遠處線段長度縮小1/2，但方向不變。iae圓，變換到z平面上,cosaz 往返線段。)(accei圓，變換到z平面上sin)(21cos)(2122cacicacz即1sinsin)(21coscos)(212122121212byaxbcacyacacxabaf21211a,1bcba11.即為一橢圓，焦距長軸短軸射線,ire變換到z平面sin)(21cos)(21