1、第二節(jié)第二節(jié) 解析函數(shù)的有限孤立奇點(diǎn)2. 孤立奇點(diǎn)的性質(zhì)3. Picard定理4 . Schwarz引理1. 孤立奇點(diǎn)的分類1. 1. 孤立奇點(diǎn)的分類孤立奇點(diǎn)的分類.)()()()(01nnnnnnnnnazcazcazczf0nnnazc)( 如如a為為f(z)的孤立奇點(diǎn)的孤立奇點(diǎn),則則f(z)在在a的某去心鄰域的某去心鄰域K-a內(nèi)可以展成羅朗級數(shù)內(nèi)可以展成羅朗級數(shù)則稱則稱為為f(z)在點(diǎn)在點(diǎn)a的的正則部分正則部分,而稱而稱1nnnazc)(為為f(z)在點(diǎn)在點(diǎn)a的的主要部分主要部分。定義定義5.35.3 設(shè)設(shè)a為為f( (z) )的孤立奇點(diǎn)的孤立奇點(diǎn). (1). (1)如果如果f(z)在點(diǎn)

2、在點(diǎn)a的主要部分為零的主要部分為零, ,則稱則稱a為為f(z)的的可去奇點(diǎn)可去奇點(diǎn);(2);(2)如如果果f(z)在點(diǎn)在點(diǎn)a的主要部分為有限多項(xiàng)的主要部分為有限多項(xiàng), ,設(shè)為設(shè)為則稱則稱a為為f(z)的的m階極點(diǎn)階極點(diǎn)，一階極點(diǎn)也稱為，一階極點(diǎn)也稱為簡單極點(diǎn)簡單極點(diǎn)； (3)如果如果f(z)在點(diǎn)在點(diǎn)a的主要部分有無限多項(xiàng)的主要部分有無限多項(xiàng),則稱則稱a為為f(z)的的本性奇點(diǎn)本性奇點(diǎn).),0()()(11)1( mmmmmcazcazcazc定理定理5.35.3 若若a為為f(z)的孤立奇點(diǎn)，則下列三條是等價的孤立奇點(diǎn)，則下列三條是等價的的。因此，它們中的任何一條都是可去奇點(diǎn)的特征。因此，它們

3、中的任何一條都是可去奇點(diǎn)的特征。)()(limbzfaz (2)(1) f(z)在點(diǎn)在點(diǎn)a的主要部分為零的主要部分為零; (3) f(z)在點(diǎn)在點(diǎn)a的某去心鄰域內(nèi)有界的某去心鄰域內(nèi)有界。2.2.可去奇點(diǎn)的性質(zhì) Razazcazcczf02210 0limczfaz證 (1) (2). 由(1)有因此因此(2) (3). 因,|)(|,|0:, 0, 0bzfazz有則 bzfazlim的去心鄰域內(nèi)有界。在即有于是azfbzf)(,| )(|,(3) (1). 因主要部分的系數(shù)其中 ,可任意小，故 daficnn121a: nnnnMMdafc2212111, 210，ncnSchwarz引理引

4、理 如果函數(shù)如果函數(shù)f(z)在單位圓在單位圓|z|1內(nèi)解析內(nèi)解析,并且滿足條件并且滿足條件 f(0)=0,|f(z)|1(|z|1)，則在單位圓，則在單位圓|z|1內(nèi)恒有內(nèi)恒有|f(z)|z|,且有且有 .3. 施瓦茨施瓦茨(Schwarz)(Schwarz)引理引理如果上式等號成立如果上式等號成立,或在圓或在圓|z|1內(nèi)一點(diǎn)內(nèi)一點(diǎn)z00處前一式等號成立處前一式等號成立,則則(當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng))其中其中為一實(shí)常數(shù)為一實(shí)常數(shù).),|(|)(1zzezfi1| )0(| f4. 極點(diǎn)的性質(zhì));()(01 mmmcazcazcmazzzf)()()(定理定理5.4 如果如果f(z)以以a為孤立奇點(diǎn)，

5、則下列三條是等價為孤立奇點(diǎn)，則下列三條是等價的。因此，它們中的任何一條都是的。因此，它們中的任何一條都是m階極點(diǎn)的特征。階極點(diǎn)的特征。(1) f(z)在在a點(diǎn)的主要部分為點(diǎn)的主要部分為(2)f(z)在點(diǎn)在點(diǎn)a的某去心鄰域內(nèi)能表示成的某去心鄰域內(nèi)能表示成其中其中(z) 在點(diǎn)在點(diǎn)a的鄰域內(nèi)解析的鄰域內(nèi)解析, ,且且(a)01 (3) ( )( )g zf z以點(diǎn)以點(diǎn)a為為m階零點(diǎn)。階零點(diǎn)。注意注意 第第(3)條表明：條表明：f(z)以點(diǎn)以點(diǎn)a為為m階極點(diǎn)的充要條件是階極點(diǎn)的充要條件是以點(diǎn)以點(diǎn)a為為m階零點(diǎn)。階零點(diǎn)。)(1zf定理定理5.5 f(z)的孤立奇點(diǎn)的孤立奇點(diǎn)a為極點(diǎn)為極點(diǎn))(limzfa

6、z.)(lim )()(lim不不存存在在，即即有有限限數(shù)數(shù)廣義zfbzfazaz定理定理5.65.6 f( (z) )的孤立奇點(diǎn)的孤立奇點(diǎn)a為本性奇點(diǎn)為本性奇點(diǎn)5. 5. 本性奇點(diǎn)的性質(zhì)本性奇點(diǎn)的性質(zhì)定理定理5.75.7 若若z= =a為為f( (z) )的本性奇點(diǎn)的本性奇點(diǎn), ,且在點(diǎn)且在點(diǎn)a的的充分小去心鄰域內(nèi)不為零充分小去心鄰域內(nèi)不為零, ,則則z=a亦必為亦必為)(zf1的本性奇點(diǎn)的本性奇點(diǎn). .奇點(diǎn)奇點(diǎn)孤立奇點(diǎn)孤立奇點(diǎn)非孤立奇點(diǎn)非孤立奇點(diǎn)支點(diǎn)支點(diǎn)可去奇點(diǎn)可去奇點(diǎn)極點(diǎn)極點(diǎn)本性奇點(diǎn)本性奇點(diǎn)（單值函數(shù)的）（單值函數(shù)的）（多值函數(shù)的）（多值函數(shù)的）.)(limAzfnazn定理定理5.85.8 如果如果a為為f(z)的本性奇點(diǎn)的本性奇點(diǎn), ,則對于則對于任何常數(shù)任何常數(shù)A,不管它是有限數(shù)還是無窮不管它是有限數(shù)還是無窮, ,都有都有一個收斂與一個收斂與a的點(diǎn)列的點(diǎn)列zn,使得使得6. 6. Picard( (皮卡皮卡) )定理定理定理定理5.9(5.9(皮皮卡卡( (大大) )定理定理) )如