1、平面向量一、向量的概念及線性運(yùn)算向量的有關(guān)概念名稱定義備注向量具有大小和方向的量；向量的大小叫做向量的長度(或模)如a，零向量長度等于零的向量；其方向不確定記作0單位向量給定一個非零向量a，與a同向且模為1的向量，叫做向量a的單位向量，可記作a0.a0共線(平行)向量如果向量的基線互相平行或重合，則稱這些向量共線或平行向量a與b平行記作ab相等向量同向且等長的有向線段表示同一向量，或相等的向量如a相反向量與向量a反向且等長的向量，叫做a的相反向量記作a向量的線性運(yùn)算向量運(yùn)算定義法則(或幾何意義)運(yùn)算律加法求兩個向量和的運(yùn)算(1)交換律：abba；(2)結(jié)合律：(ab)ca(bc)減法求a與b的

2、相反向量b的和的運(yùn)算叫做a與b的差三角形法則aba(b)數(shù)乘求實(shí)數(shù)與向量a的積的運(yùn)算(1)|a|a|；(2)當(dāng)>0時(shí)，a的方向與a的方向相同；當(dāng)<0時(shí)，a的方向與a的方向相反；當(dāng)0時(shí)，a0(a)()a；()aaa；(ab)ab1、已知點(diǎn)A(6,2)，B(1,14)，則與共線的單位向量為 ；同向的單位向量為 。解：因?yàn)辄c(diǎn)A(6,2)，B(1,14)，所以(5,12)，|13，與共線的單位向量為±±(5,12)±(，)同向的為(，)2、（假期作業(yè)P11T2，7,10,11）3、（1）若點(diǎn)M是ABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，且滿足53，則ABM與ABC的面積比為（

3、）A. B. C. D.解析設(shè)AB的中點(diǎn)為D，由53，得3322，即32.如圖所示，故C，M，D三點(diǎn)共線，且，也就是ABM與ABC對于邊AB的兩高之比為35，則ABM與ABC的面積比為，選C.（2）設(shè)O在ABC的內(nèi)部，且有230，則ABC的面積和AOC的面積之比為()A3 B. C2 D.解析：選A設(shè)AC，BC的中點(diǎn)分別為M，N，則已知條件可化為()2()0，即20，所以2，說明M，O，N共線，即O為中位線MN上的靠近N的三等分點(diǎn)，SAOCSANC·SABCSABC，所以3.（3）設(shè)O在ABC的內(nèi)部，D為AB的中點(diǎn)，且20，則ABC的面積與AOC的面積的比值為()A3 B4 C5 D

4、6解析D為AB的中點(diǎn)，則()，又20，O為CD的中點(diǎn)，又D為AB中點(diǎn)，SAOCSADCSABC，則4.4、（1）在ABC中，E，F(xiàn)分別為AC，AB的中點(diǎn)，BE與CF相交于G點(diǎn)，設(shè)a，b，試用a，b表示.解()()(1)(1)ab.又m ()(1m)a(1m)b，解得m，ab.（2）如圖所示，在ABO中，AD與BC相交于點(diǎn)M，設(shè)a，b.試用a和b表示向量.解設(shè)manb，則manba(m1)anb.ab.3分又A、M、D三點(diǎn)共線，與共線存在實(shí)數(shù)t，使得t，即(m1)anbt.5分(m1)anbtatb.，消去t得，m12n，即m2n1. 7分又manbaanb，baab.又C、M、B三點(diǎn)共線，與共

5、線 10分存在實(shí)數(shù)t1，使得t1，anbt1，消去t1得，4mn1.由得m，n，ab.12分5、（1）在ABC中，N是AC邊上一點(diǎn)，且，P是BN上的一點(diǎn)，若m，則實(shí)數(shù)m的值為()A. B. C1 D3解析：選B如圖，因?yàn)椋?，mm，因?yàn)锽、P、N三點(diǎn)共線，所以m1，所以m.（2）如圖所示，在ABC中，點(diǎn)O是BC的中點(diǎn)過點(diǎn)O的直線分別交直線AB、AC于不同的兩點(diǎn)M、N，若m，n，則mn的值為_解析O是BC的中點(diǎn)，()又m，n，.M，O，N三點(diǎn)共線，1.則mn2.（3）已知平面內(nèi)一點(diǎn)P及ABC，若，則點(diǎn)P與ABC的位置關(guān)系是()A點(diǎn)P在線段AB上 B點(diǎn)P在線段BC上 C點(diǎn)P在線段AC上 D點(diǎn)P在

6、ABC外部解析：選C由得，即2，所以點(diǎn)P在線段AC上，選C.二、共線（平行）定理若，則A、B、C三點(diǎn)共線設(shè)a(x1，y1)，b(x2，y2)，abab(b0)；abx1y2x2y106、已知a(1,0)，b(2,1)求：(1)|a3b|；(2)當(dāng)k為何實(shí)數(shù)時(shí)，kab與a3b平行，平行時(shí)它們是同向還是反向？解：(1)因?yàn)閍(1,0)，b(2,1)，所以a3b(7,3)，來源:Z.xx.k.Com故|a3b|.(2)kab(k2，1)，a3b(7,3)，因?yàn)閗ab與a3b平行，所以3(k2)70，即k.此時(shí)kab(k2，1)，a3b(7,3)，則a3b3(kab)，即此時(shí)向量a3b與kab方向相反

7、7、設(shè)兩個非零向量e1和e2不共線(1)如果e1e2，3e12e2， 8e12e2，求證：A、C、D三點(diǎn)共線；(2)如果e1e2，2e13e2，2e1ke2，且A、C、D三點(diǎn)共線，求k的值解：(1)證明：e1e2，3e12e2，8e12e2，4e1e2(8e12e2)，與共線又與有公共點(diǎn)C，A、C、D三點(diǎn)共線(2)(e1e2)(2e13e2)3e12e2，A、C、D三點(diǎn)共線，與共線，從而存在實(shí)數(shù)使得，即3e12e2(2e1ke2)，得解得，k.三、數(shù)量積1 兩個向量的夾角(1)定義：已知兩個非零向量a和b，作a，b，則AOB稱作向量a和向量b的夾角，記作a，b(2)范圍：向量夾角a，b的范圍是

8、0，且a，bb，a(3)向量垂直：如果a，b，則a與b垂直，記作ab.2 向量在軸上的正射影向量a在向量b上的正射影(簡稱射影) 3 向量的數(shù)量積(1)平面向量的數(shù)量積的定義：|a|b|cosa，b叫做向量a和b的數(shù)量積(或內(nèi)積)，記作a·b，即a·b|a|b|cosa，b(2)向量數(shù)量積的性質(zhì)：如果e是單位向量，則a·ee·a|a|cosa，e；aba·b0；a·a|a|2，|a|；cosa，b (|a|b|0)；|a·b|a|b|.(3)數(shù)量積的運(yùn)算律：交換律：a·bb·a.分配律：(ab)·

9、;ca·cb·c.對R，(a·b)(a)·ba·(b)(4)數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算設(shè)a(a1，a2)，b(b1，b2)，則a·ba1b1a2b2； aba1b1a2b20；|a|； cos a，b.8、（投影）（假期作業(yè)P11T9）(2013·江西高考)設(shè)，為單位向量。且，的夾角為，若，則向量在方向上的射影為 .解析：向量在方向上的射影為. 答案：9、（純向量）（假期作業(yè)P11T4，5，6,8，12，13,14）10、（1）（夾角）(2013·安徽高考)若非零向量滿足,則夾角的余弦值為_.不妨設(shè) 則又解得，. （2）（長

10、度）(2012·課標(biāo)全國)已知向量a，b夾角為45°，且|a|1，|2ab|，則|b|_.a，b的夾角為45°，|a|1，a·b|a|·|b|cos 45°|b|，|2ab|244×|b|b|210，|b|3.（3）（垂直）(2013·山東)已知向量與的夾角為120°，且|3，|2.若A，且，則實(shí)數(shù)的值為_解：由知·0，即·()·()(1)·A22(1)×3×2××940，解得.（4）(2013·天津高考)在平行四邊

11、形ABCD中，AD1，BAD60° , E為CD的中點(diǎn)若·1 , 則AB的長為_解析：由已知得，·2··21·|21|·|cos 60°|21，|.（5）在平面四邊形ABCD中，若AC，BD2，則()·()()A1 B2 C3 D4【解析】由向量的加法和減法可知()·()()·()22541.（6）在矩形ABCD中，AB，BC2，點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)F在邊CD上，若·，則·的值是_【解析】法一以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB，AD所在直線為x軸，y軸建立平面直角坐標(biāo)系，則A(0

12、,0)，B(，0)，E(，1)，F(xiàn)(x,2)故(，0)，(x,2)，(，1)，(x，2)，·(，0)·(x,2)x.又·，x1，(1，2)·(，1)·(1，2)22.法二設(shè)x，則(x1).··()·(x)x22x，x.(1).·()·(1)22×2×4.11、（坐標(biāo)法）（假期作業(yè)P11T3，13,14，P20T21）12、（1）設(shè)xR，向量a(x,1)，b(1，2)，且ab，則|ab|()A.B.C2D10解：ab，a·b0，x2，a(2,1)，a25，b25，|a

13、b|.（2）(2014·山東高考) 已知向量. 若向量的夾角為，則實(shí)數(shù)( ) ABC0DB（3）(2013·福建高考)在四邊形ABCD中,則四邊形的面積為（）ABCD，.設(shè)對角線交于點(diǎn)O，則四邊形的面積等于四個三角形的面積之和,即.(3) .（4）已知向量，與的夾角是45°.(1)求；(2)若與同向，且，求.解：(1)，整理得，解得或(舍)，.(2)由(1)知，.又與同向，故可設(shè)，13、（向量與三角）已知向量a(sin ，cos 2sin )，b(1,2)(1)若ab，求tan 的值；(2)若|a|b|,0<<，求的值解：(1)因?yàn)閍b，所以2sin

14、cos 2sin ，于是4sin cos ，故tan .(2)由|a|b|，知sin2(cos 2sin )25，所以12sin 24sin25.從而2sin 22(1cos 2)4，即sin 2cos 21，于是sin.又由0<<，知<2<，所以2或2.因此或.14、已知點(diǎn)A(1,0)，B(0,1)，C(2sin ，cos )(1)若|，求的值；(2)若(2)·1，其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求sin ·cos 的值【解】A(1,0)，B(0,1)，C(2sin ，cos )，(2sin 1，cos )，(2sin ，cos 1)(1)|，化簡得2sin c

15、os ，所以tan ，5.(2)(1,0)，(0,1)，(2sin ，cos )，2(1,2)，(2)·1，2sin 2cos 1.(sin cos )2，sin ·cos .15、已知向量m，n.(1)若m·n1，求cos的值；(2)記f(x)m·n，在ABC中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，且滿足(2ac)cos Bbcos C，求函數(shù)f(A)的取值范圍解(1)m·nsin ·cos cos2sin sin，m·n1，sin.cos12sin2，coscos.(2)(2ac)cos Bbcos C，由正弦定理得(2

16、sin Asin C)cos Bsin Bcos C，2sin Acos Bsin Ccos Bsin Bcos C.2sin Acos Bsin(BC)ABC，sin(BC)sin A0.cos B，0<B<，B.0<A<.<<，sin.又f(x)sin.f(A)sin.故函數(shù)f(A)的取值范圍是.16、已知a(5cos x，cos x)，b(sin x,2cos x)，設(shè)函數(shù)f(x)a·b|b|2.(1)當(dāng)x，時(shí)，求函數(shù)f(x)的值域；(2)當(dāng)x，時(shí)，若f(x)8，求函數(shù)f(x)的值；(3)將函數(shù)yf(x)的圖象向右平移個單位后，再將得到的圖象上各點(diǎn)的縱坐標(biāo)向下平移5個單位，得到函數(shù)yg(x)的圖象，求函數(shù)g(x)的表達(dá)式并判斷奇偶性解(1)f(x)a·b