1、最新人教版數學精品教學資料普通高中課程標準實驗教科書 必修3第一章 算法初步閱讀與思考 割圓術求圓周率 教學設計一、本課教學內容的本質、地位、作用分析割圓術求圓周率是算法初步這一章結束后設置的閱讀與思考內容，是對本章所學知識的具體應用。“割圓術”是由中國古代的數學家劉徽提出的，是當時計算圓周率的比較先進的算法，至今仍有一定的應用價值。它體現了以直代曲、無限趨近、“內外夾逼”的思想，這些思想是人們在解決數學問題時最基本、最樸素的思想，在其他領域也有著廣泛的應用。“割圓術”這個算法本身很有趣，操作性強，“算理”明確，能被翻譯成計算機程序上機運行，體現了中國古代數學的算法特征。同時，圍繞著圓周率的計

2、算這個問題有很多有趣的故事，例如從古至今許多數學家孜孜不倦的計算圓周率的故事及一些經典而有趣的算法等，從而激發了學生的民族自豪感和愛國精神，培養了追求科學真理、為科學而獻身的精神，培養創新精神和對新事物的敏感性。二、教學目標分析1.知識目標：使學生在明確問題的基礎上，能設計方法，通過編寫計算機程序求出圓周率。2.能力目標：在教學過程中，讓學生體會割圓術算法步驟，使學生深刻理解由特殊到一般的歸納推理思維。在讓學生自主探究利用計算機計算圓周率的過程中，培養學生的邏輯思維能力以及解決實際問題時主動應用數學知識的能力。3.德育滲透目標：通過探索與發現的過程，使學生親歷數學研究的成功和快樂，感悟數學樸實

3、無華的內在美，學會提出問題、分析問題、解決問題、推廣結論進而完善結論的數學應用意識，激發學生勇于探索、敢于創新的精神，優化學生的思維品質。三、學情分析：理解“割圓術”的算法步驟對于學生來講并不難，學生已經具備了由具體問題抽象概括、總結歸納的能力。但寫出這一算法所對應的程序框圖，尤其是循環結構的程序框圖對學生來說難度較大，因此，這一部分的教學由教師引導、小組交流相結合突破難點。四、教學策略分析：普通高中數學課程標準指出：高中數學課程應力求通過各種不同形式的自主學習、探究活動，讓學生體驗數學發現和創造的歷程。新課程標準的價值取向是要求教師成為決策者而不是執行者，要求教師創造出班級氣氛、創造出某種學

4、習環境、設計相應教學活動并表達自己的教育理念等等。基于以上思想，本節課采用問題式教學為主線，輔以啟發式、探究式、自主式、討論式教學方式。五、教學過程：1.【追本溯源、感受輝煌】算法初步這一章的學習結束了，在這一章，我們學習了算法、程序框圖和算法語句。這些知識看起來很簡單，其實可以解決大問題。今天咱們就踏著科學家的足跡重溫圓周率的研究歷程，來體驗一下計算機給我們帶來的改變。先請一位同學根據你課前查閱的資料，給大家介紹一下你所了解的圓周率。預案1：學生可能會從圓周率的定義及劉徽提出的“割圓術”和祖沖之計算的精確圓周率等方面作答。其他同學還有補充嗎？預案2：學生可能還會對圓周率計算的發展史感興趣。剛

5、才兩位同學說得非常精彩。他們分別敘述了圓周率的定義和計算的發展史。在計算的發展史中，有三點值得我們格外注意：我國最早在先秦時期使用圓周率的值為；公元263年我國數學家劉徽提出“割圓術”，并將圓周率計算到；南北朝時期祖沖之將圓周率計算到之間，他的計算結果不但是當時最精密的圓周率，同時在世界上處于領先地位長達1000多年。他是繼承并發展了劉徽提出的“割圓術”，什么是“割圓術”呢？我們先看下面這個問題。【設計意圖】通過讓學生自己查閱資料，了解圓周率及其計算的發展史，從而感受燦爛輝煌的中華文化，激發民族自豪感和愛國精神。2.【抽絲剝繭、感悟思想】比如現在有一條弧，做它的任意一條割線與弧交于兩點，顯然的

6、長度大于線段的長度。接下來，取的中點，那么與線段相比，這條折線的長度更接近的長度。繼續取這兩段弧的中點，所得折線的長度就進一步接近的長度了。那我們怎么才能使得折線的長度無限接近的長度呢？【問題1】怎樣才能使折線的長度無限接近的長度？ 預案：學生很容易意識到要繼續取各弧的中點，所得折線的長度就越來越接近的長度。對。其實，不一定非得取中點，取三等分點也可以，甚至取弧上任意一點都可以。不過為了方便起見，我們不妨取中點。這樣我們就可以得到這條曲線長度的近似值。這種方法就叫做“以直代曲”。它不但可以幫助我們求得曲線長度的近似值，也可以幫助我們解決曲邊圖形的面積問題。比如說，我們可以用圓內接正六邊形的面積

7、來估計該圓的面積，但這個值顯然不夠精確。如果想要得到更精確一些的值，該怎么做呢？預案：根據前面割弧所得的體驗，學生容易想到取各弧的中點取各弧的中點得到一個圓內接正十二邊形，它的面積更接近圓的面積。如果再繼續分割，做成圓的內接正二十四邊形，它的面積更進一步接近圓的面積了。要想讓圓內接正多邊形的面積無限接近圓的面積該怎么辦？預案：不斷分割下去對。當圓的半徑等于1時，圓的面積就是圓周率。而邊數可以無限增大，越大，得到的面積越接近于，將來我們會學到它的極限值就是圓周率。這就是劉徽所提出的“割圓術”。“割圓術”完美體現了“無限逼近”以及“以直代曲”的思想。這兩種思想在其他領域還有廣泛的應用。下面，我們先

8、體會體會割圓術的原理與手工計算。【設計意圖】 在師生交流中，提出以直代曲及無限逼近等思想，逐漸撥開表象看實質，讓學生感悟“割圓術”所體現的思想，并體會方法的震撼力。這樣一來，學生會對接下來的學習充滿了好奇與期待。3.【傳承知識、體會方法】因為圓周率等于圓面積與半徑平方之比，為了更加簡單的計算，不妨設圓的半徑為1.此時，我們應該如何計算圓內接正六邊形的面積呢？【問題2】如何計算圓內接正六邊形的面積。預案：由于學生初中進行過大量平面幾何的訓練，所以不難得知：圓的半徑等于1，故這個正六邊形的邊長也等于1.而這個正六邊形可以看成是由六個邊長為1的正三角形組成的。其中，在直角三角形opa中利用勾股定理可

9、以求得正三角形的高，那么正三角形的面積就是二分之一底乘高，底是正六邊形的邊長，即，因此圓內接正六邊形的面積接下來，取圓的六段弧的中點，就得到圓內接正十二邊形 。從圖中，你發現與的關系了嗎？預案：由于有圖形的直觀做輔助，學生很容易觀察得到等于加上6個等腰三角形的面積。那么如何利用表示圓內接正十二邊形的面積呢？【問題3】如何利用表示圓內接正十二邊形的面積？預案：學生根據前面計算圓內接正六邊形的經驗，很容易求出三角形的面積等于，從而得到這樣我們利用正6邊形的面積很輕松地得到了正12邊形的面積，那我要算圓的內接正24邊形的面積又該怎么做呢？預案：有了前面從圓內接正六邊形到圓內接正十二邊形的演變過程，學

10、生會自然而然的將圓弧繼續等分就得到圓的內接正24邊形。它比圓內接正12邊形多出12個三角形，每一個三角形的面積等于，所以圓內接正24邊形的面積是其中的與怎么呢？預案：學生會類比前面計算弦心距和邊長的方法，在直角三角形中利用勾股定理求出。直角三角形中利用勾股定理求出。誰能直接寫出圓內接正48邊形的面積呢？預案：有了前面的計算公式，學生完全能夠發現其表達式中所體現出的規律并類比得到。其中，看來大家已經發現了圓內接正六邊形、正十二邊形、正二十四邊形的面積之間的遞增關系，那我們按照這個規律可以求得圓的內接正邊形的面積嗎？【問題4】你能依照規律寫出圓內接正邊形的面積嗎？預案：根據前面的規律，學生一定能順

11、利寫出及， 我們給定邊數，就能計算出相應圓內接正邊形的面積，也就是圓周率的近似值。從這一系列數據中你發現什么規律了嗎？預案：學生通過觀察數據不難發現隨著邊數的增加，這個值越來越接近圓周率的精確值了。【設計意圖】學生在教師的引導下，通過計算圓內接正六邊形、正十二邊形、正二十四邊形、正四十八邊形的面積，由特殊到一般歸納總結出一般規律，體會“割圓術”的算法，為后面利用計算機編程求圓周率做好充分的鋪墊。4.【古法新用、主動探究】這個算法中的邊數滿足什么條件？預案：學生的第一反應是6的倍數，但隨即自己就能糾正其結果。因為他會發現這個過程沒辦法求出。經過進一步思考找到邊數滿足的規律，從而歸納出這個算法中圓

12、的內接正邊形的邊數可以寫成的形式。并得到的初始值是0，變化規律是每次增加1.從計算需要進行一次遞推，從計算需要進行兩次遞推，從計算需要進行三次遞推，也就是說表示的是遞推的次數。通過觀察剛才的計算過程，不難發現，每一步的運算都驚人的相似，都是利用上一個圓內接正多邊形的弦心距計算出下一個圓內接正多邊形的面積，然后通過計算該正多邊形的邊長進而計算出該圓內接正多邊形的弦心距，從而實現循環。下面，請同學們通過小組合作寫出這個算法中最核心的部分即該循環結構的程序框圖，并推舉代表展示你的成果。【問題5】請同學們通過小組合作寫出該循環結構的程序框圖。（小組交流3分鐘）學生之前學習過兩種循環結構：直到型和當型。

13、因此，在小組交流討論中兩種循環結構都有可能出現。預案1：該小組寫的是直到型的循環結構。因為邊數，而表示的是遞推的次數，所以選擇當循環變量，它的初始值是0。在循環體中，先后計算了弦心距，面積和邊長，直到時，退出循環，否則反復執行循環體。你們是如何得到這個循環終止條件的呢？預案：學生根據，而直到型循環結構是直到滿足條件就退出循環，所以應該將判斷條件定為，從中就可以解出說的非常好。其他小組還有不同的畫法嗎？ 預案2：該小組寫的是當形循環結構。循環體和循環變量的選擇與他們是一樣的。區別是先判斷循環終止條件，當條件成立時執行循環體，否則退出循環。所以我們的循環終止條件是。時間關系，我們只補充完善其中一個

14、程序框圖。大家想補充哪一個呢？預案：當型的吧！下面我們把這個程序框圖補充完整。預案：根據之前學過的程序框圖的知識，學生很容易知道只要在前面加上終端框開始，并且輸入邊數，同時給，和賦上初值就可以了。當然，學生有可能丟落下個別細節，比如終端框，這些在學生們的共同糾錯中很容易得到解決。他的展示講解精彩嗎？生齊答：精彩那掌聲在哪里？（學生鼓掌）看來同學們對前面學習的程序框圖理解非常深刻。下面，請同學們對照該程序框圖共同協作寫出與之對應的算法語句。為了節約時間，請兩位同學到前面配合，一個人寫，一個人輸入。（展示課件上的標準程序框圖）（學生活動）預案：兩位同學一個在黑板上對照程序框圖寫算法語句，另外一個同

15、步輸入，兩個人互相探討不難寫出其算法語句。input “n=”;nx=1i=0s=6*sqr(3)/4while i<=log(n/6)/log(2) h=sqr(1-(x/2)2) s=s+6*2i*x*(1-h)/2 x=sqr(x/2)2+(1-h)2) i=i+1wendprint send下面同學看一下黑板上的程序語句是否正確。預案：同學們通過觀察電腦上輸入的程序，進行點評糾錯，很快就能得到完整而且正確的算法語句。既然沒有問題，就試著運行這個程序。輸入邊數等于幾呢？預案：輸入，不難看出，隨著輸入的邊數逐漸增加，計算出來的值越來越接近圓周率的精確值。但計算效率與手工計算相比，不可

16、同日而語。【設計意圖】 在學生已經體會并理解了“割圓術”算法的基礎上，利用所學過的算法初步的知識將這一數學計算過程最終轉化為計算機算法語句是本節課的難點。為了突破這一難點，最初只讓學生寫出循環結構的程序框圖，后面再陸續將程序框圖補充完整，這樣一來分散了難點，將知識置于學生的最近發展區，跳一跳夠得到。另外，通過小組合作交流還可以培養學生的合作意識、團隊精神，進而促使學生相互學習、共同提高，有力的促進了課堂效率的提高。5.【再接再厲、完善方法】其實，我們剛才所研究的只是劉徽提出的割圓術的一方面，即從內向外無限逼近。另一方面，這些圓的內接正多邊形每邊外都有一余徑，用邊長乘以余徑加到正多邊形的面積上，

17、則大于圓的面積。在已知圓內接正多邊形面積的基礎上，我們來看一下如何設計一個遞減數列逐漸逼近。【問題6】在半徑為1的圓中，設計一個遞減數列逐漸逼近圓周率。 首先，在圓內接正六邊形的基礎上加上六個矩形得到的面積是。因為計算機計算加法的運算速度更快，所以可以將它改寫成。同樣的，在圓內接正12邊形的基礎上加上12個矩形就是。以此類推，我們可以得到一列遞減數：，也就實現了從外向內逼近。這樣一來，從而利用內外夾逼的思想得到圓周率，理論上來說可以把算到任意精度。課下，請同學們自己完善上面的程序，利用割圓術借助計算機求圓周率。【設計意圖】向學生介紹“割圓術”所體現的“內外夾逼”的思想，完善方法，提升其思維的嚴

18、謹性。6【感悟提升、展望未來】至此，我們對圓周率的研究告一段落了。最后，請同學們從知識、思想、方法等方面談一下你的收獲和體會。【問題7】請從知識、思想、方法等方面談一下你的收獲和體會。預案1：學生會從本節課的中心內容即割圓術及它所體現的“以直代曲”“無限趨近”“內外夾逼”等思想方面進行總結。他從知識和方法的角度談了他的收獲，以直代曲、無限趨近等思想是人們處理很多數學問題時一個最基本最樸素的思想與方法。其他同學還有補充嗎？預案2：學生應該對計算圓周率的新舊方法的效率的懸殊對比有著深刻的印象，從而體會到古代智慧的結晶再加以現代計算機技術的輔助，便如虎添翼。同時可能提出猜想：既然可以用計算機來求圓周率，就一定可以用計算機來解決其他類似地問題。她的想法特別好，從計算圓周率的新舊方法的效率的懸殊對比上，我們不難體會到在面對新事物時，不能墨守成規，拘泥于一種現成的方法。如果祖沖之單純使用割圓術，需要計算到圓內接正12288邊形，才能將圓周率計算到3.14159263.1415927之間，而這在利用算籌計算的年代是不可想象的。他一定是改進了劉徽的計算方法，才取得了這樣的成就，遺憾的是，他的手稿已經失傳，無法考證他的計算方法。在這里，不得不提的是，祖沖之是我省淶水縣人，他不僅受到中國人民的敬仰，同時也受到世界各國科學界人士的推崇。1960年，蘇聯科學家們還用他的名字命名了月