1、起課時提升作業(十四)雙曲線方程及性質的應用(25分鐘60分)一、選擇題(每小題5分,共25分)1.直線l過點(2,0)且與雙曲線x2-y2=2僅有一個公共點,則這樣的直線有()a.1條b.2條c.3條d.4條【解題指南】先判斷點與曲線的位置關系,再結合題意求解.【解析】選c.點(2,0)即為雙曲線的右頂點,過該點有兩條與雙曲線漸近線平行的直線與雙曲線僅有一個公共點,另過該點且與x軸垂直的直線也與雙曲線只有一個公共點,故這樣的直線只有3條.2.(2015·溫州高二檢測)已知雙曲線e的中心為原點,f(3,0)是e的焦點,過f的直線l與e相交于a,b兩點,且ab的中點為n(-12,-15

2、),則e的方程為()a.x23-y26=1b.x24-y25=1c.x26-y23=1d.x25-y24=1【解題指南】中點弦問題,借助點差法求解.【解析】選b.由c=3,設雙曲線方程為x2a2-y29-a2=1,kab=0+153+12=1,設a(x1,y1),b(x2,y2),則x12a2-y129-a2=1,x22a2-y229-a2=1,-,得(x1+x2)(x1-x2)a2-(y1+y2)(y1-y2)9-a2=0,又n(-12,-15)為ab中點,所以x1+x2=-24,y1+y2=-30.所以-24(x1-x2)a2=-30(y1-y2)9-a2.所以y1-y2x1-x2=4(9

3、-a2)5a2=1.所以a2=4.所以雙曲線方程為x24-y25=1.3.設直線l過雙曲線c的一個焦點,且與c的一條對稱軸垂直,l與c交于a,b兩點,|ab|為c的實軸長的2倍,則c的離心率為()a.2b.3c.2d.3【解題指南】用a,b表示|ab|,由|ab|=4a求a,b的等量關系,進而求離心率.【解析】選b.由題意不妨設l:x=-c,則|ab|=2b2a,又|ab|=2×2a,故b2=2a2,所以e=1+b2a2=1+2=3.4.(2015·西安高二檢測)過雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右頂點a作斜率為-1的直線,該直線與雙曲線的兩條漸

4、近線的交點分別為b,c.若ab=12bc,則雙曲線的離心率是()a.2b.3c.5d.10【解析】選c.右頂點為a(a,0),則直線方程為x+y-a=0,可求得直線與兩漸近線的交點坐標ba2a+b,aba+b,ca2a-b,-aba-b,則bc=2a2ba2-b2,-2a2ba2-b2,ab=-aba+b,aba+b.又2ab=bc,所以2a=b,所以e=5.5.已知f1,f2分別為雙曲線的左、右焦點,p為雙曲線右支上的任意一點,若|pf1|2|pf2|的最小值為8a,則雙曲線的離心率e的取值范圍是()a.(1,+)b.(1,2c.(1,3d.(1,3【解析】選d.依題意知|pf1|-|pf2

5、|=2a,|pf1|2|pf2|=4a2+|pf2|2+4a|pf2|pf2|=4a+4a2|pf2|+|pf2|8a,當且僅當4a2|pf2|=|pf2|時等號成立.此時|pf2|=2a,|pf1|=4a,因為|pf1|+|pf2|2c.所以6a2c,即1<e3.【誤區警示】本題求解時常常忘記檢驗雙曲線定義滿足的條件導致范圍擴大.二、填空題(每小題5分,共15分)6.直線y=x+4與雙曲線x2-y2=1的交點坐標為.【解析】聯立方程組得y=x+4,x2-y2=1,消去y得x2-(x+4)2=1,則x=-178,代入y=x+4得y=158.故直線y=x+4與雙曲線x2-y2=1的交點坐標

6、為-178,158.答案:-178,158【補償訓練】過點(0,1)且斜率為1的直線交雙曲線x2-y24=1于a,b兩點,則|ab|=.【解析】直線為y=x+1,與雙曲線聯立得y=x+1,x2-y24=1,得3x2-2x-5=0.所以x1+x2=23,x1x2=-53,所以|ab|=2·49+203=823.答案:8237.若直線y=kx與雙曲線x29-y24=1相交,則k的取值范圍為.【解題指南】借助雙曲線與漸進線的關系,數形結合求解.【解析】雙曲線x29-y24=1的漸近線方程為y=±23x,若直線與雙曲線相交,數形結合,得k-23,23.答案:-23,238.(201

7、5·全國卷)已知f是雙曲線c:x2-y28=1的右焦點,p是c左支上一點,a0,66,當apf周長最小時,該三角形的面積為.【解題指南】apf周長最小時,p點是點a與雙曲線c:x2-y28=1的左焦點的連線與雙曲線的交點.【解析】由已知a=1,b=22,c=3,所以f(3,0),f(-3,0),又a0,66,所以|af|=32+(66)2=15,apf周長l=|pa|+|pf|+|af|,又|pf|-|pf|=2,所以|pf|=|pf|+2,所以l=|pa|+|pf|+2+15|af|+17=32,當且僅當a,p,f三點共線時,apf周長最小,如圖所示.設p(x,y),直線af的方程

8、為x-3+y66=1,聯立得x-3+y66=1,x2-y28=1,消去x得6y2+36y-966=0,解得y=-86(舍)或y=26,則p(x,26).因為sapf=saff-spff=12×6×66-12×6×26=126.答案:126三、解答題(每小題10分,共20分)9.經過點m(2,2)作直線l交雙曲線x2-y24=1于a,b兩點,且m為ab中點.(1)求直線l的方程.(2)求線段ab的長.【解析】(1)設a(x1,y1),b(x2,y2),代入雙曲線方程得x12-y124=1,x22-y224=1,兩式相減得x12-x22-y124-y224=

9、0,(x1+x2)(x1-x2)-14(y1+y2)(y1-y2)=0.因為m為ab的中點,所以x1+x2=4,y1+y2=4,所以4(x1-x2)-(y1-y2)=0,kl=y1-y2x1-x2=4,所以l的方程為y-2=4(x-2),即y=4x-6.(2)將y=4x-6代入到x2-y24=1中得3x2-12x+10=0,故x1+x2=4,x1x2=103,所以|ab|=(1+k2)(x1+x2)2-4x1x2=23102.【補償訓練】過點p(8,1)的直線與雙曲線x2-4y2=4相交于a,b兩點,且p是線段ab的中點,求直線ab的方程.【解析】設a,b的坐標分別為(x1,y1),(x2,y

10、2),則x12-4y12=4,x22-4y22=4.-得(x1+x2)(x1-x2)-4(y1+y2)(y1-y2)=0.因為p是線段ab的中點,所以x1+x2=16,y1+y2=2.所以y1-y2x1-x2=x1+x24(y1+y2)=2.所以直線ab的斜率為2.所以直線ab的方程為y-1=2(x-8),即2x-y-15=0.10.(2015·大連高二檢測)雙曲線的兩條漸近線的方程為y=±2x,且經過點(3,-23).(1)求雙曲線的方程.(2)過雙曲線的右焦點f且傾斜角為60°的直線交雙曲線于a,b兩點,求|ab|.【解析】(1)因為雙曲線的兩條漸近線方程為y

11、=±2x,所以可設雙曲線的方程為2x2-y2=(0).又因為雙曲線經過點(3,-23),代入方程可得=6,所以所求雙曲線的方程為x23-y26=1.(2)設a(x1,y1)、b(x2,y2),過f且傾斜角為60°的直線方程為y=3(x-3),聯立y=3(x-3),2x2-y2=6,得x2-18x+33=0,由根與系數的關系得x1+x2=18,x1x2=33,所以|ab|=1+k2|x1-x2|=1+3·(x1+x2)2-4x1x2=2324-132=163,即弦長|ab|=163.(20分鐘40分)一、選擇題(每小題5分,共10分)1.已知f是雙曲線x23a2-y

12、2a2=1(a>0)的右焦點,o為坐標原點,設p是雙曲線c上一點,則pof的大小不可能是()a.15°b.25°c.60°d.165°【解題指南】先求漸近線的夾角,再借助雙曲線與漸近線的關系,數形結合求解.【解析】選c.雙曲線的漸近線方程為y=±33x,所以漸近線的傾斜角為30°或150°,所以pof不可能等于60°.2.(2015·冀州高二檢測)過雙曲線x2a2-y25-a2=1(a>0)右焦點f作一條直線,當直線斜率為2時,直線與雙曲線左、右兩支各有一個交點;當直線斜率為3時,直線與雙曲線

13、右支有兩個不同交點,則雙曲線離心率的取值范圍為()a.(2,5)b.(5,10)c.(1,2)d.(5,52)【解析】選b.由題意可知,5-a2>0,2<5-a2a2<3,從而4<5-a2a2<9,所以e=1+5-a2a2(5,10).二、填空題(每小題5分,共10分)3.已知a(1,2),b(-1,2),動點p滿足apbp.若雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的漸近線與動點p的軌跡沒有公共點,則雙曲線離心率的取值范圍是.【解題指南】先由直接法確定點p的軌跡(為一個圓),再由漸近線與該軌跡無公共點得到不等關系,進一步列出關于離心率e的不等式

14、進行求解.【解析】設p(x,y),由題設條件,得動點p的軌跡為(x-1)(x+1)+(y-2)·(y-2)=0(x±1),即x2+(y-2)2=1(x±1),它是以(0,2)為圓心,1為半徑的圓(a,b兩點除外).又雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的漸近線方程為y=±bax,即bx±ay=0,由題意,可得2aa2+b2>1,即2ac>1,所以e=ca<2,又e>1,故1<e<2.答案:(1,2)4.(2014·浙江高考)設直線x-3y+m=0(m0)與雙曲線x2a2-y2b

15、2=1(a>b>0)兩條漸近線分別交于點a,b,若點p(m,0)滿足|pa|=|pb|,則該雙曲線的離心率是.【解題指南】求出a,b的坐標,寫出ab中點q的坐標,因為|pa|=|pb|,所以pq與已知直線垂直,尋找a與c的關系.【解析】由雙曲線的方程可知,它的漸近線方程為y=bax與y=-bax,分別與x-3y+m=0(m0)聯立方程組,解得a-ama-3b,-bma-3b,b-ama+3b,bma+3b,設ab的中點為q,則q-ama-3b+-ama+3b2,-bma-3b+bma+3b2,因為|pa|=|pb|,所以pq與已知直線垂直,所以kpq=-3,解得2a2=8b2=8(

16、c2-a2),即c2a2=54,ca=52.答案:52三、解答題(每小題10分,共20分)5.已知雙曲線3x2-y2=3,直線l過其右焦點f2,且傾斜角為45°,與雙曲線交于a,b兩點,試問a,b兩點是否位于雙曲線的同一支上?并求弦ab的長.【解析】因為直線l過點f2且傾斜角為45°,所以直線l的方程為y=x-2.代入雙曲線方程,得2x2+4x-7=0.設a(x1,y1),b(x2,y2).因為x1·x2=-72<0,所以a,b兩點分別位于雙曲線的左、右兩支上.因為x1+x2=-2,x1·x2=-72,所以|ab|=1+12|x1-x2|=2

17、83;(x1+x2)2-4x1x2=2·(-2)2-4-72=6.6.(2015·北京高二檢測)直線l:y=kx+1與雙曲線c:2x2-y2=1的右支交于不同的兩點a,b.(1)求實數k的取值范圍.(2)是否存在實數k,使得以線段ab為直徑的圓經過雙曲線c的右焦點f?若存在,求出k的值;若不存在,說明理由.【解析】(1)將直線l的方程y=kx+1代入雙曲線c的方程2x2-y2=1后,整理得,(k2-2)x2+2kx+2=0.依題意,直線l與雙曲線c的右支交于不同兩點,故k2-20,=(2k)2-8(k2-2)>0,-2kk2-2>0,2k2-2>0.解得k的取值范圍是-2<k<-2.(2)設a,b兩點的坐標分別為(x