1、1第四節第四節 對面積的曲面積分對面積的曲面積分求質量 m .引例引例: 設曲面形構件具有連續面密度),(zyx采用“分割分割, 近似近似, 求和求和, 取極限取極限” 的方法，kkkks),( 可得nk 10 limm),(kkkzyxo一一. 對面積的曲面積分的概念與性質對面積的曲面積分的概念與性質2定義定義:設 為光滑曲面, f (x, y, z) 是定義在 上的一個有界函數, 若對 做任意分割和局部區域上任意取點, “乘積乘積和式極限和式極限” kkkksf),(nk 10lim都存在,則稱此極限為函數 f (x, y, z) 在曲面 上對面積的對面積的曲面積分曲面積分或第一類曲面積分

2、第一類曲面積分.dszyxf),(記作記作其中 f (x, y, z) 叫做被積函數被積函數, 叫做積分曲面積分曲面. 據此定義,曲面形構件的質量為dsm ),(zyx曲面面積為dssdszyxf),(,記記為閉曲面為閉曲面若若3 如果 f (x, y, z) 在光滑曲面 上連續連續, 則對面積的曲面對面積的曲面積分存在積分存在. 如果 是分片光滑的,例如分成兩片光滑曲面,21則有dszyxf),(1dszyxf),(2dszyxf),(對面積對面積的曲面積分與對弧長對弧長的曲線積分有類似的性質.dszyxgzyxf),(),(（k 為常數)dszyxfkdszyxfk),(),(dszyxg

3、sdzyxf),(),(4zyxoyxd定理定理: 設光滑曲面 由方程 z = z (x, y) 在 xoy 面上的投影區域為,yxdf (x, y, z) 在 上連續 ,存在, 且有sdzyxf),(yxdyxf),(sdzyxf),(),(yxzydxdyxzyxzyx),(),(122二二. 對面積的曲面積分的計算法對面積的曲面積分的計算法給出 ,則曲面積分),(kkk5計算公式計算公式:;1),(,22dxdyzzyxzyxfxydyx dszyxf),(),(:. 1yxzz 若若曲曲面面則則:類似可得類似可得6;1),(,22dxdzyyzzxyxfxzdzx dszyxf),(則

4、則.1,),(22dydzxxzyzyxfyzdzy dszyxf),(),(. 3zyxx ：若曲面若曲面則則。為閉曲面，可分塊求之為閉曲面，可分塊求之、若、若4),(:. 2zxyy 若曲面若曲面7例例1 1解解 dszyx)( 5 zy2522 yx計算計算, 其中其中為平面為平面被柱面被柱面所截得的部分所截得的部分. yz 5積分曲面積分曲面 ：投影域投影域 ：25| ),(22 yxyxdxy8 dszyx)(故故 xyddxdyyyx)5(2 xyddxdyx)5(2 dd 5020)cos5(2.2125 dxdyzzdsyx221 dxdy2)1(01 ,2dxdy 9例例 2

5、 2 計計算算dsxyz |,其其中中 為為拋拋物物面面 22yxz （10 z）.解解依對稱性知：依對稱性知：被被積積函函數數| xyz關關于于xoz、yoz 坐標面對稱坐標面對稱軸對稱，軸對稱，關于關于拋物面拋物面zyxz22 有有 14成立成立，(1 為為第第一一卦卦限限部部分分曲曲面面)xyz10dxdyzzdsyx221 dxdyyx22)2()2(1 原式原式dsxyz |dsxyz 14dxdyyxyxxyxyd2222)2()2(1)(4 其其中中1| ),(22 yxyxdxy, 0, 0 yxxyz11 dd 102222041sincos4 dd21050412sin22

6、 duuu251)41(41 .42015125 令令 241 u 利用極坐標利用極坐標dxdyyxyxxyxyd2222)2()2(1)(4 12 計計算算 xds, 其其中中 是是圓圓柱柱面面 122 yx,平平面面2 xz及及0 z所所圍圍成成的的空空間間立立體體的的表表面面.例例3 313解解 321 其其中中1 ：0 z,2 ：2 xz,3 ：122 yx.投投影影域域1d：122 yx顯顯然然 011 dxdxdyxds, 01112 ddxdyxxds14討討論論3 時時, 將將投投影影域域選選在在xoz上上.（注意：注意：21xy 分為左、右兩片分為左、右兩片） 3xds 31

7、xds 32xds（左右兩片投影相同）（左右兩片投影相同） xzdzxdxdzyyx2212xoz15 xzddxdzxxx22112 1120212xdzdxxx, xds 00.16例例4. 計算其中 是介于平面之間的圓柱面.222ryxozxyh解解:hzz,0將 分成 、 前前后后dszyx222122yrx ：前前22yrx ：后后dydzxxdszy221dydzyrr22后后前前dszyx2221dydzyrrzryzd222212對對稱稱dzyrrzrdyhrr2202212rharctan 217zzd例例4. 計算其中 是介于平面之間的圓柱面.222ryxozxyh另解另解: 取曲面面積元素dzrds2則hzrzdri0222rharctan2hzz,0dszyxi 222118例例5. 計算,)(22dsyxi其中 是球面)(2222zyxzyx解解: 利用對稱性可知dszdsydsx222d