1、第5節 極限運算法則一. 極限運算法則二. 復合函數的極限請點擊請點擊 極限運算法則的理論依據 )(limaxf )()(xaxf 依據無窮小的運算法則定理法則 一.極限的運算法則 , )(lim , )(lim 則存在設bxgaxf . ) 0,( , )( , )(bxgaxf 在該極限過程中, )()()()(baxgxf , )()()()(baabbaxgxf . )0( , )()()(bbbabbababababaxgxf和的極限等于極限的和.乘積的極限等于極限的乘積.商的極限等于極限的商(分母不為零).差一點 ! 結論成立的條件. 設在某極限過程中, 函數 f (x)、g(x)

2、 的極限 lim f (x)、lim g(x) 存在, 則) 0)(lim ( )(lim)(lim)()(lim . 4xgxgxfxgxf)( )(lim)(lim . 2為常數kxfkxfk)(lim)(lim)()(lim . 3xgxfxgxf)(lim)(lim)()(lim . 1xgxfxgxf )(lim)(lim . 5 nnxfxf )(lim)(lim , )()( . 6xgxfxgxf則若在極限過程中 二.復合函數的極限 . )( )( )( 復合而成及是由設xuufyxfy : 由極限的概念可知 . ),u( 0uu有 , ),(u , 0 , 0 , )(lim

3、00時當即uuaufuu . ),u(ay有 , ),(u , 0 , 0 , )(lim000時當即xxuxxx ),u( ),(u 0, 000uuxx . ),u( ay . )( )( )( 復合而成及是由設xuufyxfy , )( )(u , )(lim 0000又有內且在若uxxuxxx . )(lim)(lim , )(lim000aufxfaufuuxxuu則注意這個條件, 缺了它定理不一定成立. . , )( 0在定義域內的值是的“自變量”是函數uuufu由極限的定義, 即要證明： , | 0 , 0 , 00有時使當xx. |)(| |)(|aufaxf , 0 , 0

4、, )(lim 0故由aufuu , | 0 0時當uu. |)(| auf , 0 , 0 , )(lim 100故對上面的又uxxx , | 0 10時當xx . |)(| |00uxuu則取中設在 ,min ,)( ),(u 21020 uxx, )( | 0 , | 0 000uxuuxx時當. |)(| ,auf從而證證綜上所述： , | 0 , 0 , 00時當xx |)(| |)(|aufaxf . )(lim)(lim 00aufxfuuxx即 例例. , 0) ( , , ,1)( 為無理數為有理數即互質與設xxqpqpxqxf. 0 0, , 0 , 1 )(uuug0.)

5、 0,( , 1)(lim , 0)(lim0000uxugxfux . )(lim 0不存在但xfgx請想想,為什么?. 1)31)(21)(1 (lim 0 xxxxx求 . , , 0lim 0不能直接用公式計算所以由于xxxxxxx1)31)(21)(1 (lim 0 xxxxx161161lim320 . 6)6116(lim20 xxx 初等展開例例1 1解 . 22325lim 2xxx求 . , 0)22(lim 2故不能直接用公式計算由于xx)22)(22)(325()22)(325)(325(lim22325lim22xxxxxxxxxx)42)(325()22)(42(l

6、im2xxxxx . 32)325(lim)22(lim32522lim222xxxxxxx分子分母同時-有理化例例2 2解 . )2( 1lim xxxx求) )( ( )2( 1lim xxxxxxxxxxxx2)2)(2( 1limxxxx2 12lim . 1111111 2limxxx分子有理化例例3 3解lim2nn求) 12)(12(1141 2nnn) 12)(12(175153131114135115131 2nnn1211217151513131121nn121121n12112121nn . 21121121limlim

7、2nnnn故 部分分式法例例4 4解mnmnbamnbxbxbaxaxannnmmmx , , , 0lim00110110證明)()(lim110110nnnmmmxxbxbbxxaxaax原式)(limxgxnmx由，00)(limbaxgx，mnmnmnxnmx , , 1 , 0lim即得所證.證例例5 5.35123lim2232xxxxxx求35123lim2232xxxxxx3163252122223223例例6 6解 . ) 12(lim 3xxx求121lim 3xxx) 12(lim 3xxx01121lim323xxxx或者用下面的方法) 12(lim3xxx)112(l

8、im323xxxx 涉及到兩個無窮大的差例例7 7解.lim sin0 xxe求 , 0sin , 0 而時因為xux , 1lim0uue所以,由復合函數求極限法則 . 1limsin0 xxe這類復合函數的極限通常可寫成這類復合函數的極限通常可寫成 . 1lim0sinlimsin00eeexxxx例例8 8解 .lim cosxxx求xxxxxexlncoscoslimlim . 1lnlncoslimeexxx這是求冪指函數極限常用的方法求冪指函數極限常用的方法:. )(ln)(lim exp)(lim)(xfxxfx.lim)(lim )(ln)(lim)(ln)()(xfxxfxx

9、eexf即例例9 9解 . 1211lim 31xxxx求這是兩個無窮大量相減的問題. 我們首先進行通分運算, 設法去掉不定因素, 然后運用四則運算法則求其極限. 11lim1211lim32131xxxxxxx . 3211lim21xxxx解例例1010, 0 ,0 , 1)(xbxxexfx問 b 取何值時,)(lim0 xfx存在, 并求其值.若 由函數的極限與其左、右極限的關系, 得 . 2)(lim 0 xfx b = 2 , )(lim 0 xfx2) 1(lim0 xxe,)(lim0 xfxbbxx)(lim0,解例例1111，nnxxnx ,1)1 (lim0并由此證明, 1)1 (lim0mnxxmnx其中, n, mn.求xxnx1)1 (lim0 xxxnnnxnx1)!2) 1(1(lim20nxxnnnnx)2) 1(lim10解例例1212令，11mxy則，1)1 (myx，yxm1)1 (1,)1 ()1 (nmnyx當 x 0 時, y 0, 故1)1 (1)1 (lim1)1 (lim00mnymnxyyxxmnyyyymny1)1 (1)1 (lim0下面證明mnxxmnx1)1 (lim0. 變量代換 . 0)1(lim : , 236baxxbax使下式成立確定常數 ),1(1 23