1、張 之 正解 析 幾 何 Mathematical Science College數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院2.2 2.2 曲面的方程曲面的方程1. 1. 曲面的方程曲面的方程 空間曲面可看做點的軌跡，而點的軌跡可由點的坐標所滿足的方程來表達.因此，空間曲面可由方程來表示，反過來也成立.張 之 正解 析 幾 何 Mathematical Science College數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院（1 1） 曲曲面面S上上任任一一點點的的坐坐標標都都滿滿足足方方程程；（2 2）不不在在曲曲面面S上上的的點點的的坐坐標標都都不不滿滿足足方方程程；那那么么，方方程程0),( zyxF就就叫叫做做曲曲面面S

2、的的方方程程，而而曲曲面面S就就叫叫做做方方程程的的圖圖形形定義定義2.2.1 1. 1. 曲面的方程曲面的方程 假設(shè)曲面假設(shè)曲面與三元方程與三元方程有下述關(guān)系：有下述關(guān)系：張 之 正解 析 幾 何 Mathematical Science College數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院以下給出幾例常見的曲面以下給出幾例常見的曲面. .例例 題題張 之 正解 析 幾 何 Mathematical Science College數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院以上幾例闡明研討空間曲面有兩個根本問題：以上幾例闡明研討空間曲面有兩個根本問題：2 2知坐標間的關(guān)系式，研討曲面外形知坐標間的關(guān)系式，研討曲面外形討論旋轉(zhuǎn)

3、曲面討論旋轉(zhuǎn)曲面討論柱面、二次曲面討論柱面、二次曲面1 1知曲面作為點的軌跡時，求曲面方程知曲面作為點的軌跡時，求曲面方程1. 1. 曲面的方程曲面的方程張 之 正解 析 幾 何 Mathematical Science College數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院例5方程方程222zyx 062 yx的幾何圖形的幾何圖形 是何形狀？是何形狀？解解2)1( x1 2)3( y9 2z 10 是球面：是球面：球心球心在點在點半徑為半徑為)0 , 3 , 1( 1010球面方程球面方程注意：注意：的特征：的特征： 二次二次方程方程且且、2x、2y的的2z系數(shù)系數(shù)絕對相同絕對相同例例 題題張 之 正解 析

4、 幾 何 Mathematical Science College數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院思索題思索題 指出以下方程在平面解析幾何中和空間解析指出以下方程在平面解析幾何中和空間解析幾何中分別表示什么圖形？幾何中分別表示什么圖形？; 2)1( x; 4)2(22 yx. 1)3( xy張 之 正解 析 幾 何 Mathematical Science College數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院思索題解答思索題解答平面解析幾何中平面解析幾何中空間解析幾何中空間解析幾何中2 x422 yx1 xy平平行行于于y軸軸的的直直線線平平行行于于yoz面面的的平平面面圓心在圓心在)0 , 0(，半半徑徑為為2的

5、的圓圓以以z軸軸為為中中心心軸軸的的圓圓柱柱面面斜率為斜率為1的直線的直線平平行行于于z軸軸的的平平面面方程方程思索題思索題張 之 正解 析 幾 何 Mathematical Science College數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 設(shè)在兩個變數(shù) 的變動區(qū)域內(nèi)定義了雙參數(shù)向量函數(shù)當 取遍變動區(qū)域的一切值時，其終點2. 曲面的參數(shù)方程曲面的參數(shù)方程, u v( , )rr u v2.2-3 123( , )( , )( , )( , )rr u vx u v ey u v ez u v e 2.2-4, u vM( , ), ( , ), ( , )x u v y u v z u v所畫軌跡普通為

6、一曲面(圖2-9).或張 之 正解 析 幾 何 Mathematical Science College數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院把表達式2.2-4叫做曲面的向量參數(shù)方程，其中, u v,aub cvd( , )rr u vMM, u v,aub cvd, u v定義定義2.2.2 2.2.2 假設(shè)假設(shè)一切能夠取的值，由2.2-4表示的向徑的終點這個曲面上的恣意點點的徑矢，且此向徑可由的值為參數(shù).總在一曲面上；反過來，總對應(yīng)著以它為終經(jīng)過2.2-4完全決議，那么2. 曲面的參數(shù)方程曲面的參數(shù)方程張 之 正解 析 幾 何 Mathematical Science College數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)

7、學(xué)院( , ), ( , ), ( , )x u vy u v z u v( , )rr u v由于向徑的分量為所以曲面的參數(shù)方程可寫為( , ),( , ),( , ).xx u vyy u vzz u v表達式2.2-5叫曲面的坐標式參數(shù)方程.2.2-5 ，2. 曲面的參數(shù)方程曲面的參數(shù)方程張 之 正解 析 幾 何 Mathematical Science College數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院例例3 3 求中心在原點，半徑等于求中心在原點，半徑等于 的球面的參數(shù)方程的球面的參數(shù)方程 . . 解 設(shè) 是球面上的恣意一點， 在 xoy 面上的射影為P ，而 P在x軸上的射影為 Q 設(shè) ，OZ軸與 的夾角 圖2-10， OPQMxyzrMM( ,)i OP OM ZOM例例 題題張 之 正解 析 幾 何 Mathematical Science College數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院那么且 ， ， ， 所以 . rOMOQQPPM ( cos )PMrk ( sin sin )QPrj ( sincos )OQri( sincos )( sin sin )( cos )rrirjrk即為該球面的向量式參數(shù)方程. 其坐標式參數(shù)方程為 2.2-6sin cos ,sin sin ,cos .xryrz