1、新人教版八年級下冊勾股定理全章知識點和典型例習題1、 基礎知識點：勾股定理內容：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方；表示方法：如果直角三角形的兩直角邊分別為，斜邊為，那么勾股定理的由來：勾股定理也叫商高定理，在西方稱為畢達哥拉斯定理我國古代把直角三角形中較短的直角邊稱為勾，較長的直角邊稱為股，斜邊稱為弦早在三千多年前，周朝數學家商高就提出了“勾三，股四，弦五”形式的勾股定理，后來人們進一步發現并證明了直角三角形的三邊關系為：兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.勾股定理的證明勾股定理的證明方法很多，常見的是拼圖的方法用拼圖的方法驗證勾股定理的思路是圖形進過割補拼接后，只要沒有重疊，沒有空隙，面

2、積不會改變根據同一種圖形的面積不同的表示方法，列出等式，推導出勾股定理常見方法如下：方法一：，化簡可證方法二：四個直角三角形的面積與小正方形面積的和等于大正方形的面積四個直角三角形的面積與小正方形面積的和為大正方形面積為 所以方法三：，化簡得證. 勾股定理的適用范圍勾股定理揭示了直角三角形三條邊之間所存在的數量關系，它只適用于直角三角形，對于銳角三角形和鈍角三角形的三邊就不具有這一特征，因而在應用勾股定理時，必須明了所考察的對象是直角三角形. 勾股定理的應用已知直角三角形的任意兩邊長，求第三邊在中，則，知道直角三角形一邊，可得另外兩邊之間的數量關系可運用勾股定理解決一些實際問題.勾股定理的逆定

3、理如果三角形三邊長，滿足，那么這個三角形是直角三角形，其中為斜邊勾股定理的逆定理是判定一個三角形是否是直角三角形的一種重要方法，它通過“數轉化為形”來確定三角形的可能形狀，在運用這一定理時，可用兩小邊的平方和與較長邊的平方作比較，若它們相等時，以，為三邊的三角形是直角三角形；若，時，以，為三邊的三角形是鈍角三角形；若，時，以，為三邊的三角形是銳角三角形；定理中，及只是一種表現形式，不可認為是唯一的，如若三角形三邊長，滿足，那么以，為三邊的三角形是直角三角形，但是為斜邊勾股定理的逆定理在用問題描述時，不能說成：當斜邊的平方等于兩條直角邊的平方和時，這個三角形是直角三角形.勾股數能夠構成直角三角形

4、的三邊長的三個正整數稱為勾股數，即中，為正整數時，稱，為一組勾股數記住常見的勾股數可以提高解題速度，如；等用含字母的代數式表示組勾股數：（為正整數）；（為正整數）（，為正整數）勾股定理的應用勾股定理能夠幫助我們解決直角三角形中的邊長的計算或直角三角形中線段之間的關系的證明問題在使用勾股定理時，必須把握直角三角形的前提條件，了解直角三角形中，斜邊和直角邊各是什么，以便運用勾股定理進行計算，應設法添加輔助線（通常作垂線），構造直角三角形，以便正確使用勾股定理進行求解. 勾股定理逆定理的應用勾股定理的逆定理能幫助我們通過三角形三邊之間的數量關系判斷一個三角形是否是直角三角形，在具體推算過程中，應用兩

5、短邊的平方和與最長邊的平方進行比較，切不可不加思考的用兩邊的平方和與第三邊的平方比較而得到錯誤的結論. 勾股定理及其逆定理的應用勾股定理及其逆定理在解決一些實際問題或具體的幾何問題中，是密不可分的一個整體通常既要通過逆定理判定一個三角形是直角三角形，又要用勾股定理求出邊的長度，二者相輔相成，完成對問題的解決常見圖形：10、互逆命題的概念如果一個命題的題設和結論分別是另一個命題的結論和題設，這樣的兩個命題叫做互逆命題。如果把其中一個叫做原命題，那么另一個叫做它的逆命題。二、經典例題精講題型一：直接考查勾股定理例.在中，已知，求的長已知，求的長分析：直接應用勾股定理解：題型二：利用勾股定理測量長度

6、例題1 如果梯子的底端離建筑物9米，那么15米長的梯子可以到達建筑物的高度是多少米？解析：這是一道大家熟知的典型的“知二求一”的題。把實物模型轉化為數學模型后，.已知斜邊長和一條直角邊長，求另外一條直角邊的長度，可以直接利用勾股定理！根據勾股定理ac2+bc2=ab2, 即ac2+92=152,所以ac2=144,所以ac=12.例題2 如圖（8），水池中離岸邊d點1.5米的c處，直立長著一根蘆葦，出水部分bc的長是0.5米，把蘆葦拉到岸邊，它的頂端b恰好落到d點，并求水池的深度ac.解析：同例題1一樣，先將實物模型轉化為數學模型，如圖2. 由題意可知acd中,acd=90°,在rt

7、acd中，只知道cd=1.5，這是典型的利用勾股定理“知二求一”的類型。標準解題步驟如下（僅供參考）：解：如圖2，根據勾股定理，ac2+cd2=ad2 設水深ac= x米，那么ad=ab=ac+cb=x+0.5x2+1.52=（ x+0.5）2解之得x=2.故水深為2米.題型三：勾股定理和逆定理并用例題3 如圖3，正方形abcd中，e是bc邊上的中點，f是ab上一點，且那么def是直角三角形嗎？為什么？解析：這道題把很多條件都隱藏了，乍一看有點摸不著頭腦。仔細讀題會意可以發現規律，沒有任何條件，我們也可以開創條件，由可以設ab=4a，那么be=ce=2 a,af=3 a,bf= a,那么在rt

8、afd 、rtbef和 rtcde中，分別利用勾股定理求出df,ef和de的長，反過來再利用勾股定理逆定理去判斷def是否是直角三角形。 詳細解題步驟如下：解：設正方形abcd的邊長為4a,則be=ce=2 a,af=3 a,bf= a在rtcde中，de2=cd2+ce2=(4a)2+(2 a)2=20 a2同理ef2=5a2, df2=25a2在def中，ef2+ de2=5a2+ 20a2=25a2=df2def是直角三角形，且def=90°.注：本題利用了四次勾股定理，是掌握勾股定理的必練習題。題型四：利用勾股定理求線段長度例題4 如圖4，已知長方形abcd中ab=8cm,b

9、c=10cm,在邊cd上取一點e，將ade折疊使點d恰好落在bc邊上的點f，求ce的長.解析：解題之前先弄清楚折疊中的不變量。合理設元是關鍵。詳細解題過程如下：解：根據題意得rtadertaefafe=90°, af=10cm, ef=de設ce=xcm，則de=ef=cdce=8x在rtabf中由勾股定理得：ab2+bf2=af2，即82+bf2=102，bf=6cmcf=bcbf=106=4(cm)在rtecf中由勾股定理可得：ef2=ce2+cf2，即(8x) 2=x2+426416x+x2=2+16x=3(cm),即ce=3 cm注：本題接下來還可以折痕的長度和求重疊部分的面

10、積。題型五：利用勾股定理逆定理判斷垂直例題5 如圖5，王師傅想要檢測桌子的表面ad邊是否垂直與ab邊和cd邊，他測得ad=80cm，ab=60cm，bd=100cm，ad邊與ab邊垂直嗎？怎樣去驗證ad邊與cd邊是否垂直？解析：由于實物一般比較大，長度不容易用直尺來方便測量。我們通常截取部分長度來驗證。如圖4，矩形abcd表示桌面形狀，在ab上截取am=12cm,在ad上截取an=9cm(想想為什么要設為這兩個長度？)，連結mn，測量mn的長度。如果mn=15,則am2+an2=mn2,所以ad邊與ab邊垂直；如果mn=a15,則92+122=81+144=225, a2225,即92+122

11、 a2，所以a不是直角。利用勾股定理解決實際問題例題6 有一個傳感器控制的燈，安裝在門上方，離地高4.5米的墻上，任何東西只要移至5米以內，燈就自動打開，一個身高1.5米的學生，要走到離門多遠的地方燈剛好打開？解析：首先要弄清楚人走過去，是頭先距離燈5米還是腳先距離燈5米，可想而知應該是頭先距離燈5米。轉化為數學模型，如圖6 所示，a點表示控制燈，bm表示人的高度，bcmn,bcan當頭（b點）距離a有5米時，求bc的長度。已知an=4.5米,所以ac=3米，由勾股定理，可計算bc=4米.即使要走到離門4米的時候燈剛好打開。題型六：旋轉問題：例1、如圖，abc是直角三角形，bc是斜邊，將abp

12、繞點a逆時針旋轉后，能與acp重合，若ap=3，求pp的長。變式1：如圖，p是等邊三角形abc內一點，pa=2,pb=,pc=4,求abc的邊長.分析：利用旋轉變換，將bpa繞點b逆時針選擇60°，將三條線段集中到同一個三角形中，根據它們的數量關系，由勾股定理可知這是一個直角三角形.變式2、如圖，abc為等腰直角三角形，bac=90°，e、f是bc上的點，且eaf=45°，試探究間的關系，并說明理由. 題型七：關于翻折問題例1、如圖，矩形紙片abcd的邊ab=10cm，bc=6cm，e為bc上一點，將矩形紙片沿ae折疊，點b恰好落在cd邊上的點g處，求be的長.變

13、式：如圖，ad是abc的中線，adc=45°，把adc沿直線ad翻折，點c落在點c的位置，bc=4,求bc的長.題型八：關于勾股定理在實際中的應用：例1、如圖，公路mn和公路pq在p點處交匯，點a處有一所中學，ap=160米，點a到公路mn的距離為80米，假使拖拉機行駛時，周圍100米以內會受到噪音影響，那么拖拉機在公路mn上沿pn方向行駛時，學校是否會受到影響，請說明理由；如果受到影響，已知拖拉機的速度是18千米/小時，那么學校受到影響的時間為多少？ 題型九：關于最短性問題例5、如右圖119，壁虎在一座底面半徑為2米，高為4米的油罐的下底邊沿a處，它發現在自己的正上方油罐上邊緣的b

14、處有一只害蟲，便決定捕捉這只害蟲，為了不引起害蟲的注意，它故意不走直線，而是繞著油罐，沿一條螺旋路線，從背后對害蟲進行突然襲擊結果，壁虎的偷襲得到成功，獲得了一頓美餐請問壁虎至少要爬行多少路程才能捕到害蟲?（取3.14，結果保留1位小數，可以用計算器計算）變式：如圖為一棱長為3cm的正方體，把所有面都分為9個小正方形，其邊長都是1cm，假設一只螞蟻每秒爬行2cm，則它從下地面a點沿表面爬行至右側面的b點，最少要花幾秒鐘？三、課后訓練：一、填空題coabdef第3題圖dbca第4題圖1如圖(1)，在高2米，坡角為30°的樓梯表面鋪地毯，地毯的長至少需_米圖(1)2種盛飲料的圓柱形杯（如

15、圖），測得內部底面半徑為2.5，高為12，吸管放進杯里，杯口外面至少要露出4.6，問吸管要做 。3已知：如圖，abc中，c = 90°，點o為abc的三條角平分線的交點，odbc，oeac，ofab，點d、e、f分別是垂足，且bc = 8cm，ca = 6cm，則點o到三邊ab，ac和bc的距離分別等于                        

16、;         cm4在一棵樹的10米高處有兩只猴子，一只猴子爬下樹走到離樹20米處的池塘的a處。另一只爬到樹頂d后直接躍到a處，距離以直線計算，如果兩只猴子所經過的距離相等，則這棵樹高_米。5.如圖是一個三級臺階，它的每一級的長寬和高分別為20dm、3dm、2dm，a和b是這個臺階兩個相對的端點，a點有一只螞蟻，想到b點去吃可口的食物，則螞蟻沿著臺階面爬到b點最短路程是_.二、選擇題1已知一個rt的兩邊長分別為3和4，則第三邊長的平方是（） a、25b、14c、7d、7或252rt一直角邊的長為11，另兩邊為

17、自然數，則rt的周長為（） a、121b、120c、132d、不能確定3如果rt兩直角邊的比為512，則斜邊上的高與斜邊的比為（） a、6013b、512c、1213d、601694已知rtabc中，c=90°，若a+b=14cm，c=10cm，則rtabc的面積是（） a、24cm2b、36cm2c、48cm2d、60cm25等腰三角形底邊上的高為8，周長為32，則三角形的面積為（） a、56b、48c、40d、32abefdc第7題圖6某市在舊城改造中，計劃在市內一塊如圖所示的三角形空地上種植草皮以美化環境，已知這種草皮每平方米售價a元，則購買這種草皮至少需要（） a、450a元

18、b、225a 元c、150a元 d、300a元150°20m30m第6題圖7已知，如圖長方形abcd中，ab=3cm，ad=9cm，將此長方形折疊，使點b與點d重合，折痕為ef，則abe的面積為（） a、6cm2b、8cm2c、10cm2d、12cm28在abc中，ab=15，ac=13，高ad=12，則abc的周長為a42 b32 c42或32d37或339. 如圖，正方形網格中的abc，若小方格邊長為1，則abc是 （ ）（a）直角三角形 (b)銳角三角形 (c)鈍角三角形 (d)以上答案都不對三、計算1、如圖，a、b是筆直公路l同側的兩個村莊，且兩個村莊到直路的距離分別是300

19、m和500m，兩村莊之間的距離為d(已知d2=400000m2)，現要在公路上建一汽車停靠站，使兩村到停靠站的距離之和最小。問最小是多少？2、如圖1-3-11，有一塊塑料矩形模板abcd，長為10cm，寬為4cm，將你手中足夠大的直角三角板 phf 的直角頂點p落在ad邊上（不與a、d重合），在ad上適當移動三角板頂點p：能否使你的三角板兩直角邊分別通過點b與點c？若能，請你求出這時 ap 的長；若不能，請說明理由.再次移動三角板位置，使三角板頂點p在ad上移動，直角邊ph 始終通過點b，另一直角邊pf與dc的延長線交于點q，與bc交于點e，能否使ce=2cm？若能，請你求出這時ap的長；若不

20、能，請你說明理由.四、思維訓練：1、如圖所示是從長為40cm、寬為30cm的矩形鋼板的左上角截取一塊長為20cm，寬為10cm的矩形后，剩下的一塊下腳料。工人師傅要將它做適當的切割，重新拼接后焊成一個面積與原下腳料的面積相等，接縫盡可能短的正方形工件，請根據上述要求，設計出將這塊下腳料適當分割成三塊或三塊以上的兩種不同的拼接方案（在圖2，3中分別畫出切割時所沿的虛線，以及拼接后所得到的正方形，保留拼接的痕跡）。 2、葛藤是一種刁鉆的植物，它自己腰桿不硬，為了爭奪雨露陽光，常常饒著樹干盤旋而上，它還有一手絕招，就是它繞樹盤升的路線，總是沿著短路線盤旋前進的。難道植物也懂得數學嗎？如果閱讀以上信息

21、，你能設計一種方法解決下列問題嗎？如果樹的周長為3 cm，繞一圈升高4cm，則它爬行路程是多少厘米？如果樹的周長為8 cm，繞一圈爬行10cm，則爬行一圈升高多少厘米？如果爬行10圈到達樹頂，則樹干高多少厘米？3、在，abc中，acb=90°，cdab于d,求證：。1 過兩點有且只有一條直線 2 兩點之間線段最短 3 同角或等角的補角相等 4 同角或等角的余角相等 5 過一點有且只有一條直線和已知直線垂直 6 直線外一點與直線上各點連接的所有線段中，垂線段最短 7 平行公理 經過直線外一點，有且只有一條直線與這條直線平行 8 如果兩條直線都和第三條直線平行，這兩條

22、直線也互相平行 9 同位角相等，兩直線平行 10 內錯角相等，兩直線平行 11 同旁內角互補，兩直線平行 12兩直線平行，同位角相等 13 兩直線平行，內錯角相等 14 兩直線平行，同旁內角互補 15 定理 三角形兩邊的和大于第三邊 16 推論 三角形兩邊的差小于第三邊 17 三角形內角和定理 三角形三個內角的和等于180° 18 推論1 直角三角形的兩個銳角互余 19 推論2 三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的和 20 推論3 三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內角 21 全等三角形的對應邊、對應角相等 22邊角邊公理(sas) 有兩邊和它們的夾角對應相等的兩個三角形

23、全等 23 角邊角公理( asa)有兩角和它們的夾邊對應相等的兩個三角形全等 24 推論(aas) 有兩角和其中一角的對邊對應相等的兩個三角形全等 25 邊邊邊公理(sss) 有三邊對應相等的兩個三角形全等 26 斜邊、直角邊公理(hl) 有斜邊和一條直角邊對應相等的兩個直角三角形全等 27 定理1 在角的平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等 28 定理2 到一個角的兩邊的距離相同的點，在這個角的平分線上 29 角的平分線是到角的兩邊距離相等的所有點的集合 30 等腰三角形的性質定理 等腰三角形的兩個底角相等 (即等邊對等角） 31 推論1 等腰三角形頂角的平分線平分底邊并且垂直于底邊 32 等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線和底邊上的高互相重合 33 推論3 等邊三角形的各角都相等，并且每一個角都等于60° 34 等腰三角形的判定定理 如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等（等角對等邊） 35 推論1 三個角都相等的三角形是等邊三角形 36 推論 2 有一個角等于60°