1、1第第3章章 試驗的方差分析試驗的方差分析 試驗結果試驗結果s受多個因素受多個因素ai影響，其函數關系為：影響，其函數關系為： sf (a1，a2，an) 但影響的程度各不相同，如何通過試驗數據來但影響的程度各不相同，如何通過試驗數據來確定因素的影響程度呢？確定因素的影響程度呢？ 方差方差標準差的平方，表征標準差的平方，表征xi 與與 的偏離程度。的偏離程度。方差分析方差分析利用試驗數據與均值的偏離程度來判利用試驗數據與均值的偏離程度來判斷各因素對試驗結果影響顯著性程度的方法。斷各因素對試驗結果影響顯著性程度的方法。方差分析實質上是研究方差分析實質上是研究自變量（因素）與因變量自變量（因素）與

2、因變量（試驗結果）的相互關系（試驗結果）的相互關系x2基本概念基本概念試驗設計中的有關術語介紹試驗設計中的有關術語介紹 1、指標、指標 在試驗中用來衡量試驗效果的標準或特性在試驗中用來衡量試驗效果的標準或特性單指標單指標衡量試驗效果的標準只有一個衡量試驗效果的標準只有一個多指標多指標衡量試驗效果的標準多于一個衡量試驗效果的標準多于一個定量指標定量指標能直接用數量來表示的指標能直接用數量來表示的指標定性指標定性指標不能直接用數量來表示的指標不能直接用數量來表示的指標32、因素、因素對試驗指標會產生影響的原因要素，也稱因子對試驗指標會產生影響的原因要素，也稱因子可控因素可控因素可人為地加以調節和控

3、制的因素，可人為地加以調節和控制的因素，如：加藥量、溫度、液固比、反應時間等。如：加藥量、溫度、液固比、反應時間等。不可控因素不可控因素暫時不能人為調節和控制的因暫時不能人為調節和控制的因素，例如：氣候的變化、大氣壓、室溫等。素，例如：氣候的變化、大氣壓、室溫等。數量性因素數量性因素可量化的因素，如反應溫度可量化的因素，如反應溫度屬性因素屬性因素不可量化的因素，如催化劑種類。不可量化的因素，如催化劑種類。43 、水平、水平因素在試驗中所選取的具體狀態。因素在試驗中所選取的具體狀態。例如：例如：反應時間：取反應時間：取2h、4h、6h，則表示時間因素，則表示時間因素有三個水平。有三個水平。水平可

4、以用水平可以用1、2、3來代表，也可以用來代表，也可以用+1，0，-1代表高、中、低三個水平。代表高、中、低三個水平。 單因素方差分析單因素方差分析只針對一個試驗因素只針對一個試驗因素多因素試驗方差分析多因素試驗方差分析同時針對多個試驗同時針對多個試驗因素進行的方差分析因素進行的方差分析其中，雙因素方差分析最常見。其中，雙因素方差分析最常見。 53.1 單因素試驗的方差分析單因素試驗的方差分析1. 單因素試驗方差分析基本問題單因素試驗方差分析基本問題討論一種因討論一種因素對試驗結果有無顯著影響的問題素對試驗結果有無顯著影響的問題設：因素設：因素a有有r 種水平種水平al, a2，ar，在每種水

5、平下的，在每種水平下的試驗結果服從正態分布。如果在各水平下分別做了試驗結果服從正態分布。如果在各水平下分別做了ni（i=1，2，r）次試驗：）次試驗：問：因素問：因素a對試驗結果對試驗結果是否有顯著影響？是否有顯著影響？ijxi 表示因素表示因素a對應的水平對應的水平 j 表示在表示在i 水平上水平上的第的第 j 次試驗次試驗 62. 方差分析基本步驟方差分析基本步驟 iiijitxn xinj=1組內和組內和 :ix1iijixxninj=1，(i=1,2, ,r)(1) 計算平均值計算平均值同一水平的平均值，又稱同一水平的平均值，又稱組內平均值組內平均值，11111rriijiiiixxn

6、 xtnnninrj=1i=1總平均值總平均值: 式中：式中： n為總試驗數為總試驗數 7(2) 計算計算離差平方和離差平方和 各試驗結果之間的差異，可用離差平方和來表示各試驗結果之間的差異，可用離差平方和來表示 總離差平方和總離差平方和： 反映試驗結果之間存在的總差異反映試驗結果之間存在的總差異。 21()rtijissxxinj=1組間離差平方和組間離差平方和水平項離差平方和水平項離差平方和 2211()()rriaiiiissxxn xxinj=1組內離差平方和組內離差平方和 誤差項離差平方和誤差項離差平方和 21()reijiissxxinj=1關系：關系： sstssasse 8(3

7、) 計算自由度計算自由度 sst對應的自由度，稱對應的自由度，稱總自由總自由度度：dft = n-1 ssa對應的自由度，稱對應的自由度，稱組間自由度組間自由度：dfa = r-1 sse對應的自由度，稱對應的自由度，稱組內自由度組內自由度：dfe = n-r(4) 計算平均平方計算平均平方 用用離差平方和除以自由度得平均平方離差平方和除以自由度得平均平方，簡稱均方，簡稱均方 組間均方：組間均方： /aaamsssdf 組內均方組內均方(又稱為誤差均方又稱為誤差均方)：/eeemsssdf9(5) f檢驗檢驗 組間均方和組內均方之比組間均方和組內均方之比f是一個統計量是一個統計量: fa =

8、組間均方組間均方 / 組內均方組內均方 = msa/mse 它服從自由度為它服從自由度為(dfa，dfe)的的f 分布，記為分布，記為 f (dfa, dfe）如果如果fa f (dfa, dfe），則認為因素），則認為因素a對試驗結果有顯著對試驗結果有顯著影響影響，否則認為因素，否則認為因素a對試驗結果沒有顯著影響。對試驗結果沒有顯著影響。 顯著性程度實質上是指該因素確實是有影響的這個結顯著性程度實質上是指該因素確實是有影響的這個結論的可靠性程度，即有多少把握說這個因素確有影響。論的可靠性程度，即有多少把握說這個因素確有影響。 設沒有把握部分為設沒有把握部分為，則可靠性為，則可靠性為1 -

9、, 稱為風險，又稱為風險，又稱為顯著性水平。稱為顯著性水平。 通常取通常取0.01或或0.05 f (dfa, dfe）可從教材附錄中查取（）可從教材附錄中查取（p.216221）10(6) 列出方差分析表列出方差分析表 1.若若fa f0.01 (dfa，dfe)，就稱因素，就稱因素a對試驗結果有對試驗結果有非非常顯著的影響，用兩個常顯著的影響，用兩個 “*”號表示號表示；2.若若f0.05 (dfa，dfe)fa f0.01 (dfa，dfe)，則因素，則因素a對試對試驗結果驗結果有顯著的影響，用一個有顯著的影響，用一個“*”號表示號表示；3.若若fa f(dfa, dfe)，認為因素，認

10、為因素a對試驗結果有顯著影響對試驗結果有顯著影響, 否則認為沒有顯著影響。否則認為沒有顯著影響。服從自由度為服從自由度為(dfa, dfe)的的f 分布分布 aaemsfms服從自由度為服從自由度為(dfb, dfe)的的f 分布分布bbemsfms fb f(dfb, dfe)，認為因素，認為因素b對試驗結果有顯著影響對試驗結果有顯著影響, 否則認為沒有顯著影響。否則認為沒有顯著影響。18(6) 列出方差分析表列出方差分析表 若若fa f0.01 (dfa，dfe)，則因素，則因素a的影響非常顯著，的影響非常顯著， “*” 若若f0.05 (dfa，dfe)fa f0.01 (dfa，dfe)，則因素，則因素a對試驗對試驗結果有顯著的影響，用一個結果有顯著的影響，用一個“*”號表示號表示 若若fa f(dfa, dfe)，認為因素，認為因素a對試驗結果有顯著影響對試驗結果有顯著影響, 否則認為沒有顯著影響。否則認為沒有顯著影響。服從自由度為服從自由度為(dfa, dfe)的的f 分布分布 aaemsfms服從自由度為服從自由度為(dfb, dfe)的的f 分布分布bbemsfms fb f(dfb, dfe)，認為因素，認為因素b對試驗結果有顯著影響對試驗結果有顯著影響,