1、拋物線中的定值、定點(diǎn)問(wèn)題例1過(guò)拋物線y2 2px（p 0）的焦點(diǎn)的一條直線和此拋物線交于A(Xi,yJ , B(X2, y2)兩點(diǎn)，求證:2y2p【規(guī)范解答】證法一：因直線AB過(guò)焦點(diǎn)fo），可設(shè)其方程為x my號(hào)，代入屮2pX得 y2 2p(my )，即 y22pmy2p 0.該方程的兩根就xmy子是兩個(gè)交點(diǎn)A，B的縱坐標(biāo)y1, y2，由韋達(dá)定理：y“2證法二：因代B在拋物線上,故可設(shè)2 2喑從畤Q又F（i，0），故FA2p,y1), fb 嚴(yán)2p知2），因A，F(xiàn)，B三點(diǎn)共線，所以y22(舊 I)y1移項(xiàng)分解因式得:2(ym p )0 y2)0，其中力2y2p 證法三：如圖1，過(guò)點(diǎn)A,B,F分

2、別作準(zhǔn)線的垂線，垂足為Ai,BFi.要證明 y2p2，只要證明AFi| |EFi|FiF2.AFAiAF所以1AA,B1BF2 ；同理 34.而1800 ( A1A / B1B ),故41800,3 90. A1FB1 90.由直角三角形的性質(zhì)得:2A1F1 B1F1F1FI .At-12/a審-VB【回顧】（1）從解題方法來(lái)看，對(duì)于直線與圓錐曲線相交的問(wèn)題，一般有“設(shè)線”（證法一）和“設(shè)點(diǎn)”（證法二）兩種選擇，但也可考慮通過(guò)定義用“幾何方法”來(lái)解答（證法三）（特別是與焦點(diǎn)有關(guān)的問(wèn)題）；(2)從解題細(xì)節(jié)來(lái)看，證法一選擇設(shè)直線方程為x my 而非y k(x )，為什么首先，這樣代2 2入可消去X

3、直達(dá)目標(biāo)yjy2p2，運(yùn)算便捷；其次，本題中直線可能與y軸平行而斜率不存在，但不可能與y軸垂直，設(shè)X my p省去了討論的麻煩；證法二中用向量表達(dá)三點(diǎn)共線而沒(méi)有使用斜率也有同2樣的考慮；(3 )從知識(shí)內(nèi)容來(lái)看，拋物線的方程和定義是解題的依據(jù)，韋達(dá)定理及三角形和向量的有關(guān)知識(shí)是解析幾何的常用工具，而所證明的結(jié)論表明：對(duì)于拋物線而言，雖然過(guò)焦點(diǎn)的弦有無(wú)數(shù)條，但每一條焦點(diǎn)弦的2兩端到對(duì)稱軸的距離之積總等于p“寓定于變”展示了幾何圖形的美妙和諧！借題發(fā)揮在證法一中若改變 AB直線的預(yù)設(shè)并在聯(lián)立方程中消去y后,觀察x1, x2之積得：2變式1條件同例1，則x1x2 p =定值。4以AB為直徑作圓，考察該

4、圓與準(zhǔn)線的位置關(guān)系得：變式2條件同例1，則以AB為直徑的圓與準(zhǔn)線相切。設(shè)直線AB的傾斜角為，計(jì)算AB弦長(zhǎng)得：變式3條件同例1,設(shè)直線AB的傾斜角為 ，則| AB | 弓.(由此立刻得到：當(dāng)900時(shí)焦點(diǎn)弦sin最短，AB min 2 p,我們稱這條弦為 通徑)在變式2中,計(jì)算S AOB得：2變式4條件如變式3，則S AOB P.2 si n提示：給出傾斜角為 ，意味著斜率k tan (先驗(yàn)證900時(shí)AB 2p)，設(shè)直線AB的方程為y k(x 嶼代入y2 2px可得捲 x?，由于AB過(guò)焦點(diǎn)，依據(jù)拋物線的定義可得焦點(diǎn)弦2AB x1 x2 p，代入后化簡(jiǎn)可得結(jié)論.同學(xué)們也可以嘗試在圖 1中用幾何方法證

5、明.結(jié)合拋物線定義與韋達(dá)定理 ,研究AF BF例數(shù)之和得：112變式5條件同例1，求證：為定值一.|AF| |BF|p將結(jié)論視作條件，逆向變式得：變式6 一條直線與拋物線y2 2 px( p 0)交于A(x1, y1)， B(x2, y2)兩點(diǎn)，滿足：y1y2p2(或2XlX2），則這條直線過(guò)此拋物線的焦點(diǎn)4我們可以把上面的變式歸納如下:方法點(diǎn)撥拋物線焦點(diǎn)弦的兩端點(diǎn)的橫（縱）坐標(biāo)之積為定值是一個(gè)經(jīng)典結(jié)論，若增設(shè)已知條件、改變?cè)O(shè)問(wèn)方式、變換研究問(wèn)題視角包括逆向考慮可得很多優(yōu)美結(jié)論小結(jié)論通徑公式:I ABI2p 2 sin變式7 一條直線與拋物線2y 2px(p 0)交于 A(xi,yi)， B(X2, y2)兩點(diǎn)，滿足