1、2反常積分的收斂判別法反常積分的Cauchy收斂原理下面以y（x）dx為例來探討反常積分斂散性的判別法。由于反常積分兀皿收斂即為極限lim Cfdx存在，因此對J aA400 J a其收斂性的最本質的刻畫就是極限論中的Cauchy收斂原理，它可以 表述為如下形式：2反常積分的收斂判別法反常積分的Cauchy收斂原理下面以7（x）為例來探討反常積分斂散性的判別法。由于反常積分兀）dx收斂即為極限lim A fx）dx存在，因此對J aJ ci其收斂性的最本質的刻畫就是極限論中的Cauchy收斂原理，它可以 表述為如下形式：定理& 2.1 （Cauchy收斂原理） 反常積分f（x）dx收斂的充 分

2、必要條件是:對任意給定的$ 0，存在人 m 使得對任意人理 4。, 有fx）dx o,由于jfVid尢收斂，所以存在人,得對任意Ao,成立I /(x) dx sf 3)clx I /(x)l dx利用定積分的性質,得到由Cauchy收斂原理，可知廣f (x)dx收斂。雖然Cauchy收斂原理是判別反常積分收斂性的充分必要條件， 但是對于具體的反常積分，在使用上往往比較困難，因此需要導出一 些便于使用的收斂判別法。我們先討論非負函數反常積分的收斂判別法。非負函數反常積分的收斂判別法 定理8.2.2 (比較判別法)設在S,+oo)上恒有0 /(x) K(p(x),其中K是正常數。則(1)當廠cp(

3、x)dx收斂時J f (x)dx也收斂;(2 )當J f (x)dx發散時cpx)dx也發散。例82.1討論廣需氷的斂散性(。是常數)。解因為當兀nl時有cos 2% sin xyjx3 + a2在例8.1.2中，已知r-dx收斂，由比較判別法，gsing絕 xQxW+q2對收斂，所以廣cos25%收斂。注意:在以上定理中,條件“在a,+ 8)上怛有0 /(x) a 9在4,+ oo)上怛有0 f(x) 0和 （px） 0 9 且lim = I,fK0 0（兀）則（1）若 0 / 4-co ,則 J （px）dx 收斂時 J f（x）dx 也收斂；（2）若0/ +8 9 則0（x）dx發散時8

4、 f（x）dx也發散。所以,當OvZv+8時,廣換兀）dx和廣于（兀皿同時收斂或同時發散。證若lim公LECO 0(兀)/ a ,當xA時成立 管,即/W (/+ 1)0(無)O于是，由比較判別法,當8p(x)dx收斂時8y也收斂。證若陀話則存在常數心，當宀時成立0（兀）/（兀）（忙也收斂。(2)若 lim 四=/0,X卄0 0(兀)存在常數Aa,使得當4時成立其中or lg）。于是，由比較判別法，當8於皿發散時廠M）dX也發散。例& 2. 2解因為討論1#兀4 + 3兀3 + 5兀2 + 2兀一 1dx的斂散性。limxT+oo/x4 + 3x3 + 5x2 + 2x -1由于J去必收斂，所

5、以iVx4 + 3x3 + 5x2 + 2x -1dx收斂。例& 2. 2解因為討論1馮x。+ 3兀3 + 5兀2 + 2兀一 1心的斂散性。limxT+oo/x4 + 3x3 + 5x2 + 2x -1由于J去必收斂，所以dx收斂。iVx4 + 3x3 + 5x2 + 2x -1將定理8. 2. 2中的(p(Q取為,就得到如下的Cauchy判別法: 定理& 2.3 (Cauchy判別法)設在S, + s)u(O, + 0o)上恒有 /(x) 0 , K是正常數。(1) 若 /(x) 1,則 f(x)dx 收斂；xpJa(2) 若 /(%) ,且pWl,則f(x)dx 發散。XpJd推論(Ca

6、uchy判別法的極限形式)設在q, + s) u (0, + s)上恒有 fMo,且lim xpf(x) = I)x+O(1) 0Z +co ,且 p1f(x)dx 收斂; 若 0 / +oo ,且 /? 1 ,則 f f (x)dx發散。J a推論(Cauchy判別法的極限形式)設在k, + oo) u (0, + s)上恒有 且lim xpf(x) = I ,XT+OO則(1) 若 0 / 則 J f (x)dx 收斂；(2) 若 0 / +oo ,且 /? +00證 設是任意給定的正數。(1)若Abel判別法條件滿足，記G是lg(Q在S, + 8)的一個上界，因為?fWx收斂，由Cauc

7、hy收斂原理，存在Ao ,使得對任意由積分第二中值定理, irA, Ar Aq 9f(x)g(x)dx 電(繃：/(兀皿+|gI:f(x)dx G |J/(x)|+ GIJ f(x)dx a ,顯然有a,當兀觀時，有于是，對任意A,Af Ag ,J： f(x)g(x)dx |g(A)f (x)dx +|g(Az)|-|f(x)dx 2M g(A)l+2M I g I 0,存在50,使得對任意Z礦W (00)， 有：；f(Qdx 0,若當 兀屬于b的某個 左鄰域b-%,b）時，存在正常數心 使得（X）V ：）p 且PK(b- x)p)且 p 則 hfx)dx 發散。推論(Cauchy判別法的極限

8、形式)設在上恒有/(%)0 , 且hm(b-xyf(x) = l,xfb-則(1) 0Z +C0 5 且 p 1， 則f(x)dx收斂；若 0 I 1 ,則發散。定理825,若下列兩個條件之一滿足，則f(x)g(x)dx收斂： (Abel判別法)收斂，g(x)在a, Z?)_h單調有界； (2) (Dirichlet 判別法)F() = /O)dx在(0,b-上有界，g(x) 在a, b)上單調且lim g(x) = 0 oxTb例& 2.6討論的斂散性（PeR+） o xp lnx解 這是個定號的反常積分，兀=0是它的唯一奇點。當 0p1時，取勺=丘（1，卩），則Xqlim = +00 ,x

9、to+ x/?|lnx 由Cauchy判別法的極限形式，十一發散。x p In x當P = 1時，可以直接用NewtomLeibniz公式得到f 1/eJodxxnxlim lnl In xll/L70+I=CO o因此，當0陽1時，反常積分收斂;x in x當卩n 1時，反常積分J：dxxp nx發散。例& 2.7討論Jsin丄必的斂散性(p2)o 解 令于= -ysin-, g(x) = x2p。X X1=cos UJX1對于7 e (0,1),有f1 f(x)dx =丄 sin 丄 dr = _sin 丄 dJr7J7 JT 無比 X所以/(兀皿有界；而g(x)顯然在(0,1單調，且時,

10、lim g(x) = lim x2/? = 0 oXT0+xT0+由無界函數反常積分的Dirichlet判別法，&sin%收斂。當pvl時，有11 1一sin 一 ,0 X xp由比較判別法，此時isin-dx絕對收斂。而利用例824類似的方法 X X可以得到,當12時，sindr條件收斂。 x1 x注 事實上，若對jjsinb作變量代換兀丄 就可將它化為 X1 Xtr+8 sinfJi 戸 dt,利用無窮區間反常積分的Dirichlet判別法，可以得到同樣的結果。對兩種類型反常積分并存（或多個奇點）的情況，應先將積分區 間適當拆分。例& 2. 8討論廠x-plx 1P+Gdx的斂散性(p,q

11、 eR ) o解 因為兀=0和兀=1可能是被積函數的奇點，積分區間也無界, 所以將其拆成( 4-00 JC-P f 1dxr +codxh I兀一 ll+ 一(l_Q“+q +J1 xp- .(x-l )P+7 要使積分收斂，考慮奇點X = O,應要求p-;考慮奇點x = l, 應要求p+q1時積分收斂。所以，只有當喰同時滿秋爲甘-時,積分+00dx才收斂。上一節中已經提到，在廠7（兀皿收斂的情況下，即使于在a+oo） 上斤次可微，也不能導出/d）在+8）有界的結論。作為反常積分 Cauchy收斂原理的一個應用，下面證明，只要把條件換成“ /（兀）一致 連續”（注意這個條件并不比“可微”強，兩者是互不包含的），就 可以得到：例& 2. 9設廣7（朗必收斂，且/在a,+oo） 致連續，則lim /（x） = 0 ox-+a）證用反證法。若當XT+8時于(朗不趨于零，則由極限定義，存在0,對于 任意給定的Xa,存在x0X,使得I/O。)In 5。又因為/(X)在a,+8)致連續，所以對于y 0,存在a,只要10-xl，就有1/(x0