1、上一頁下一頁目 錄退 出熱力學與統(tǒng)計物理學的研究方法熱力學與統(tǒng)計物理學的研究方法微觀粒子微觀粒子觀察和實驗觀察和實驗出出 發(fā)發(fā) 點點熱力學驗證統(tǒng)計物理學，統(tǒng)計物理學揭示熱熱力學驗證統(tǒng)計物理學，統(tǒng)計物理學揭示熱力學本質力學本質二者關系二者關系無法自我驗證無法自我驗證不深刻不深刻缺缺 點點揭露本質揭露本質普遍，可靠普遍，可靠優(yōu)優(yōu) 點點統(tǒng)計平均方法統(tǒng)計平均方法力學規(guī)律力學規(guī)律總結歸納總結歸納邏輯推理邏輯推理方方 法法微觀量微觀量宏觀量宏觀量物物 理理 量量熱現(xiàn)象熱現(xiàn)象熱現(xiàn)象熱現(xiàn)象研究對象研究對象微觀理論微觀理論（統(tǒng)計物理學）（統(tǒng)計物理學）宏觀理論宏觀理論（熱力學）（熱力學）上一頁下一頁目 錄退 出熱

2、力學與統(tǒng)計物理學的研究方法熱力學與統(tǒng)計物理學的研究方法動力學規(guī)律動力學規(guī)律: 確定性的理論確定性的理論. 在一定的初始條件下在一定的初始條件下,某一時刻系統(tǒng)必然處于一定狀態(tài)某一時刻系統(tǒng)必然處于一定狀態(tài).統(tǒng)計規(guī)律統(tǒng)計規(guī)律: 非確定性的理論非確定性的理論. 由于宏觀系統(tǒng)中粒子數(shù)的巨大和粒子相互作用的隨即性由于宏觀系統(tǒng)中粒子數(shù)的巨大和粒子相互作用的隨即性,無法跟蹤單個無法跟蹤單個粒子進行研究粒子進行研究,也使得系統(tǒng)整體具有了不能歸結為單個粒子行為簡單疊也使得系統(tǒng)整體具有了不能歸結為單個粒子行為簡單疊加的新性質和新規(guī)律加的新性質和新規(guī)律,即統(tǒng)計性質和統(tǒng)計規(guī)律即統(tǒng)計性質和統(tǒng)計規(guī)律.上一頁下一頁目 錄退

3、出熱力學與統(tǒng)計物理學的研究方法熱力學與統(tǒng)計物理學的研究方法伽爾頓板實驗上一頁下一頁目 錄退 出第六章第六章 近獨立粒子及其最概然分布近獨立粒子及其最概然分布概概 論論一、統(tǒng)計物理的基本觀點和方法一、統(tǒng)計物理的基本觀點和方法1、基本觀點：、基本觀點：宏觀物體是由大量微觀粒子組成的。宏觀物體是由大量微觀粒子組成的。物質的宏觀熱物質的宏觀熱性質是由大量微觀粒子運動的集體表現(xiàn)，宏觀物理量是相應微觀量的性質是由大量微觀粒子運動的集體表現(xiàn)，宏觀物理量是相應微觀量的統(tǒng)計平均值。統(tǒng)計平均值。2、方法：深入到微觀，從單個粒子的力學規(guī)律以及粒子間的相互作用、方法：深入到微觀，從單個粒子的力學規(guī)律以及粒子間的相互作

4、用出發(fā)，對大量粒子組成的體系運用概率統(tǒng)計的方法。出發(fā)，對大量粒子組成的體系運用概率統(tǒng)計的方法。二、任何統(tǒng)計理論要涉及解決的三個問題二、任何統(tǒng)計理論要涉及解決的三個問題1、研究對象是什么、研究對象是什么-引入何種假設、模型，如何描述其研究對象的引入何種假設、模型，如何描述其研究對象的運動狀態(tài)（力學、幾何）運動狀態(tài)（力學、幾何）2、如何求出概率分布、如何求出概率分布-這是核心。這是核心。3、如何求出熱力學量的統(tǒng)計表達式。、如何求出熱力學量的統(tǒng)計表達式。本章為本章為7、8章作準備，研究解決前兩個問題。章作準備，研究解決前兩個問題。上一頁下一頁目 錄退 出第六章第六章 近獨立粒子及其最概然分布近獨立粒

5、子及其最概然分布三、本章研究的系統(tǒng)：三、本章研究的系統(tǒng)：近獨立粒子組成的系統(tǒng)近獨立粒子組成的系統(tǒng)粒子：分子、原子、離子、電子、光子等。粒子：分子、原子、離子、電子、光子等。近近獨立：粒子間有相互作用，但可忽略不計。獨立：粒子間有相互作用，但可忽略不計。四、最概然分布四、最概然分布1、分布：指系統(tǒng)中粒子在能級上的填布情況。、分布：指系統(tǒng)中粒子在能級上的填布情況。2、最概然分布：也稱最可幾分布，是概率最大的一種分布。、最概然分布：也稱最可幾分布，是概率最大的一種分布。3、體系有多種不同分布，可以證明，最概然分布出現(xiàn)的概率比其余各、體系有多種不同分布，可以證明，最概然分布出現(xiàn)的概率比其余各種所有可能

6、分布的概率之和好要大得多，因此，體系絕大部分時間處于種所有可能分布的概率之和好要大得多，因此，體系絕大部分時間處于這種分布。故可用最概然分布代替體系處于平衡態(tài)式的分布。這種分布。故可用最概然分布代替體系處于平衡態(tài)式的分布。4、意義：求得最概然分布以后，可求得體系的統(tǒng)計平衡性質。、意義：求得最概然分布以后，可求得體系的統(tǒng)計平衡性質。上一頁下一頁目 錄退 出第六章第六章 近獨立粒子及其最概然分布近獨立粒子及其最概然分布6.16.1、粒子運動狀態(tài)的經典描述、粒子運動狀態(tài)的經典描述6.26.2、粒子運動狀態(tài)的量子描述、粒子運動狀態(tài)的量子描述6.36.3、系統(tǒng)微觀運動狀態(tài)的描述、系統(tǒng)微觀運動狀態(tài)的描述6

7、.46.4、等概率原理、等概率原理6.56.5、分布和微觀狀態(tài)、分布和微觀狀態(tài)6.66.6、玻耳茲曼分布、玻耳茲曼分布6.76.7、玻色分布和費米分布、玻色分布和費米分布6.86.8、三種分布的關系、三種分布的關系上一頁下一頁目 錄退 出6.1 6.1 粒子運動狀態(tài)的經典描述粒子運動狀態(tài)的經典描述 若粒子（系統(tǒng)）有若粒子（系統(tǒng)）有r r個自由度，則研究方法分為以下幾步為個自由度，則研究方法分為以下幾步為: :一、粒子運動狀態(tài)的經典描述確定描述系統(tǒng)力學運動狀態(tài)的確定描述系統(tǒng)力學運動狀態(tài)的r個廣義坐標：個廣義坐標：rqqq,21個廣義動量。相對應的個廣義坐標為與rqqqrppprr,2121）（）

8、；（rrrqqqpppqqq,UU;,EE212121KK寫出系統(tǒng)的拉氏函數(shù)寫出系統(tǒng)的拉氏函數(shù):U-ELK寫出系統(tǒng)的哈密頓量寫出系統(tǒng)的哈密頓量iiqLPrriipppqqqHHLq,PH2121ii；只有保守力時，哈密頓量就是系統(tǒng)的總能量。只有保守力時，哈密頓量就是系統(tǒng)的總能量。研究運動：運動規(guī)律有正則方程確定研究運動：運動規(guī)律有正則方程確定iiiipqqHHP，結論：確定了系統(tǒng)的結論：確定了系統(tǒng)的r個廣義坐標和個廣義坐標和r個廣義動量，就確定了體系的運動狀態(tài)。個廣義動量，就確定了體系的運動狀態(tài)。上一頁下一頁目 錄退 出6.1 6.1 粒子運動狀態(tài)的經典描述粒子運動狀態(tài)的經典描述二、二、 空間

9、空間把遵從經典力學規(guī)律的粒子看作是具有把遵從經典力學規(guī)律的粒子看作是具有r個自由度的力學體系時，近獨個自由度的力學體系時，近獨立粒子的運動狀態(tài)由粒子立粒子的運動狀態(tài)由粒子r個廣義坐標和個廣義坐標和r個廣義動量確定個廣義動量確定-構成一個構成一個2r維抽象空間，稱為維抽象空間，稱為 空間，也稱為粒子相空間。空間，也稱為粒子相空間。空間中任何一點代表力學體系中一個粒子的一個運動狀態(tài)，這個點稱為空間中任何一點代表力學體系中一個粒子的一個運動狀態(tài)，這個點稱為代表點（或相點）。當粒子運動狀態(tài)隨時間改變時，代表點相應地在代表點（或相點）。當粒子運動狀態(tài)隨時間改變時，代表點相應地在空空間中移動，描畫出一條軌

10、跡，稱為相軌跡。間中移動，描畫出一條軌跡，稱為相軌跡。 、相點是一個粒子運動狀態(tài)，而不是粒子，粒子只能在真實空間運動。、相點是一個粒子運動狀態(tài)，而不是粒子，粒子只能在真實空間運動。、任何粒子總可以找到與其對應的、任何粒子總可以找到與其對應的 空間，不同自由度的粒子不能用同一空間，不同自由度的粒子不能用同一空間描述狀態(tài)。空間描述狀態(tài)。、若粒子受、若粒子受 的限制，粒子狀態(tài)只能在能量曲面內，稱為相體積。的限制，粒子狀態(tài)只能在能量曲面內，稱為相體積。、 空間中相軌道不相交，因為在物理問題中空間中相軌道不相交，因為在物理問題中 是單是單值函數(shù)。值函數(shù)。EiiiiipqqHHP，上一頁下一頁目 錄退 出

11、 三、常用粒子的三、常用粒子的 空間及相體積：空間及相體積：1 1、三維自由粒子：自由度：、三維自由粒子：自由度：3 3；空間維數(shù)空間維數(shù)：66.1 6.1 粒子運動狀態(tài)的經典描述粒子運動狀態(tài)的經典描述zmppymppxmppzyx321 ，廣義動量：zqyqxq321 ，廣義坐標：空間：空間：6維抽象空間，相體積元維抽象空間，相體積元:zyxdpdpdxdydzdp相體積：粒子在體積相體積：粒子在體積V內運動，能量介于內運動，能量介于)(21( ,0222zyxpppm即：所以粒子在所以粒子在空間能達到的相體積為：空間能達到的相體積為：23012234222mVdpdpdpVdpdpdpdx

12、dydzmpppzyxzyxVzyx上一頁下一頁目 錄退 出子子的的方方法法：空空間間中中描描述述一一維維自自由由粒粒在在用用x x和和p px x表示粒子的廣義坐標和廣義動量，以表示粒子的廣義坐標和廣義動量，以x x和和p px x為直角坐標，可構成二維的為直角坐標，可構成二維的 空間空間px0Lxpx 空空間間中中的的一一點點代代表表。可可用用，粒粒子子的的一一個個運運動動狀狀態(tài)態(tài)pxx維維的的子子空空間間。維維的的，可可分分解解為為三三個個二二空空間間是是對對于于三三維維的的自自由由粒粒子子，62 2、對于一維自由粒子：（自由度為、對于一維自由粒子：（自由度為1 1）6.1 6.1 粒子

13、運動狀態(tài)的經典描述粒子運動狀態(tài)的經典描述 三、常用粒子的三、常用粒子的 空間及相體積：空間及相體積：相體積為：相體積為：21002mLdpdxPxL上一頁下一頁目 錄退 出3 3、一維線性諧振子（自由度為、一維線性諧振子（自由度為1 1）122222 mxmp6.1 6.1 粒子運動狀態(tài)的經典描述粒子運動狀態(tài)的經典描述 三、常用粒子的三、常用粒子的 空間及相體積：空間及相體積：qp彈性力 mAFkx 振動頻率xmpxx廣義動量廣義坐標;空間：二維正交空間空間：二維正交空間xpx x振動能量這為一橢圓方程，所以其相體積等于這一橢圓的面積能量不同，橢圓也就不同 222212xmmp2222mmm2

14、22m在一定條件下，分子內原子的震動，晶體中在一定條件下，分子內原子的震動，晶體中原子或離子在其平衡位置附近的振動都可以原子或離子在其平衡位置附近的振動都可以看作簡諧運動看作簡諧運動上一頁下一頁目 錄退 出4 4、轉子（雙原子分子的轉動）：自由度為、轉子（雙原子分子的轉動）：自由度為2 26.1 6.1 粒子運動狀態(tài)的經典描述粒子運動狀態(tài)的經典描述考慮質量為考慮質量為m的質點被具有一定長度的輕桿系于原點的質點被具有一定長度的輕桿系于原點O 時所作的運動。時所作的運動。質點在直角坐標下的能量：質點在直角坐標下的能量：)(21222zyxm用球坐標表示用球坐標表示:cossinsincossinr

15、zryrx上一頁下一頁目 錄退 出4 4、轉子、轉子2222121sin,)20( ),0( mrppmrppqq廣義動量廣義坐標量。是質點對原點的轉動慣其中2mrI 6.1 6.1 粒子運動狀態(tài)的經典描述粒子運動狀態(tài)的經典描述sincoscossinsincoscossinsinsincossincossinrrzrrryrrrx)sin(21222222rrrm考慮質點和原點的距離保持不變考慮質點和原點的距離保持不變 ，于是，于是0r )sin(2122222rrm應用于雙原子分子的轉動：自由度為應用于雙原子分子的轉動：自由度為2， 空間維數(shù)：空間維數(shù)：4IMppI2 )sin1(2122

16、22能量：能量：上一頁下一頁目 錄退 出4 4、轉子、轉子6.1 6.1 粒子運動狀態(tài)的經典描述粒子運動狀態(tài)的經典描述2121mmmm1m2m質心上一頁下一頁目 錄退 出4 4、轉子、轉子6.1 6.1 粒子運動狀態(tài)的經典描述粒子運動狀態(tài)的經典描述rMpdpdpdddpdpdd0201sin221222IppIIIIdd220208sin22IMIp2222根據(jù)經典力學，在沒有外力作用的情形下，轉子的總角動量根據(jù)經典力學，在沒有外力作用的情形下，轉子的總角動量 是一個是一個守恒量，其大小和時間都不隨時間改變。由于守恒量，其大小和時間都不隨時間改變。由于 垂直于垂直于 ，質點的運動是在，質點的運

17、動是在垂直于垂直于 的平面內運動。如果選擇軸的平面內運動。如果選擇軸 平行于平行于 ，質點的運動必在，質點的運動必在 平平面上，這時面上，這時 能量簡化為能量簡化為prMrMxy0,2pMMz上一頁下一頁目 錄退 出一、微觀粒子的波粒二象性與測不準關系一、微觀粒子的波粒二象性與測不準關系kp SJhhh.10626. 6;234 都都稱稱為為普普朗朗克克常常量量：和和其其中中 微觀粒子普遍地具有粒子和波動的二象性，一方面是客觀存在的單個實微觀粒子普遍地具有粒子和波動的二象性，一方面是客觀存在的單個實體，另一方面在適當?shù)臈l件下顯示干涉、衍射等波動的現(xiàn)象。體，另一方面在適當?shù)臈l件下顯示干涉、衍射等

18、波動的現(xiàn)象。德布羅意關系：德布羅意關系：的單色平面波、波矢為圓頻率為的自由粒子、動量為能量為對應kp德布羅意波：德布羅意波：適用于一切微觀粒子。適用于一切微觀粒子。SJ .10055.134 6.2 6.2 粒子運動狀態(tài)的量子描述粒子運動狀態(tài)的量子描述德布羅意，薛定諤 普朗克常數(shù)是物理中的基本常數(shù)，普朗克常數(shù)是物理中的基本常數(shù)，它的量綱是它的量綱是時間能量=長度動量=角動量 1927年年 C.J. Davisson & G.P. Germer 戴維森與戴維森與 革末用電子束革末用電子束垂直投射到鎳單晶，做電子轟擊垂直投射到鎳單晶，做電子轟擊鋅板的實驗，隨著鎳的取向變化，鋅板的實驗，隨著鎳的取向

19、變化，電子束的強度也在變化，這種現(xiàn)電子束的強度也在變化，這種現(xiàn)象很像一束波繞過障礙物時發(fā)生象很像一束波繞過障礙物時發(fā)生的衍射那樣。其強度分布可用德的衍射那樣。其強度分布可用德布羅意關系和衍射理論給以解釋。布羅意關系和衍射理論給以解釋。德布羅意波的實驗驗證德布羅意波的實驗驗證-電子衍射實驗電子衍射實驗1 1KGBDU CsUKG德布羅意波的實驗驗證德布羅意波的實驗驗證-電子衍射實驗電子衍射實驗2 2同時英國物理學家同時英國物理學家G.P. Thompson & G.P. Thompson & ReidReid也獨立完成了電子衍射實驗。電也獨立完成了電子衍射實驗。電子束在穿過細晶體粉末或薄金屬片后

20、，子束在穿過細晶體粉末或薄金屬片后，也象也象X X射線一樣產生衍射現(xiàn)象。射線一樣產生衍射現(xiàn)象。德布羅意理論從此得到了有力的證實，德布羅意理論從此得到了有力的證實，獲得獲得19291929年的諾貝爾物理學獎金，年的諾貝爾物理學獎金，DavissonDavisson和和ThompsonThompson則共同分享了則共同分享了19371937年的諾貝爾物理學獎金。年的諾貝爾物理學獎金。 上一頁下一頁目 錄退 出測不準原理：測不準原理：稱為不確定關系：稱為不確定關系hpq 粒子和波動二象性的一個重要結果是微觀粒子不可能同粒子和波動二象性的一個重要結果是微觀粒子不可能同時具有確定的動量和坐標。時具有確定

21、的動量和坐標。的的乘乘積積所所滿滿足足：與與最最精精確確的的描描述述中中，則則在在量量子子力力學學所所容容許許的的的的不不確確定定值值。表表示示相相應應動動量量的的不不確確定定值值，表表示示粒粒子子坐坐標標如如果果以以pqppqq 6.2 6.2 粒子運動狀態(tài)的量子描述粒子運動狀態(tài)的量子描述結論：結論： 不能用不能用q、p描述粒子的運動。即微觀粒子的運動狀態(tài)不是用坐標描述粒子的運動。即微觀粒子的運動狀態(tài)不是用坐標和動量來描述的，而是用波函數(shù)或量子數(shù)來描述的。和動量來描述的，而是用波函數(shù)或量子數(shù)來描述的。海森堡 上一頁下一頁目 錄退 出：表示在：表示在t t時刻在時刻在dxdydzdxdydz內

22、發(fā)現(xiàn)粒子的幾率。內發(fā)現(xiàn)粒子的幾率。dxdydztzyx2,二、狀態(tài)的描述二、狀態(tài)的描述-量子態(tài)量子態(tài)6.2 6.2 粒子運動狀態(tài)的量子描述粒子運動狀態(tài)的量子描述 在量子力學中，微觀粒子的運動狀態(tài)稱為量子態(tài)。量子態(tài)不是用坐標和在量子力學中，微觀粒子的運動狀態(tài)稱為量子態(tài)。量子態(tài)不是用坐標和動量來描述的，而是用波函數(shù)或量子數(shù)來描述的。動量來描述的，而是用波函數(shù)或量子數(shù)來描述的。波函數(shù)滿足薛定諤波動方程：波函數(shù)滿足薛定諤波動方程：zyxVmtiHti,222，或定態(tài)時：定態(tài)時：E,2E22zyxVmH，或波函數(shù)必須是單值、有限、連續(xù)，并且滿足一定邊界條件。波函數(shù)必須是單值、有限、連續(xù)，并且滿足一定邊界

23、條件。上一頁下一頁目 錄退 出二、狀態(tài)的描述二、狀態(tài)的描述-量子態(tài)量子態(tài)6.2 6.2 粒子運動狀態(tài)的量子描述粒子運動狀態(tài)的量子描述例：方匣中運動的微觀粒子例：方匣中運動的微觀粒子cznbynaxnabczyxsinsinsin8波函數(shù)與量子數(shù)波函數(shù)與量子數(shù)nx x、ny y、nz z有關，一組確定的量子數(shù)有關，一組確定的量子數(shù)nx x、ny y、nz z的組的組合，給出一個確定的波函數(shù)，從而確定體系一個量子態(tài)。合，給出一個確定的波函數(shù)，從而確定體系一個量子態(tài)。研究表明：研究表明：波函數(shù)滿足單值、有限、連續(xù)和一定邊界條件時，粒子能量只能波函數(shù)滿足單值、有限、連續(xù)和一定邊界條件時，粒子能量只能取

24、分立值。取分立值。2223228EzyxnnnmVh一般來說，體系有幾個自由度，就有幾個量子數(shù)。一般來說，體系有幾個自由度，就有幾個量子數(shù)。能級給定后：能級給定后： 確定，有多少個滿足這一體系的確定，有多少個滿足這一體系的nx x、ny y、nz z的不同組合數(shù)，該能級就有多少量子態(tài)，的不同組合數(shù)，該能級就有多少量子態(tài)，-稱為能級的簡并度。稱為能級的簡并度。 2222nnnnzyx普朗克傳記上一頁下一頁目 錄退 出1 1、自旋狀態(tài)：、自旋狀態(tài)：6.2 6.2 粒子運動狀態(tài)的量子描述粒子運動狀態(tài)的量子描述三、舉例：三、舉例：關于自旋發(fā)現(xiàn)的趣聞H at s state Real orbit poi

25、nts Expected orbit NSZ如圖z 向磁場，s態(tài)H的軌道分為二條。說明：H有Internal磁矩 （Spin） cosBBU磁矩在外磁場在外磁場B中的勢能為：中的勢能為：則氫原子所受的力為則氫原子所受的力為zzzzzzedzdBeedzdBeedzdBeBBBUfcos若若 一定。則作類平拋運動，二條軌跡說明磁矩有兩個取向。一定。則作類平拋運動，二條軌跡說明磁矩有兩個取向。dzdB上一頁下一頁目 錄退 出1 1、自旋狀態(tài)：、自旋狀態(tài)： 電子、質子、中子電子、質子、中子等粒子具有內稟角動量（自旋）等粒子具有內稟角動量（自旋）（S S）和）和內稟內稟磁矩（磁矩（自旋）磁矩（自旋）磁

26、矩（），其量子數(shù)為），其量子數(shù)為1/21/2，關系為關系為 meS自旋角動量在外磁場方向上的投影自旋角動量在外磁場方向上的投影S Sz z只能取兩個值：只能取兩個值：21 zS在外磁場在外磁場B B中的勢能為：中的勢能為：在外磁場方向的投影相應為：在外磁場方向的投影相應為：meZ2。它只能取兩個分立的值，要一個量子數(shù)描述粒子的自旋狀態(tài)只表為將21,sSzzmmSS6.2 6.2 粒子運動狀態(tài)的量子描述粒子運動狀態(tài)的量子描述三、舉例：三、舉例：BmeBBU2cos上一頁下一頁目 錄退 出2 2、線性諧振子：、線性諧振子：,2, 1 ,0 )21( nnn3 3、轉子、轉子, 2 , 1 , 0

27、) 1(22lllMlllmmMMZlZZ, 1,只能取分立值：軸的投影，角動量在某一對于一定的IM22能量：,2, 1 ,0,2)1(2lIlll12 l簡并度： 其中其中n n表示線性諧振子的運動狀態(tài)和能量的量子數(shù)，上式表示線性諧振子的運動狀態(tài)和能量的量子數(shù)，上式給出的能量值是分立的，分立的能量稱為能級。線性諧振子給出的能量值是分立的，分立的能量稱為能級。線性諧振子的能級是等間距的，相鄰兩能級的能量差為：的能級是等間距的，相鄰兩能級的能量差為：在量子力學中轉子的能量是分立的：在量子力學中轉子的能量是分立的：6.2 6.2 粒子運動狀態(tài)的量子描述粒子運動狀態(tài)的量子描述上一頁下一頁目 錄退 出

28、4 4、自由粒子、自由粒子nLx ,2Kx 因因為為波波矢矢：一維自由粒子，考慮處于長度為一維自由粒子，考慮處于長度為L L的一維容器中自由粒子的運的一維容器中自由粒子的運動狀態(tài)。由周期性邊界條件可得：動狀態(tài)。由周期性邊界條件可得：2 , 1 , 0 xnxxnLK2 代入得：代入得：2, 1, 0 xn, 2, 1, 0,2 xxxxxnnLpkp，可可得得：代代入入德德布布羅羅意意關關系系：6.2 6.2 粒子運動狀態(tài)的量子描述粒子運動狀態(tài)的量子描述n nx x表示一維自由粒子的運動狀態(tài)的量子數(shù)，能量的可能值為：表示一維自由粒子的運動狀態(tài)的量子數(shù)，能量的可能值為：，210,24222222

29、 xxxnnLnmmpx基態(tài)能級為非簡并，激發(fā)態(tài)能級為二度簡并。基態(tài)能級為非簡并，激發(fā)態(tài)能級為二度簡并。上一頁下一頁目 錄退 出對于三維自由粒子：對于三維自由粒子：zzyyxxnLpnLpnLp2,2,2 量子數(shù)為量子數(shù)為3 3：zyxnnn、能量的可能值：能量的可能值：2222222222222Lnnnmmpppmpzyxzyx （1 1）、微觀體積下，能量值和動量值的分離性很顯著。）、微觀體積下，能量值和動量值的分離性很顯著。（2 2）、宏觀體積下，能量值和動量值是準連續(xù)的，考慮）、宏觀體積下，能量值和動量值是準連續(xù)的，考慮V=LV=L3 3 內，一定內，一定動量范圍動量范圍 的自由粒子量

30、子態(tài)數(shù)。的自由粒子量子態(tài)數(shù)。6.2 6.2 粒子運動狀態(tài)的量子描述粒子運動狀態(tài)的量子描述zzyyxxdpLdndpLdndpLdn2,2,2量子態(tài)數(shù)為：量子態(tài)數(shù)為：zyxzyxzyxdpdpdphVdpdpdpLdndndn332zzzyyyxxxdPPPdPPPdPPP,上一頁下一頁目 錄退 出可理解為：可理解為：由測不準關系：由測不準關系：hqp對應對應空間的一個體積元，稱為量子相格。空間的一個體積元，稱為量子相格。rrrhppqqr，相格大小為：自由度為116.2 6.2 粒子運動狀態(tài)的量子描述粒子運動狀態(tài)的量子描述qp內的量子態(tài)數(shù)三維自由粒子在而得到的除以相格大小表示：因此zyxzyx

31、zyxdpdpVdphdpdpVdpdndndn32r維維空間中空間中 大小的相格大小的相格內只能有一個運動狀態(tài)。否內只能有一個運動狀態(tài)。否則違背測不準關系。則違背測不準關系。rh上一頁下一頁退 出目 錄采用球極坐標：采用球極坐標：zyxpppp,代代替替用用cos,sinsin,cossinppppppzyx積分：令20:,0:dpphVdndndnzyx234 dDdmhVmdmhVdpphV2123321323)2(2)2(244單位能量間隔內粒子可能的量子態(tài)數(shù)，即態(tài)密度單位能量間隔內粒子可能的量子態(tài)數(shù)，即態(tài)密度。如果粒子的自旋不為零，需乘如果粒子的自旋不為零，需乘2 2。6.2 6.2

32、 粒子運動狀態(tài)的量子描述粒子運動狀態(tài)的量子描述代入上式，得：代入上式，得：將將mp22 21233)2(2mhVD上一頁下一頁目 錄退 出6.3 6.3 系統(tǒng)微觀運動狀態(tài)的描述系統(tǒng)微觀運動狀態(tài)的描述一、全同粒子與近獨立粒子一、全同粒子與近獨立粒子二、經典物理中系統(tǒng)微觀運動狀態(tài)的描述二、經典物理中系統(tǒng)微觀運動狀態(tài)的描述（1 1）可分辨）可分辨 （可跟蹤的經典軌道運動）（可跟蹤的經典軌道運動）（1 1）全同粒子：具有完全相同屬性（相同的質量、電荷、自旋等）全同粒子：具有完全相同屬性（相同的質量、電荷、自旋等） 的同類粒子。的同類粒子。（2 2）近獨立粒子：粒子之間的相互作用很弱，相互作用的平均能量

33、）近獨立粒子：粒子之間的相互作用很弱，相互作用的平均能量 遠小于單個粒子的能量。遠小于單個粒子的能量。NiiE1全同粒子是可以分辨的（因為經典粒子的運動是軌道運動，原則上是可以被全同粒子是可以分辨的（因為經典粒子的運動是軌道運動，原則上是可以被跟蹤的）。如果在含有多個全同粒子的系統(tǒng)中，跟蹤的）。如果在含有多個全同粒子的系統(tǒng)中，將兩個粒子的運動狀態(tài)加以將兩個粒子的運動狀態(tài)加以交換，則交換前后，系統(tǒng)的運動狀態(tài)是不同的。交換，則交換前后，系統(tǒng)的運動狀態(tài)是不同的。iijj交換前交換后),(2121iriiiriipppqqqijrjrjjjjpppqqqj),(2121 ),(2121iriiirii

34、pppqqqjjrjrjjjjpppqqqi),(2121 上一頁下一頁目 錄退 出6.3 6.3 系統(tǒng)微觀運動狀態(tài)的描述系統(tǒng)微觀運動狀態(tài)的描述iijj交換前交換后),(2121iriiiriipppqqqj上一頁下一頁目 錄退 出6.3 6.3 系統(tǒng)微觀運動狀態(tài)的描述系統(tǒng)微觀運動狀態(tài)的描述（2 2）描述方式：）描述方式：代數(shù)方法代數(shù)方法 單個粒子需單個粒子需r r個廣義坐標和個廣義坐標和r r個廣義動量共個廣義動量共2r2r個參量來描述，因個參量來描述，因此對整個系統(tǒng)需此對整個系統(tǒng)需2Nr2Nr個參量來描述。個參量來描述。), 1(,11Nippqqiriiri； 對應對應空間中的空間中的N

35、 N個點：個點：一個粒子在某時刻的力學運動狀態(tài)可以在一個粒子在某時刻的力學運動狀態(tài)可以在空間中空間中用一個點表示，由用一個點表示，由N個全同粒子組成的系統(tǒng)在某時刻的微觀運動狀態(tài)可以在個全同粒子組成的系統(tǒng)在某時刻的微觀運動狀態(tài)可以在空間中用空間中用N個點表示，那么如果交換兩個代表點在個點表示，那么如果交換兩個代表點在空間的位置，相應的空間的位置，相應的系統(tǒng)的微觀狀態(tài)是不同的。系統(tǒng)的微觀狀態(tài)是不同的。上一頁下一頁目 錄退 出（2 2） 玻色子與費米子：玻色子與費米子：a a 費米子：自旋量子數(shù)為半整數(shù)的基本粒子。如：費米子：自旋量子數(shù)為半整數(shù)的基本粒子。如：電子、質子、中子等電子、質子、中子等。b

36、 b 玻色子：自旋量子數(shù)為整數(shù)的基本粒子。如：玻色子：自旋量子數(shù)為整數(shù)的基本粒子。如：光子、光子、介子等介子等。c c 復合粒子：復合粒子：凡是由玻色子構成的復合粒子是玻色子；由偶數(shù)個費米子構成凡是由玻色子構成的復合粒子是玻色子；由偶數(shù)個費米子構成的復合粒子是玻色子，由奇數(shù)個費米子構成的復合粒子是費米子。的復合粒子是玻色子，由奇數(shù)個費米子構成的復合粒子是費米子。d d 泡利不相容原理：對于含有多個全同近獨立費米子的系統(tǒng)中，一個個體泡利不相容原理：對于含有多個全同近獨立費米子的系統(tǒng)中，一個個體量子態(tài)最多能容納一個費米子。量子態(tài)最多能容納一個費米子。6.3 6.3 系統(tǒng)微觀運動狀態(tài)的描述系統(tǒng)微觀運

37、動狀態(tài)的描述三、量子物理中系統(tǒng)微觀運動狀態(tài)的描述三、量子物理中系統(tǒng)微觀運動狀態(tài)的描述（1 1）全同性原理：全同粒子不可分辨，在由全同粒子）全同性原理：全同粒子不可分辨，在由全同粒子組成的系統(tǒng)，將任何兩個全同粒子加以交換，不改變組成的系統(tǒng)，將任何兩個全同粒子加以交換，不改變整個系統(tǒng)的微觀運動狀態(tài)。整個系統(tǒng)的微觀運動狀態(tài)。Pauli傳奇上一頁下一頁目 錄退 出（3)3)、玻耳茲曼系統(tǒng)、玻色系統(tǒng)、費米系統(tǒng)、玻耳茲曼系統(tǒng)、玻色系統(tǒng)、費米系統(tǒng) 玻耳茲曼系統(tǒng)：由玻耳茲曼系統(tǒng)：由可分辨的全同近獨立粒子（可分辨的全同近獨立粒子（定域系）定域系）組成，且處在一個個體量子態(tài)上的粒子數(shù)不受限制的系統(tǒng)。組成，且處在一

38、個個體量子態(tài)上的粒子數(shù)不受限制的系統(tǒng)。 玻色系統(tǒng)：由不可分辨的全同近獨立玻色子組成，且處在一個個體玻色系統(tǒng)：由不可分辨的全同近獨立玻色子組成，且處在一個個體量子態(tài)上的粒子數(shù)不受限制的系統(tǒng)。量子態(tài)上的粒子數(shù)不受限制的系統(tǒng)。 費米系統(tǒng)：由不可分辨的全同近獨立費米子組成，且處在一個個體量費米系統(tǒng)：由不可分辨的全同近獨立費米子組成，且處在一個個體量子態(tài)上的粒子數(shù)最多只能為子態(tài)上的粒子數(shù)最多只能為1 1，受泡利不相容原理的限制。，受泡利不相容原理的限制。6.3 6.3 系統(tǒng)微觀運動狀態(tài)的描述系統(tǒng)微觀運動狀態(tài)的描述波耳茲曼 玻耳茲曼系統(tǒng)的微觀運動狀態(tài)歸結為確定每一個粒子的個體量子態(tài)。玻耳茲曼系統(tǒng)的微觀運動

39、狀態(tài)歸結為確定每一個粒子的個體量子態(tài)。玻色系統(tǒng)、費米系統(tǒng)的微觀狀態(tài)歸結為確定每一個體量子態(tài)上的粒子數(shù)。玻色系統(tǒng)、費米系統(tǒng)的微觀狀態(tài)歸結為確定每一個體量子態(tài)上的粒子數(shù)。上一頁下一頁目 錄退 出系統(tǒng)系統(tǒng) 玻耳茲曼系統(tǒng)玻耳茲曼系統(tǒng)（9 9種種不同的微觀狀態(tài)不同的微觀狀態(tài)) 玻色系統(tǒng)玻色系統(tǒng)（6 6種種不同的微觀不同的微觀狀態(tài)）狀態(tài)） 費米系統(tǒng)費米系統(tǒng)（3 3種種不同不同的微觀狀態(tài)）的微觀狀態(tài)）量子態(tài)量子態(tài)1 1A AB BA AA AB B B BA AA AA A A AA AA A量子態(tài)量子態(tài)2 2A AB BB BA AA AB BA AA AA AA AA AA A量子態(tài)量子態(tài)3 3A AB

40、 BB B B BA A A AA AA AA AA AA AA A例如：兩個粒子占據(jù)例如：兩個粒子占據(jù)3 3個量子態(tài)的方式個量子態(tài)的方式6.3 6.3 系統(tǒng)微觀運動狀態(tài)的描述系統(tǒng)微觀運動狀態(tài)的描述上一頁下一頁目 錄退 出一、宏觀狀態(tài)與微觀狀態(tài)的區(qū)別：一、宏觀狀態(tài)與微觀狀態(tài)的區(qū)別：6.4 6.4 等概率原理等概率原理宏觀狀態(tài)：平衡態(tài)由一組宏觀參量表示，例如，對于孤立系統(tǒng)可以用粒子數(shù)宏觀狀態(tài)：平衡態(tài)由一組宏觀參量表示，例如，對于孤立系統(tǒng)可以用粒子數(shù)N N、能量能量E E和體積和體積V V來表征系統(tǒng)的平衡態(tài)。來表征系統(tǒng)的平衡態(tài)。微觀狀態(tài)：由廣義坐標和廣義動量（經典描述）或一組量子數(shù)表示（量子描述）

41、微觀狀態(tài)：由廣義坐標和廣義動量（經典描述）或一組量子數(shù)表示（量子描述）在統(tǒng)計物理學中，我們研究系統(tǒng)在給定宏觀條件下的宏觀性質。如果我們研究的是一個孤立系，給定的宏觀條件是系統(tǒng)具有確定的粒子數(shù)N，體積V和能量E。由于自然界中實際上不存在與外界完全沒有任何相互作用的嚴格的孤立系統(tǒng)，應當認為系統(tǒng)的能量是在經典熱力學認為，處于平衡態(tài)的封閉體系的各熱力學性質具有單值性且不隨時經典熱力學認為，處于平衡態(tài)的封閉體系的各熱力學性質具有單值性且不隨時間而變。但量子力學并不認同這一觀點，從微觀的角度，分子在不斷地相互碰間而變。但量子力學并不認同這一觀點，從微觀的角度，分子在不斷地相互碰撞和交換能量。撞和交換能量。

42、雖然總能量守恒，但雖然總能量守恒，但 N 個粒子分配總能量個粒子分配總能量 E則應有許多不同則應有許多不同方式，而能量的每一種分配方式就產生體系的一個微觀態(tài)。方式，而能量的每一種分配方式就產生體系的一個微觀態(tài)。因此不難想像，對因此不難想像，對于一個指定的宏觀態(tài)，實際上包含著難以計數(shù)的微觀態(tài)。于一個指定的宏觀態(tài)，實際上包含著難以計數(shù)的微觀態(tài)。1)EEE.(EE上一頁下一頁目 錄退 出二、宏觀狀態(tài)與微觀狀態(tài)的聯(lián)系：二、宏觀狀態(tài)與微觀狀態(tài)的聯(lián)系：一個確定不變的宏觀態(tài)包含大量不同的微觀態(tài)。宏觀量是相應微觀物理量的一個確定不變的宏觀態(tài)包含大量不同的微觀態(tài)。宏觀量是相應微觀物理量的統(tǒng)計平均值，統(tǒng)計平均值，

43、統(tǒng)計物理的根本問題：確定各微觀狀態(tài)出現(xiàn)的概率。統(tǒng)計物理的根本問題：確定各微觀狀態(tài)出現(xiàn)的概率。6.4 6.4 等概率原理等概率原理概率（概率（probability）：）：指某一件事或某一種狀態(tài)出現(xiàn)的機會大小。是數(shù)學指某一件事或某一種狀態(tài)出現(xiàn)的機會大小。是數(shù)學上的概念，概率必須滿足歸一化原則。上的概念，概率必須滿足歸一化原則。熱力學概率：熱力學概率：體系在一定的宏觀狀態(tài)下，可能出現(xiàn)的微觀狀態(tài)總數(shù)，通常體系在一定的宏觀狀態(tài)下，可能出現(xiàn)的微觀狀態(tài)總數(shù)，通常用用 表示。表示。通常情況下，通常情況下， 是個遠大于是個遠大于 1 的大數(shù)。的大數(shù)。三、等概率原理：三、等概率原理：對于對于U, V 和和 N

44、確定的某一宏觀體系，任何一個可能出現(xiàn)的微觀狀態(tài)，都確定的某一宏觀體系，任何一個可能出現(xiàn)的微觀狀態(tài)，都有相同有相同的數(shù)學概率的數(shù)學概率，所以這假定又稱為，所以這假定又稱為等概率原理等概率原理。上一頁下一頁目 錄退 出四、等概率原理的幾點說明：四、等概率原理的幾點說明：1 1、等概率原理是統(tǒng)計物理中一個基本假設，它的正確性由它的種種推論都、等概率原理是統(tǒng)計物理中一個基本假設，它的正確性由它的種種推論都與客觀實際相符而得到肯定。與客觀實際相符而得到肯定。3 3、既然這些微觀狀態(tài)都同樣滿足具有確定、既然這些微觀狀態(tài)都同樣滿足具有確定N N、E E、V V的宏觀條件，沒有理由認的宏觀條件，沒有理由認為哪

45、一個狀態(tài)出現(xiàn)的概率應當更大一些。這些微觀狀態(tài)應當是平權的，因此，為哪一個狀態(tài)出現(xiàn)的概率應當更大一些。這些微觀狀態(tài)應當是平權的，因此，認為各個可能的微觀狀態(tài)出現(xiàn)概率相等應當是一個合理的假設。認為各個可能的微觀狀態(tài)出現(xiàn)概率相等應當是一個合理的假設。2 2、等概率原理是平衡態(tài)統(tǒng)計物理的基礎。、等概率原理是平衡態(tài)統(tǒng)計物理的基礎。6.4 6.4 等概率原理等概率原理例如，某宏觀體系的總微觀態(tài)數(shù)為例如，某宏觀體系的總微觀態(tài)數(shù)為 ，則每一種微觀狀態(tài)出現(xiàn)的數(shù)學概，則每一種微觀狀態(tài)出現(xiàn)的數(shù)學概率率P都相等，即：都相等，即：1P上一頁下一頁目 錄退 出6.4 6.4 等概率原理等概率原理例：例：試列出分子（可分辨

46、、玻色子）數(shù)為試列出分子（可分辨、玻色子）數(shù)為4，總能量為，總能量為3個單位的體系中各種分個單位的體系中各種分布方式和實現(xiàn)這類分布方式的熱力學概率？設粒子分布在布方式和實現(xiàn)這類分布方式的熱力學概率？設粒子分布在e0 00，e1 11，e3 32，e4 43，的四個非簡并能級上，則滿足兩個守恒條件的分布方式有三種：，的四個非簡并能級上，則滿足兩個守恒條件的分布方式有三種：0123I3001II2110III1300 i iN Ni i分布方式分布方式各分布方式所包含的微觀態(tài)數(shù)：各分布方式所包含的微觀態(tài)數(shù)：43!0!0!1!4!I122!1!1!0!4!II41!3!0!0!4!III20IIII

47、II總的微觀狀態(tài)數(shù)為：、每一種微觀狀態(tài)出現(xiàn)的數(shù)學每一種微觀狀態(tài)出現(xiàn)的數(shù)學概率概率0.052011P、各分布出現(xiàn)數(shù)學概率：、各分布出現(xiàn)數(shù)學概率：0.200.054PP0.600.0512PP0.200.054PPIIIIIIIIIIII上一頁下一頁目 錄退 出6.4 6.4 等概率原理等概率原理從以上分析可見：從以上分析可見：每種分配的每種分配的 值各不相同，但其中有一項最大值值各不相同，但其中有一項最大值 (上例上例中為中為 )，在粒子數(shù)足夠多的宏觀體系中，在粒子數(shù)足夠多的宏觀體系中，可以近似用可以近似用 來代表所有的微觀來代表所有的微觀數(shù)數(shù)，這就是，這就是最概然分布最概然分布。maxiIIm

48、ax分布分布確定宏觀條件下，各分布的微觀狀態(tài)數(shù)比較確定宏觀條件下，各分布的微觀狀態(tài)數(shù)比較對于宏觀上的平衡態(tài)，在微觀上其實并非對于宏觀上的平衡態(tài)，在微觀上其實并非完全完全“均勻一致均勻一致”，這種偏離平衡態(tài)的現(xiàn)，這種偏離平衡態(tài)的現(xiàn)象稱為象稱為“漲落漲落”或或“起伏起伏”。但隨著體系。但隨著體系粒子數(shù)愈多，則粒子數(shù)愈多，則“漲落漲落”現(xiàn)象出現(xiàn)的機會現(xiàn)象出現(xiàn)的機會愈小。在極限情況下愈小。在極限情況下 ,“漲落漲落” 出出現(xiàn)的幾率幾乎為零。此時，可認為體系中現(xiàn)的幾率幾乎為零。此時，可認為體系中只存在一種微觀狀態(tài)數(shù)最大的分布只存在一種微觀狀態(tài)數(shù)最大的分布最最概然分布。概然分布。N可見用某一可見用某一微觀

49、態(tài)數(shù)最大的分布微觀態(tài)數(shù)最大的分布代表平衡態(tài)便是不足為奇了。代表平衡態(tài)便是不足為奇了。上一頁下一頁目 錄退 出6.5 6.5 分布與微觀狀態(tài)數(shù)分布與微觀狀態(tài)數(shù)一、分布一、分布能級分布能級分布：即：即 N 個粒子分布在各個能級上的分布狀態(tài)。個粒子分布在各個能級上的分布狀態(tài)。狀態(tài)分布狀態(tài)分布：在某一簡并能級上，粒子在各個量子態(tài)上的分布狀態(tài)。：在某一簡并能級上，粒子在各個量子態(tài)上的分布狀態(tài)。說明：說明：(1)能量是量子化的能量是量子化的，但每一個能級上可能有若干個不同的量子狀態(tài)，但每一個能級上可能有若干個不同的量子狀態(tài)存在，反映在光譜上就是代表某一能級的譜線常常是由好幾條非常接存在，反映在光譜上就是代

50、表某一能級的譜線常常是由好幾條非常接近的精細譜線所構成。近的精細譜線所構成。量子力學中把能級可能有的微觀狀態(tài)數(shù)稱為該量子力學中把能級可能有的微觀狀態(tài)數(shù)稱為該能級的簡并度。能級的簡并度。(2) 對非簡并能級，能級分布與狀態(tài)分布相同；對非簡并能級，能級分布與狀態(tài)分布相同；(3) 對簡并能級，同一能級分布可對應于多種不同的狀態(tài)分布，即狀對簡并能級，同一能級分布可對應于多種不同的狀態(tài)分布，即狀態(tài)分布數(shù)大于能級分布數(shù)；態(tài)分布數(shù)大于能級分布數(shù)；(4) 一種狀態(tài)分布數(shù)表示體系的一種微觀態(tài)一種狀態(tài)分布數(shù)表示體系的一種微觀態(tài)。上一頁下一頁目 錄退 出6.5 6.5 分布與微觀狀態(tài)數(shù)分布與微觀狀態(tài)數(shù)一、分布一、分

51、布滿滿足足：稱稱為為一一個個分分布布 ,la能級：能級：簡并度：簡并度：粒子數(shù)：粒子數(shù)：,21l,21l,21laaaEaNalllll ； 設有一個系統(tǒng)，由大量全同近獨立的粒子組成，具有確定的設有一個系統(tǒng)，由大量全同近獨立的粒子組成，具有確定的粒子數(shù)粒子數(shù)N N、能量、能量E E和體積和體積V V。個粒子的分布如下：表示能級上的粒子數(shù)，表示能級的簡并度，表示能級，以Nalll123上一頁下一頁目 錄退 出6.5 6.5 分布與微觀狀態(tài)數(shù)分布與微觀狀態(tài)數(shù)一、分布一、分布分布和微觀狀態(tài)是兩個不同的概念。分布和微觀狀態(tài)是兩個不同的概念。微觀狀態(tài)是粒子運動狀態(tài)或稱為量子態(tài)。它微觀狀態(tài)是粒子運動狀態(tài)或

52、稱為量子態(tài)。它反映的是粒子運動特征。反映的是粒子運動特征。、假如全同粒子可以分辨（或定域子），確定由全同近獨立粒子組成的微假如全同粒子可以分辨（或定域子），確定由全同近獨立粒子組成的微觀運動狀態(tài)歸結為確定每一個粒子的個體量子態(tài)觀運動狀態(tài)歸結為確定每一個粒子的個體量子態(tài)。即：當每個粒子的量子態(tài)。即：當每個粒子的量子態(tài)都確定了就對應于系統(tǒng)的一個微觀狀態(tài)。如果其中某一粒子的量子態(tài)變化了，都確定了就對應于系統(tǒng)的一個微觀狀態(tài)。如果其中某一粒子的量子態(tài)變化了，那么系統(tǒng)的微觀狀態(tài)也就發(fā)生了變化了。那么系統(tǒng)的微觀狀態(tài)也就發(fā)生了變化了。、對于不可分辨的全同粒子，確定由全同近獨立粒子組成的系統(tǒng)的微觀狀對于不可分辨

53、的全同粒子，確定由全同近獨立粒子組成的系統(tǒng)的微觀狀態(tài)歸結為確定每一個體量子態(tài)上的粒子數(shù)。態(tài)歸結為確定每一個體量子態(tài)上的粒子數(shù)。即：當每一個體量子態(tài)上的粒子即：當每一個體量子態(tài)上的粒子數(shù)確定了就對應于系統(tǒng)的一個微觀狀態(tài)。如果其中某一個體量子態(tài)上的粒子數(shù)確定了就對應于系統(tǒng)的一個微觀狀態(tài)。如果其中某一個體量子態(tài)上的粒子數(shù)變化了，那么系統(tǒng)的微觀狀態(tài)也就發(fā)生了變化了。數(shù)變化了，那么系統(tǒng)的微觀狀態(tài)也就發(fā)生了變化了。結論：由于一個能級往往對應若干個量子態(tài)（即簡并的），因此結論：由于一個能級往往對應若干個量子態(tài)（即簡并的），因此。上一頁下一頁目 錄退 出二、給定分布的微觀狀態(tài)數(shù)二、給定分布的微觀狀態(tài)數(shù)1 1、

54、玻耳茲曼系統(tǒng)：、玻耳茲曼系統(tǒng)：種量子態(tài)的方式有個粒子數(shù)占據(jù)因此態(tài)能容納任意個粒子，粒子可分辨，每個量子lallla種種上上的的各各量量子子態(tài)態(tài)共共有有級級個個編編號號的的粒粒子子數(shù)數(shù)占占據(jù)據(jù)能能lallllaa,11lllllaNaaNN！得因子：！個粒子交換數(shù)目但必須扣除同一能級上！；數(shù)為個粒子加以交換，交換因粒子可分辨，將/lallllBMa!N!.微觀態(tài)數(shù)為：微觀態(tài)數(shù)為：6.5 6.5 分布與微觀狀態(tài)數(shù)分布與微觀狀態(tài)數(shù)注意：一個粒子設為注意：一個粒子設為“無體積無體積”的的“質點質點”，一個，一個“盒子盒子”有粒子占據(jù)時，有粒子占據(jù)時，不排斥其它粒子進入（不排斥其它粒子進入（MB與與BE

55、都是不排斥，但都是不排斥，但FD則不行，是要排斥則不行，是要排斥的）的） 個粒子，放入個粒子，放入 個盒子中的可能組合個盒子中的可能組合lal12345上一頁下一頁目 錄退 出二、給定分布的微觀狀態(tài)數(shù)二、給定分布的微觀狀態(tài)數(shù)6.5 6.5 分布與微觀狀態(tài)數(shù)分布與微觀狀態(tài)數(shù)lall)!1( !/)!1(llllaa用表示狀態(tài)，表示粒子 llllEBaa)!1( !)!1(.上一頁下一頁目 錄退 出二、給定分布的微觀狀態(tài)數(shù)二、給定分布的微觀狀態(tài)數(shù)6.5 6.5 分布與微觀狀態(tài)數(shù)分布與微觀狀態(tài)數(shù)3 費米系統(tǒng)：粒子不可分辨，每一個個體量子態(tài)最多只能容納一個粒子。費米系統(tǒng)：粒子不可分辨，每一個個體量子態(tài)

56、最多只能容納一個粒子。 個個粒子占據(jù)能級粒子占據(jù)能級 上的個上的個 量子態(tài)，相當于從量子態(tài)，相當于從 個量子態(tài)中挑出個量子態(tài)中挑出 個來為粒個來為粒子所占據(jù)，有子所占據(jù)，有l(wèi)alllla)!( !Cllllaaall種可能的方式。種可能的方式。llllDFaa)!( !.上一頁下一頁目 錄退 出二、給定分布的微觀狀態(tài)數(shù)二、給定分布的微觀狀態(tài)數(shù)6.5 6.5 分布與微觀狀態(tài)數(shù)分布與微觀狀態(tài)數(shù)4、經典統(tǒng)計中的分布和微觀狀態(tài)數(shù)：、經典統(tǒng)計中的分布和微觀狀態(tài)數(shù)：對于經典系統(tǒng)對于經典系統(tǒng)，由于對坐標和動量，由于對坐標和動量的測量總存在一定的誤差，假設的測量總存在一定的誤差，假設 ，這時經典系統(tǒng)的一個運動

57、狀，這時經典系統(tǒng)的一個運動狀態(tài)不能用一個點表示，而必須用一個體積元表示，該體積元的大小態(tài)不能用一個點表示，而必須用一個體積元表示，該體積元的大小0hpqrrrhppqq011表示經典系統(tǒng)的一個微觀狀態(tài)在表示經典系統(tǒng)的一個微觀狀態(tài)在 空間所占的體積，稱為經典相格。這里空間所占的體積，稱為經典相格。這里 由測量精度決定，最小值為普朗克常量。由測量精度決定，最小值為普朗克常量。0h 現(xiàn)將現(xiàn)將 空間劃分為許多體積元空間劃分為許多體積元 ，以，以 表示運動狀態(tài)處在表示運動狀態(tài)處在 內的粒子所內的粒子所具有的能量，具有的能量， 內粒子的運動狀態(tài)數(shù)為內粒子的運動狀態(tài)數(shù)為這樣，這樣， 個粒子處在各個粒子處在各

58、 的分布可表示為的分布可表示為lalrlh0Nllll上一頁下一頁目 錄退 出二、給定分布的微觀狀態(tài)數(shù)二、給定分布的微觀狀態(tài)數(shù)6.5 6.5 分布與微觀狀態(tài)數(shù)分布與微觀狀態(tài)數(shù)能級：能級：簡并度：簡并度：粒子數(shù)：粒子數(shù)：,21l,21laaa,00201rlrrhhh體體 積積 元元: ,21l由于經典粒子可以分辨，處在一個相格內的粒子個數(shù)不受限制，所以經典由于經典粒子可以分辨，處在一個相格內的粒子個數(shù)不受限制，所以經典系統(tǒng)遵從玻耳茲曼系統(tǒng)的統(tǒng)計規(guī)律，所以與分布系統(tǒng)遵從玻耳茲曼系統(tǒng)的統(tǒng)計規(guī)律，所以與分布 相應的經典系統(tǒng)的相應的經典系統(tǒng)的微觀狀態(tài)數(shù)為：微觀狀態(tài)數(shù)為：lalalrlllclhaN)(

59、!0. qp上一頁下一頁目 錄退 出2 2、玻色系統(tǒng)：、玻色系統(tǒng)：)!1( !)!1(. lllllEBaa)!( !.lllllDFaa 3 3、費米系統(tǒng)：、費米系統(tǒng)：larllllclhaN) ( ! ! 04 4、經典系統(tǒng)：、經典系統(tǒng)：6.5 6.5 分布與微觀狀態(tài)數(shù)分布與微觀狀態(tài)數(shù)二、給定分布的微觀狀態(tài)數(shù)二、給定分布的微觀狀態(tài)數(shù)1 1、玻耳茲曼系統(tǒng)：、玻耳茲曼系統(tǒng)：lallllBMaN ! .上一頁下一頁目 錄退 出三、經典極限條件（非簡并性條件）三、經典極限條件（非簡并性條件） 對于玻色系統(tǒng)或費米系統(tǒng)，當任一能級上的粒子數(shù)都遠小于該能對于玻色系統(tǒng)或費米系統(tǒng)，當任一能級上的粒子數(shù)都遠小

60、于該能級的量子態(tài)時：級的量子態(tài)時：!)2)(1()!1( !)!1(,.NaaaaaaBMlallllllllllllllEBl 則則：!) 1)(1()!( !,.NaaaaaBMlallllllllllllllDFl 經典極限條件表示，在所有的能級粒子數(shù)都遠小于量子態(tài)數(shù)。經典極限條件表示，在所有的能級粒子數(shù)都遠小于量子態(tài)數(shù)。6.5 6.5 分布與微觀狀態(tài)數(shù)分布與微觀狀態(tài)數(shù)lla。 上一頁下一頁退 出目 錄6.6 6.6 玻耳茲曼分布玻耳茲曼分布 二、最概然分布二、最概然分布 大值的分布。使系統(tǒng)微觀態(tài)數(shù)目取極時，滿足：，即當分布、能量數(shù)當系統(tǒng)具有固定的粒子EaNaaENllllll,根據(jù)等概