1、時磊忖呎教學設計方案課題名稱等差數列的前 n項和姓名韓紅改工作單位河北正定中學年級學科高一數學教材版本課標版必修5一、教學內容分析數列是刻畫離散現象的函數，是一種重要的數學模型。高中數列研究的主要對象是等 差、等比兩個基本數列。本節課的教學內容是等差數列的前n n項和公式，它既是對等差數列知識的運用與鞏固，又是后面研究一般數列求和的基礎。學生學習這個內容重點是探索并掌握等差數列前n n項和公式，學會用公式解決一些實際問題。高斯的算法與一般的等差數列求和還有一定距離，如何從首尾配對法引出倒序 相加法，這是學生學習的障礙。因此，學生學習的難點是等差數列前n n項和公式推導思路的獲得。二、教學目標教

2、學既要關注到學生當前的需要，也要關注學生可持續發展的需要。因此，本節課的教學目標分為以下二個方面：(1) 知識與技能：掌握等差數列前n n項和公式及其獲取思路，會用等差數列前n n項和公 式解決一些簡單的與前 n n項和有關的問題。(2)過程與方法：從公式的推導過程中，體驗從特殊到一般的研究方法，培養學生觀察、 歸納、反思的能力。(3) 情感、態度與價值觀：通過公式的推導過程，展現數學中的對稱美。三、學習者特征分析下面，我將從知識基礎、認知水平與能力、班級學生特點三個方面來進行學情分析。從認知基礎 來看，高一年級學生已掌握了函數、數列等有關基礎知識，并且在初中已 了解了特殊的數列求和。從認知水

3、平與能力 來看，高一學生已初步具有抽象邏輯思維能力，能夠在教師的引導 下獨立的解決問題。從班級學生特點 來看，我班學生基礎知識比較扎實，思維比較活躍，能夠很好地掌時磊忖呎握教材上的內容，能較好的應用數形結合的方法解決問題，但對于處理抽象問題的能力還 有待進一步提高。四、教學過程(一) 復習回顧首先回顧等差數列的定義、通項公式和性質，先讓學生回憶，在老師的引導下，由學 生回答。設計意圖：復習通項及性質，幫助學生鞏固舊知識，同時為前n n項和公式的推導做好知識準備。(二) 情境引入展示高斯求和例子并引導學生推導公式。高斯是德國著名的數學家，他研究的內容涉 及數學的各個領域，是歷史上最偉大的數學家之

4、一，被譽為“數學王子”。在高斯1010歲的時候，他的算術老師提出了下面的問題：1 2 3 L 100 ?據說，當其他同學忙于把100100個數逐項相加時，1010歲的高斯卻用下面的方法迅速算出 了正確的答案：(1 100) (299) L (50 51)101 505050高斯的算法實際上解決了求等差數列1,2,3,L , n,L前100100項的和的問題。探究：高斯的算法妙處在哪里？這種方法能夠推廣到求一般等差數列的前n n項和嗎？設計意圖：高斯的算法蘊含著求等差數列前 n n項和的一般規律。教學時，給學生提供 充裕的時間，讓學生自己去觀察發現這種數列的內在規律。 學生對于高斯的算法是熟悉的

5、， 知道采用首尾配對的方法求和。這個例子從實際問題入手，能激發學生學習新知識的興趣， 為新課的講解做鋪墊。(三) 探究公式問題1 1： 教師：利用高斯算法如何求等差數列的前n n項和公式?學生：將首末兩項配對，第二項與倒數第二項配對，以此類推，每一對的和都相等,并且都等于a,a教師：但是否剛好配對成功呢?學生：不一定，需要對 n n取值的奇偶性進行討論。當 n n為偶數時剛好配對成功，當 n n 為奇數時，中間的一項 a, n落單了。教師：對于n n的討論太麻煩了，能否有更好的方法求前n n項和公式呢?設計意圖：高斯求和眾所周知，學生能快速解答。這里用到了等差數列腳標和性質。從高斯算法出發，對

6、 n n進行討論，尋找求和公式思路。對于中間項a, n的解決辦法，讓學生進一步體會到研究數列就是對腳標的研究。問題2 2：圖案中，第一層到第2121層一共有多少顆寶石?借助幾何圖形的直觀性，引導學生使用熟悉的幾何方法：把全等三角形倒置，與原圖補成平行四邊形。把不同數求和問題轉化為相同數求和。 * *L 設計意圖：幾何直觀更直觀，幫助理解，因此，借助幾何直觀學習和理解數學，是數 學學習中的重要方面。只有做到了直觀上的理解，才是真正的理解。因此在教學中，要鼓 勵學生借助幾何直觀進行思考，揭示研究對象的性質和關系，從而滲透了數形結合的數學 思想。設計此題的目的在于讓學生體驗“倒序相加”這一算法的合理

7、性，從心理上完成對“首尾配對”算法的改進。問題3 3：如何求等差數列an的前n項和Sn ？由前面的鋪墊，學生容易得出以下過程:時磊誡呎一n aian2又因為an a n 1 d,所以 Sn na1 n(n 衛 d。n 1 2設計意圖：在前面數形結合的基礎上，讓學生自己動手推導求和公式。在獲取知識的過程中，進一步體會倒序相加的方法，讓學生經歷“發現問題一提出問題一解決問題”的 過程，同時也加深了對公式的理解與記憶。問題4 4:比較這兩個公式，說說它們分別從哪些方面反映了等差數列的性質?引導學生比較得出結論：若已知等差數列首相為a1，末項為an ,項數為n，可直接n印 an運用公式一 Sn - -

8、求和；若已知等差數列首相為a1，公差為d，項數為n，則2直接運用公式二 Sn na1 n(n 1d求和較為簡便。從公式的結構特點可知，公式共包2含五個量anan, n,d,Sn,只要知道其中三個量，就可以求出其余兩個量。設計意圖：加深對公式的理解記憶，分析公式的本質，能夠在做題的過程中更好的選取適當的公式。(四)公式的記憶n a-i annab引導學生觀察公式 Sn 一1n和等腰梯形的面積計算公式S - 類比，2 2于是a-可以看成等腰梯形的上底，an看成下底，n看成高，那么這個公式就容易記多了。SnSna1 ana2anL an 11 La1 2兩式相加得：2Sna1ana2an 1Lana

9、12Sna1ana1anLa1an2Snn aiann時磊忖呎設計意圖：等差數列前n n項和公式記牢是快速準確解決難題的根本，學生剛看到這個公式會為公式的記憶發愁，用常見的梯形面積公式輔助記憶，就減輕了學生的課堂負擔。（五）例題講解引用課本例一：某市提出實施“校校通”工程的總目標：從20102010年起用1010年時間在全市中小學建成不同標準的校園網。據預測，20102010年該市用于“校校通”工程的經費為500500萬元，為了保證工程的順利實施，計劃每年投入的資金比上一年增加5050萬元，那么從20102010年起的1010年內，該市在“校校通”工程中總投入是多少 ？設計意圖：習題是對學生所

10、學知識的反饋過程。在學習公式之后，及時練習，能夠加深學生對公式的記憶。通過對題目的分析，選取合適的公式。通過解決實際問題，讓學生 體會到等差數列前n n項和的實用性，提升學習的興趣，體現了本節課的情感態度與價值觀 目標，突破本節課的教學重點。（六）變形訓練，深化認識為了讓學生更加深刻的記憶公式，熟練掌握公式，設置了如下練習題：已知等差數列 10, 6, 2,2 L（1 1）前多少項和是5454?逆用公式，知二求一（2 2）用n n表示刖n n項和Sn。練習：已知等差數列，an中，(g10,d2,an18,n _，Sn一.(2)a14$ 172念,d_知三求.(3)an11,d2,Sn75,a1

11、,n _設計意圖：練習既有對公式的正用，又有對公式的逆用，在變形過程中，深化了對公式的記憶，進一步鞏固對等差數列前n n項和公式的理解。（七）課堂小結首先讓學生自己回憶一節課的內容，然后抽取一位中等水平的同學來說本節課的主要內容，再次讓成就優秀的學生補充前面同學的遺漏部分，最后由老師進行總結。布磊Sn/ 21 1、等差數列前n n項和公式的推導：倒序相加法；2 2、等差數列前n n項和公式兩種形式；3 3、等差數列前n n項和公式記憶方法；4 4、等差數列前n n項和的應用（知三求二）。設計意圖：讓學生對主要知識進行回顧，使學生對本節內容有更深層次的認識和整體的把握。（八）布置作業必做：課本4

12、646頁A A組第一題、第二題選做：課本B B組第二題設計意圖：在課外作業的布置上進行適當地分層，要求全體學生都要對等差數列前n n項和的求法進行掌握。同時對成績比較好的學生進行更深層次的研究，進而提升他們的能力。五、教學策略選擇與信息技術融合的設計教師活動預設學生活動設計意圖回顧等差數列的定義、通項公式和性質讓學生在老師的引導下回憶等差數列相關知識并回答。復習通項及性質， 幫助學生鞏固舊 知識，同時為前n n 項和公式的推導 做好知識準備。展示咼斯求和例子并引導學生推導公式學生思考高斯的算法妙處在哪里？這種方法能夠推廣到求一般等差數列的前 n n項和嗎？高斯的算法蘊含 著求等差數列前 n n

13、項和的一般規 律。教學時，給學 生提供充裕的時 間，讓學生自己去 觀察發現這種數 列的內在規律。圖案中，第一舉 1 1 1 1 r r-層至y y第2121層 共有：益:卅席:那：多少顆寶石？引導學生使用熟悉的幾何方法：把 全等三角形倒置，與原圖補成平行 四邊形。把不冋數求和問題轉化為 相同數求和。設計此題的目的 在于讓學生體驗“倒序相加”這一 算法的合理性，從 心理上完成對“首 尾配對”算法的改 進。時磊忖呎對公式進行分析引導學生觀察公式n ai anSn 和等腰梯形的面等差數列前 n n項 和公式記牢是快 速準確解決難題布磊Sn/ 2積計算公式S n a b類比2的根本，學生剛看 到這個公

14、式會為 公式的記憶發愁， 用常見的梯形面 積公式輔助記憶， 就減輕了學生的 課堂負擔。六、教學評價設計1 1、教學過程自然，教學目標明確、具體，符合課程標準(教學大綱)的要求，切合學生 實際。2 2各知識點的學習目標層次合理，分類準確，描述語句具有可測量性。3.3. 密切結合學科特點，注意情感目標的建立4.4. 教學內容的選擇符合課程標準(教學大綱)的要求。5 5按照科學的分類，對教學內容進行正確地分析。重點、難點的確定符合學生的當前水平，解決措施有力、切實可行。七、教學板書等差數列的刖口頂和公式 列碣+兔)心衛一2n(n-l),5二叫+也一公式推導三一例題餅解八、教學反思根據教學經歷和學生的反饋信息，對此節課有如下反思：(1 1 )在教學活動中，我重點突出了學生的自主探究活動，讓學生自己通過高斯的例子以