1、橢圓1. 2.標準方程 3.4點p處的切線pt平分pf1f2在點p處的外角.5pt平分pf1f2在點p處的外角，則焦點在直線pt上的射影h點的軌跡是以長軸為直徑的圓，除去長軸的兩個端點. 6以焦點弦pq為直徑的圓必與對應準線相離. 7以焦點半徑pf1為直徑的圓必與以長軸為直徑的圓內切.8設a1、a2為橢圓的左、右頂點，則pf1f2在邊pf2（或pf1）上的旁切圓，必與a1a2所在的直線切于a2（或a1）.9橢圓（ab0）的兩個頂點為,，與y軸平行的直線交橢圓于p1、p2時a1p1與a2p2交點的軌跡方程是.10若在橢圓上，則過的橢圓的切線方程是.11若在橢圓外 ，則過po作橢圓的兩條切線切點為

2、p1、p2，則切點弦p1p2的直線方程是.12ab是橢圓的不平行于對稱軸的弦，m為ab的中點，則.13若在橢圓內，則被po所平分的中點弦的方程是.14若在橢圓內，則過po的弦中點的軌跡方程是.15若pq是橢圓（ab0）上對中心張直角的弦，則.16若橢圓（ab0）上中心張直角的弦l所在直線方程為,則(1) ;(2) .17給定橢圓：（ab0）, ：,則(i)對上任意給定的點,它的任一直角弦必須經過上一定點m.(ii)對上任一點在上存在唯一的點,使得的任一直角弦都經過點.18設為橢圓（或圓）c: (a0,. b0)上一點，p1p2為曲線c的動弦,且弦pp1, pp2斜率存在，記為k1, k 2,

3、則直線p1p2通過定點的充要條件是.19過橢圓 (a0, b0)上任一點任意作兩條傾斜角互補的直線交橢圓于b,c兩點，則直線bc有定向且（常數）.20橢圓 (ab0)的左右焦點分別為f1，f 2，點p為橢圓上任意一點，則橢圓的焦點三角形的面積為， .21若p為橢圓（ab0）上異于長軸端點的任一點,f1, f 2是焦點, , ，則.22橢圓（ab0）的焦半徑公式：,( , ，).23若橢圓（ab0）的左、右焦點分別為f1、f2，左準線為l，則當時，可在橢圓上求一點p，使得pf1是p到對應準線距離d與pf2的比例中項.24p為橢圓（ab0）上任一點,f1,f2為二焦點，a為橢圓內一定點，則,當且僅

4、當三點共線時，等號成立.25橢圓（ab0）上存在兩點關于直線：對稱的充要條件是.26過橢圓焦半徑的端點作橢圓的切線，與以長軸為直徑的圓相交，則相應交點與相應焦點的連線必與切線垂直.27過橢圓焦半徑的端點作橢圓的切線交相應準線于一點，則該點與焦點的連線必與焦半徑互相垂直.28p是橢圓（ab0）上一點，則點p對橢圓兩焦點張直角的充要條件是.29設a,b為橢圓上兩點，其直線ab與橢圓相交于,則.30在橢圓中，定長為2m（oma）的弦中點軌跡方程為,其中,當時, .31設s為橢圓（ab0）的通徑，定長線段l的兩端點a,b在橢圓上移動，記|ab|=，是ab中點，則當時，有,);當時，有,.32橢圓與直線

5、有公共點的充要條件是.33橢圓與直線有公共點的充要條件是.34設橢圓（ab0）的兩個焦點為f1、f2,p（異于長軸端點）為橢圓上任意一點，在pf1f2中，記, ,，則有.35經過橢圓（ab0）的長軸的兩端點a1和a2的切線，與橢圓上任一點的切線相交于p1和p2，則.36已知橢圓（ab0），o為坐標原點，p、q為橢圓上兩動點，且.（1）;（2）|op|2+|oq|2的最小值為;（3）的最小值是.37mn是經過橢圓（ab0）焦點的任一弦，若ab是經過橢圓中心o且平行于mn的弦，則.38mn是經過橢圓（ab0）焦點的任一弦，若過橢圓中心o的半弦，則.39設橢圓（ab0）,m(m,o) 或(o, m)

6、為其對稱軸上除中心，頂點外的任一點，過m引一條直線與橢圓相交于p、q兩點，則直線a1p、a2q(a1 ,a2為對稱軸上的兩頂點)的交點n在直線：(或)上.40設過橢圓焦點f作直線與橢圓相交 p、q兩點，a為橢圓長軸上一個頂點，連結ap 和aq分別交相應于焦點f的橢圓準線于m、n兩點，則mfnf.41過橢圓一個焦點f的直線與橢圓交于兩點p、q, a1、a2為橢圓長軸上的頂點，a1p和a2q交于點m，a2p和a1q交于點n，則mfnf.42設橢圓方程,則斜率為k(k0)的平行弦的中點必在直線：的共軛直線上,而且.43設a、b、c、d為橢圓上四點,ab、cd所在直線的傾斜角分別為，直線ab與cd相交

7、于p,且p不在橢圓上,則.44已知橢圓（ab0）,點p為其上一點f1, f 2為橢圓的焦點，的外（內）角平分線為，作f1、f2分別垂直于r、s，當p跑遍整個橢圓時，r、s形成的軌跡方程是().45設abc內接于橢圓，且ab為的直徑，為ab的共軛直徑所在的直線，分別交直線ac、bc于e和f，又d為上一點，則cd與橢圓相切的充要條件是d為ef的中點.46過橢圓（ab0）的右焦點f作直線交該橢圓右支于m,n兩點，弦mn的垂直平分線交x軸于p，則.47設a（x1 ,y1）是橢圓（ab0）上任一點，過a作一條斜率為的直線l，又設d是原點到直線 l的距離, 分別是a到橢圓兩焦點的距離，則.48已知橢圓（

8、ab0）和（ ），一直線順次與它們相交于a、b、c、d四點，則ab=|cd.49已知橢圓（ ab0）,a、b、是橢圓上的兩點，線段ab的垂直平分線與x軸相交于點, 則.50設p點是橢圓（ ab0）上異于長軸端點的任一點,f1、f2為其焦點記，則(1).(2) .51設過橢圓的長軸上一點b（m,o）作直線與橢圓相交于p、q兩點，a為橢圓長軸的左頂點，連結ap和aq分別交相應于過h點的直線mn：于m，n兩點,則.52l是經過橢圓（ ab0）長軸頂點a且與長軸垂直的直線，e、f是橢圓兩個焦點，e是離心率,點，若，則是銳角且或（當且僅當時取等號）.53l是橢圓（ ab0）的準線，a、b是橢圓的長軸兩頂

9、點,點，e是離心率，h是l與x軸的交點c是半焦距，則是銳角且或（當且僅當時取等號）.54l是橢圓（ ab0）的準線，e、f是兩個焦點，h是l與x軸的交點，點，,離心率為e，半焦距為c，則為銳角且或（當且僅當時取等號）.55已知橢圓（ ab0），直線l通過其右焦點f2,且與橢圓相交于a、b兩點，將a、b與橢圓左焦點f1連結起來，則（當且僅當abx軸時右邊不等式取等號，當且僅當a、f1、b三點共線時左邊不等式取等號）.56設a、b是橢圓（ ab0）的長軸兩端點，p是橢圓上的一點，, ,，c、e分別是橢圓的半焦距離心率，則有(1).(2) .(3) .57設a、b是橢圓（ ab0）長軸上分別位于橢圓

10、內（異于原點）、外部的兩點，且、的橫坐標，（1）若過a點引直線與這橢圓相交于p、q兩點，則；（2）若過b引直線與這橢圓相交于p、q兩點，則.58設a、b是橢圓（ ab0）長軸上分別位于橢圓內（異于原點），外部的兩點，（1）若過a點引直線與這橢圓相交于p、q兩點，（若b p交橢圓于兩點，則p、q不關于x軸對稱），且，則點a、b的橫坐標、滿足；（2）若過b點引直線與這橢圓相交于p、q兩點，且,則點a、b的橫坐標滿足.59設是橢圓的長軸的兩個端點，是與垂直的弦，則直線與的交點p的軌跡是雙曲線.60過橢圓（ ab0）的左焦點作互相垂直的兩條弦ab、cd則.61到橢圓（ ab0）兩焦點的距離之比等于（c

11、為半焦距）的動點m的軌跡是姊妹圓.62到橢圓（ ab0）的長軸兩端點的距離之比等于（c為半焦距）的動點m的軌跡是姊妹圓.63到橢圓（ ab0）的兩準線和x軸的交點的距離之比為（c為半焦距）的動點的軌跡是姊妹圓（e為離心率）.64已知p是橢圓（ ab0）上一個動點，是它長軸的兩個端點,且,，則q點的軌跡方程是.65橢圓的一條直徑(過中心的弦)的長，為通過一個焦點且與此直徑平行的弦長和長軸之長的比例中項.66設橢圓（ ab0）長軸的端點為,是橢圓上的點過p作斜率為的直線，過分別作垂直于長軸的直線交于,則（1）.（2）四邊形面積的最小值是.67已知橢圓（ ab0）的右準線與x軸相交于點，過橢圓右焦點

12、的直線與橢圓相交于a、b兩點,點在右準線上，且軸，則直線ac經過線段ef 的中點.68oa、ob是橢圓（ a0,b0）的兩條互相垂直的弦，o為坐標原點，則（1）直線ab必經過一個定點.(2) 以o a、o b為直徑的兩圓的另一個交點q的軌跡方程是.69是橢圓（ab0）上一個定點，p a、p b是互相垂直的弦，則（1）直線ab必經過一個定點.（2）以p a、p b為直徑的兩圓的另一個交點q的軌跡方程是(且).70如果一個橢圓短半軸長為b，焦點f1、f2到直線的距離分別為d1、d2，那么（1），且f1、f 2在同側直線l和橢圓相切.（2），且f1、f2在l同側直線和橢圓相離，（3），或f1、f2在

13、l異側直線l和橢圓相交.71ab是橢圓（ab0）的長軸，是橢圓上的動點，過的切線與過a、b的切線交于、兩點，則梯形abdc的對角線的交點m的軌跡方程是.72設點為橢圓（ ab0）的內部一定點，ab是橢圓過定點的任一弦，當弦ab平行（或重合）于橢圓長軸所在直線時.當弦ab垂直于長軸所在直線時, .73橢圓焦三角形中,以焦半徑為直徑的圓必與以橢圓長軸為直徑的圓相內切.74橢圓焦三角形的旁切圓必切長軸于非焦頂點同側的長軸端點.75橢圓兩焦點到橢圓焦三角形旁切圓的切線長為定值a+c與a-c.76橢圓焦三角形的非焦頂點到其內切圓的切線長為定值a-c.77橢圓焦三角形中,內點到一焦點的距離與以該焦點為端點

14、的焦半徑之比為常數e(離心率). (注:在橢圓焦三角形中,非焦頂點的內、外角平分線與長軸交點分別稱為內、外點.)78橢圓焦三角形中,內心將內點與非焦頂點連線段分成定比e.79橢圓焦三角形中,半焦距必為內、外點到橢圓中心的比例中項.80橢圓焦三角形中,橢圓中心到內點的距離、內點到同側焦點的距離、半焦距及外點到同側焦點的距離成比例.81橢圓焦三角形中,半焦距、外點與橢圓中心連線段、內點與同側焦點連線段、外點與同側焦點連線段成比例.82橢圓焦三角形中,過任一焦點向非焦頂點的外角平分線引垂線,則橢圓中心與垂足連線必與另一焦半徑所在直線平行.83橢圓焦三角形中,過任一焦點向非焦頂點的外角平分線引垂線,則

15、橢圓中心與垂足的距離為橢圓長半軸的長.84橢圓焦三角形中,過任一焦點向非焦頂點的外角平分線引垂線,垂足就是垂足同側焦半徑為直徑的圓和橢圓長軸為直徑的圓的切點.85橢圓焦三角形中,非焦頂點的外角平分線與焦半徑、長軸所在直線的夾角的余弦的比為定值e.86橢圓焦三角形中,非焦頂點的法線即為該頂角的內角平分線.87橢圓焦三角形中,非焦頂點的切線即為該頂角的外角平分線.88橢圓焦三角形中,過非焦頂點的切線與橢圓長軸兩端點處的切線相交,則以兩交點為直徑的圓必過兩焦點.89. 已知橢圓(包括圓在內)上有一點,過點分別作直線及的平行線，與軸于，與軸交于.,為原點，則：（1）；（2）.90. 過平面上的點作直線

16、及的平行線，分別交軸于，交軸于.（1）若，則的軌跡方程是.(2)若，則的軌跡方程是.91. 點為橢圓(包括圓在內)在第一象限的弧上任意一點，過引軸、軸的平行線，交軸、軸于，交直線于，記 與的面積為，則：.92. 點為第一象限內一點，過引軸、軸的平行線，交軸、軸于，交直線于，記 與的面積為，已知，則的軌跡方程是.橢圓性質92條證明1.橢圓第一定義。2.由定義即可得橢圓標準方程。3.橢圓第二定義。4. 如圖，設，切線pt（即）的斜率為k，所在直線斜率為，所在直線斜率為。4圖 5圖由兩直線夾角公式得： 同理可證其它情況。故切線pt平分點p處的外角。5.如圖，延長f1p至a，使pa=pf2，則是等腰三

17、角形，af2中點即為射影h2。則，同理可得，所以射影h1，h2的軌跡是以長軸為直徑的圓除去兩端點。6.設p，q兩點到與焦點對應的準線的距離分別為，以pq中點到準線的距離為，以pq為直徑的圓的半徑為r，則，故以pq為直徑的圓與對應準線相離。7圖 8圖7.如圖，兩圓圓心距為，故兩圓內切。8.如圖，由切線長定理：，而，與重合，故旁切圓與x軸切于右頂點，同理可證p在其他位置情況。9.10. 在橢圓上，對求導得：切線方程為即11.設，由10得：，因為點在直線上，且同時滿足方程，所以12.作差得：13.由12可得：14. .由12可得：15.設，則16.將直線ab代入橢圓方程中得：，設則， 17.設橢圓內

18、直角弦ab的方程為：即。當斜率k存在時，代入橢圓c1方程中得：設得，則即直線ab過定點，此點在c2上。當直線斜率不存在時，直線ab也過c2上的定點。由上可知c1和c2上點由此建立起一種一一對應的關系，即證。18.必要性：設p1p2：。k存在時，代入橢圓方程中得：設得， k不存在時，p1p2：x=mx0則，必要性得證。充分性：設p1p2過定點，則p1p2：。代入橢圓方程得：設得，則注意到m1，解（1）（3）得，代入（2）式，成立。驗證k不存在的情況，也得到此結論。故過定點，充分性得證。19. 設ab：即20.由余弦定理：21.由34：22.由第二定義得：23.24.25.設橢圓上的點關于對稱，。

19、由12得：又在橢圓內，若，則26.由5即可得證。27.設p，則切線，a27圖 30圖28.29.設。聯立得：，由韋達定理：同理。則apbq=而的符號一定相反，故=0。所以ap=bq30.設，為ab中點。則而設，則解得，代入m2得：令得：所以定長為2m（0ma）的弦中點軌跡方程為。其中,當時, 。31. 設，為ab中點。則：二次函數y=e2x2-mx+a2與在內的交點即為x0的值。由圖易知y=e2x2-mx+a2與的左交點為x0的值。當m增大時，x0減小。要使x0最大，則要使m最小。，此時等號成立時31圖 35圖當此式成立時當時：當時：當時，。當時，當，即ab垂直于x軸時x0最大。考慮到對稱性對

20、任意情況均成立。， 32.33. 當時，即為32：34.由正弦定理得，所以。35. 設，則p點處的切線為，由此可得：36.（1）同15.（2）由15,36（3）：（3）設，37.設，橢圓 37圖 38圖則將ab的方程代入橢圓的標準方程中得：，由參數t的幾何意義可知：38.作半弦oqop，由37得：，由15：39.設，將的方程代入橢圓得：由韋達定理得：，直線a1p的方程為，直線a2q的方程為，聯立a1p和a2q得交點n的橫坐標，代入化簡：所以交點一定在直線上。同理可證m在y軸上的情況。引理（張角定理）：a,c,b三點按順序排列在一條直線上。直線外一點p對ac的張角為，對cb的張角為。則：40圖

21、41圖40.如圖，a為左頂點時，設，則。 對f-apm由張角定理：即fm平分，同理fn平分。即mfnf當a為右頂點時，由39可知左頂點a與p、m；q、n分別共線，于是回到上一種情況。41.如圖，設，則對f-qa2m和f-a1pm由張角定理：兩式相減并化簡得：即fm平分，同理fn平分。即mfnf42.由12即可證得。43.設，ab：，cd：，將ab的方程代入橢圓得：由參數t的幾何意義可知：，同理44. 對于外角平分線的情況由5即可證得，下僅證為內角平分線的情況。設p，則則，。分別聯立、和、得：，則， 對點：，代回式得：同理對點得。故點、點的軌跡方程為45.由伸縮變換將橢圓（左圖）變為圓（右圖），

22、橢圓中的共軛直徑變為圓中相互垂直的直徑。所證命題變為證cd與圓o相切的充要條件是d為ef中點。 充分性：若d為ef中點 c在圓上，aboe fcce，ofob cd=de=df dcf=ofb=oac=ocaocd=oca+ecd=ecd+dcf=ecf=90occd cd與圓相切。必要性：若cd與圓相切，則ocd=acb=fob=90dcf=oca=oac=cfd df=dc ecf=90dec=90cfd=90dcf=dce cd=de=df 即d為ef中點。46.設，由橢圓極坐標方程：， 47.由10可知為切線 由22: 48.同29。49.50.同20。51.設，代入橢圓方程得：由韋達

23、定理得：由a、p、m三點共線得，同理52,53,54為同一類題（最佳觀畫位置問題），現給出公式：若有兩定點a，b，點p在直線x=m上（mk），則當時，apb最大，其正弦值為。52.k=c,m=a sine,當且僅當ph=b時取等號。 53. k=a,m= sine,當且僅當ph=時取等號。54. k=c,m= sine2,當且僅當ph=時取等號。55.設af2x=， 當=0時，；當=90時， 56.（1）設，代入橢圓方程得： ap=0ap=（2）設則（3）由（2）：57.由58可證。58.（1）易知pq的斜率為0和斜率不存在時，對任意x軸上的點a都成立。設，a（m，0）代入橢圓方程得：，則若，

24、則（2）作p關于x軸的對稱點，由（1）即證。59.同9。60.設橢圓，。則當時，有最小值；當或時，有最大值61,62,63為同一類問題，現給出公式：若點p到兩定點a，b的距離之比，則p點的軌跡為一個圓，圓心坐標為，圓的半徑為。下三個題的比值均為，代入上述公式得：圓心坐標為，圓的半徑為。61.m=c，圓心坐標為，圓的半徑為。軌跡方程是姊妹圓。62.m=a，圓心坐標為，圓的半徑為。軌跡方程是姊妹圓。63.m=，圓心坐標為，圓的半徑為。軌跡方程是姊妹圓。64.設，由得消去參數得q點的軌跡方程：65.同37。 66.（1）同35（2）由基本不等式，則梯形面積的最小值為。67.設ac交x軸于m，ad于d。由橢圓第二定義：ac過ef的中點。68.（1）由17可知當橢圓方程為時，ab過定點。當橢圓方程變為時，橢