1、1優(yōu)學課堂 n古典概型的兩個基本特點古典概型的兩個基本特點: : （1 1）所有的基本事件只有有限個）所有的基本事件只有有限個; ; （2 2）每個基本事件發(fā)生都是等可能的）每個基本事件發(fā)生都是等可能的. . 那么對于有無限多個試驗結果的情況那么對于有無限多個試驗結果的情況 相應的概率應如果求呢相應的概率應如果求呢? ? 復習引入復習引入 2優(yōu)學課堂 1 1. .取一根長度為取一根長度為3m3m的繩子，拉直后在任意位置的繩子，拉直后在任意位置 剪斷，那么剪得兩段的長度都不小于剪斷，那么剪得兩段的長度都不小于1m1m的概率的概率 有多大？有多大？ 從從3m3m的繩子上的任意一點剪斷的繩子上的任意

2、一點剪斷. . 基本事件基本事件: : 問題情境問題情境1 3優(yōu)學課堂 2.2.射箭比賽的箭靶是涂有五個彩色的分環(huán)射箭比賽的箭靶是涂有五個彩色的分環(huán). .從外向內(nèi)為白色、從外向內(nèi)為白色、 黑色、藍色、紅色，靶心是金色黑色、藍色、紅色，靶心是金色, ,金色靶心叫金色靶心叫“黃心黃心”. .奧運會奧運會 的比賽靶面直徑為的比賽靶面直徑為122cm,122cm,靶心直徑為靶心直徑為12.2cm.12.2cm.運動員在運動員在70m70m 外射箭外射箭, ,假設每箭都能中靶假設每箭都能中靶, ,且射中靶面內(nèi)任一點都是等可能的且射中靶面內(nèi)任一點都是等可能的, , 那么射中黃心的概率是多少那么射中黃心的概

3、率是多少? ? 射中靶面射中靶面( (直徑為直徑為122cm122cm的的 大圓大圓) )內(nèi)的任意一點內(nèi)的任意一點. . 這兩個問題能否用古典概型的方法來求解呢這兩個問題能否用古典概型的方法來求解呢? ? 怎么辦呢怎么辦呢? ? 基本事件基本事件: : 問題情境問題情境2 4優(yōu)學課堂 3 3 1 1 A A) )事事件件A A發(fā)發(fā)生生的的概概率率P P( ( 0 0. .0 01 1 1 12 22 2 4 4 1 1 1 12 2. .2 2 4 4 1 1 B B) )事事件件B B發(fā)發(fā)生生的的概概率率P P( ( 2 2 2 2 對于問題對于問題1 1. .記記“剪得兩段繩長都不小于剪得

4、兩段繩長都不小于1m”1m”為事件為事件A. A. 把繩子三等分把繩子三等分, ,于是當剪斷位置處在中間一段上時于是當剪斷位置處在中間一段上時, ,事事 件件A A發(fā)生發(fā)生. .由于中間一段的長度等于繩長的由于中間一段的長度等于繩長的1/3.1/3. 對于問題對于問題2.記記“射中黃心射中黃心”為事件為事件B，由于中靶點隨機，由于中靶點隨機 落在面積為落在面積為 cm2的大圓內(nèi)，而當中靶點的大圓內(nèi)，而當中靶點 落在面積為落在面積為 cm2黃心內(nèi)時，事件黃心內(nèi)時，事件B發(fā)生。發(fā)生。 2 122 4 1 2 2.12 4 1 5優(yōu)學課堂 對于一個隨機試驗對于一個隨機試驗, ,我們將每個基本事件理解

5、為從某個我們將每個基本事件理解為從某個 特定的幾何區(qū)域內(nèi)隨機地特定的幾何區(qū)域內(nèi)隨機地取一點取一點, ,該區(qū)域中的每一個點被該區(qū)域中的每一個點被 取到的機會都一樣取到的機會都一樣, ,而一個隨機事件的發(fā)生則理解為恰好而一個隨機事件的發(fā)生則理解為恰好 取到上述區(qū)域內(nèi)的取到上述區(qū)域內(nèi)的某個指定區(qū)域中的點某個指定區(qū)域中的點. .這里的區(qū)域可以這里的區(qū)域可以 是是線段、平面圖形、立體圖形線段、平面圖形、立體圖形等等. .用這種方法處理隨機試用這種方法處理隨機試 驗驗, ,稱為稱為幾何概型幾何概型. . 幾何概型的特點幾何概型的特點: : (1)(1)基本事件有無限多個基本事件有無限多個; (2)(2)基

6、本事件發(fā)生是等可能的基本事件發(fā)生是等可能的. . 構建數(shù)學構建數(shù)學 6優(yōu)學課堂 . . D的測度D的測度 d的測度d的測度 P(A)P(A) 一般地,在幾何區(qū)域D中隨機地取一點,記“該點落 在其內(nèi)部一個區(qū)域d內(nèi)”為事件A,則事件A發(fā)生的概率: 注注: : (2)(2)DD的測度不為的測度不為0,0,當當DD分別是分別是線段、平面圖形、立體圖形線段、平面圖形、立體圖形 時時, ,相應的相應的“測度測度”分別是分別是長度、面積和體積長度、面積和體積. . （1 1）古典概型與幾何概型的區(qū)別在于：古典概型與幾何概型的區(qū)別在于： 幾何概型是無限多個等可能事件的情況，幾何概型是無限多個等可能事件的情況，

7、 而古典概型中的等可能事件只有有限多個；而古典概型中的等可能事件只有有限多個； （3 3）在區(qū)域在區(qū)域 內(nèi)隨機取點是指：該點落在內(nèi)隨機取點是指：該點落在 內(nèi)任何一內(nèi)任何一 處都是等可能的，落在任何部分的可能性只與該部分的處都是等可能的，落在任何部分的可能性只與該部分的 測度成正比而測度成正比而與其形狀位置無關與其形狀位置無關 DD 7優(yōu)學課堂 用幾何概型解簡單試驗問題的方法用幾何概型解簡單試驗問題的方法 1 1、適當選擇觀察角度，把問題轉(zhuǎn)化為幾何概、適當選擇觀察角度，把問題轉(zhuǎn)化為幾何概 型求解；型求解； 2 2、把基本事件轉(zhuǎn)化為與之對應的、把基本事件轉(zhuǎn)化為與之對應的區(qū)域區(qū)域DD； 3 3、把隨

8、機事件把隨機事件A A轉(zhuǎn)化為與之對應的轉(zhuǎn)化為與之對應的區(qū)域區(qū)域d d； 4 4、利用幾何概型概率公式計算并作答。、利用幾何概型概率公式計算并作答。 注意：要注意基本事件是等可能的。注意：要注意基本事件是等可能的。 8優(yōu)學課堂 例例1.1.取一個邊長為取一個邊長為2a2a的正方形及其內(nèi)切圓，隨機的正方形及其內(nèi)切圓，隨機 向正方形內(nèi)丟一粒豆子，求豆子落入圓內(nèi)的概率向正方形內(nèi)丟一粒豆子，求豆子落入圓內(nèi)的概率. . 2a 事事件件A A, ,記記“豆豆子子落落在在圓圓內(nèi)內(nèi)”為為: :解解 . 4 4 豆豆子子落落入入圓圓內(nèi)內(nèi)的的概概率率為為答答 4 4 4 4a a a a 正正方方形形面面積積 圓圓

9、的的面面積積 P P( (A A) ) 2 2 2 2 數(shù)學應用數(shù)學應用 9優(yōu)學課堂 數(shù)學拓展：數(shù)學拓展：模擬撒豆子試驗估計圓周率模擬撒豆子試驗估計圓周率 ( ). m P A n 由此可得由此可得 n m4 如果向正方形內(nèi)撒如果向正方形內(nèi)撒 顆豆子，其中落在圓內(nèi)的顆豆子，其中落在圓內(nèi)的 豆子數(shù)為豆子數(shù)為 ，那么當，那么當 很大時，比值很大時，比值 ， 即頻率應接近于即頻率應接近于 ，于是有，于是有 n m n ( )P A mn a 由由 例例1 知知 4 )( AP 10優(yōu)學課堂 例例2.2.在在1L1L高產(chǎn)小麥種子中混入了一粒帶麥銹病高產(chǎn)小麥種子中混入了一粒帶麥銹病 的種子的種子, ,從

10、中隨機取出從中隨機取出10mL,10mL,含有麥銹病種子的含有麥銹病種子的 概率是多少概率是多少? ? 有一杯有一杯1 1升的水升的水, ,其中含有其中含有1 1個大腸桿菌個大腸桿菌, , 用一個小杯從這杯水中取出用一個小杯從這杯水中取出0.10.1升升, ,求小求小 杯水中含有這個細菌的概率杯水中含有這個細菌的概率. . 1 10 00 0 1 1 1 10 00 00 0 1 10 0 所所有有種種子子的的體體積積 取取出出種種子子的的體體積積 P P( (A A) ) 解：解：記記“取出取出10ml麥種，其中含有病種子麥種，其中含有病種子”為事件為事件A， 則則 答：答：含有麥銹病種子的

11、概率是含有麥銹病種子的概率是 。 100 1 練練 一一 練練 11優(yōu)學課堂 例例4.4.在等腰直角三角形在等腰直角三角形ABCABC中，在斜邊中，在斜邊ABAB上任取一上任取一 點點M M，求，求AMAM小于小于ACAC的概率。的概率。 C A B C 解：解：在在AB上截取上截取AC=AC 于是于是 P（AMAC）=P（AM AC） ACAC2 = ABAB2 答答：AM小于小于AC的概率為的概率為 2 2 12優(yōu)學課堂 1.1.某人午休醒來，發(fā)覺表停了，他打開收音機想某人午休醒來，發(fā)覺表停了，他打開收音機想 聽電臺整點報時，求他等待的時間短于聽電臺整點報時，求他等待的時間短于1010分鐘

12、分鐘 的概率的概率. . 打開收音機的時刻位于打開收音機的時刻位于5050，6060時間段內(nèi)時間段內(nèi) 則事件則事件A A發(fā)生發(fā)生. . 由幾何概型的求概率公式得由幾何概型的求概率公式得 P P（A A）= =（60-5060-50）/60=1/6/60=1/6 即即“等待報時的時間不超過等待報時的時間不超過1010分鐘分鐘”的概率為的概率為1/6.1/6. 解：解：記記“等待的時間小于等待的時間小于1010分鐘分鐘”為事件為事件A A， 學生活動學生活動 13優(yōu)學課堂 2. 已知米粒等可能的落入如圖所示的四邊形已知米粒等可能的落入如圖所示的四邊形ABCD 內(nèi)，如果通過大量的實驗發(fā)現(xiàn)米粒落在內(nèi)，

13、如果通過大量的實驗發(fā)現(xiàn)米粒落在BCD內(nèi)的內(nèi)的 頻率穩(wěn)定在頻率穩(wěn)定在4/9附近，那么點附近，那么點A和點和點C到直線到直線BD的的 距離之比約為距離之比約為-。 A B C D 14優(yōu)學課堂 3.3.在在1 1萬平方公里的海域中有萬平方公里的海域中有4040平方公里的海平方公里的海 域貯藏著石油域貯藏著石油. .假如在海域中任意一點鉆探假如在海域中任意一點鉆探, ,鉆到鉆到 油層面的概率是多少油層面的概率是多少? ? 15優(yōu)學課堂 4.4.如圖所示。一水平放置的如圖所示。一水平放置的“靶子靶子”共有共有1010 個同心圓構成，其半徑分別為個同心圓構成，其半徑分別為1cm1cm、2cm2cm、 3

14、cm3cm、10cm,10cm,最內(nèi)的小圓稱為最內(nèi)的小圓稱為1010環(huán)區(qū)，環(huán)區(qū)， 然后從內(nèi)向外的圓環(huán)依次為然后從內(nèi)向外的圓環(huán)依次為9 9環(huán)區(qū)、環(huán)區(qū)、8 8環(huán)環(huán) 區(qū)、區(qū)、1 1環(huán)區(qū)，現(xiàn)隨機地向環(huán)區(qū)，現(xiàn)隨機地向“靶子靶子”上撒上撒 一粒豆子，則豆子落在一粒豆子，則豆子落在8 8環(huán)區(qū)的概率是多少？環(huán)區(qū)的概率是多少？ 16優(yōu)學課堂 . .( (會面問題會面問題) )甲、乙二人約定在甲、乙二人約定在1212點到點之間在某地點到點之間在某地 會面，先到者等一個小時后即離去會面，先到者等一個小時后即離去, ,設二人在這段時間內(nèi)設二人在這段時間內(nèi) 的各時刻到達是等可能的，且二人互不影響。求二人能會的各時刻到達

15、是等可能的，且二人互不影響。求二人能會 面的概率。面的概率。 解：以解：以x, ,y分別表示甲、乙二人到達的時刻，于是分別表示甲、乙二人到達的時刻，于是 00 x5,05,0y5.5. 即即 點點 M M 落在圖中的陰影部落在圖中的陰影部 分分. .所有的點構成一個正方所有的點構成一個正方 形，即有形，即有無窮多個結果無窮多個結果. . 由于每人在任一時刻到達由于每人在任一時刻到達 都是等可能的，所以落在正都是等可能的，所以落在正 方形內(nèi)各點是方形內(nèi)各點是等可能的等可能的. . .M(x,y) 拓展提高拓展提高 x 0 1 2 3 4 5 y 5 4 3 2 1 17優(yōu)學課堂 兩人會面的條件是

16、：兩人會面的條件是： | 1,xy 2 25 5. . 9 9 2 25 5 4 4 2 2 1 1 2 22 25 5 正正方方形形的的面面積積 陰陰影影部部分分的的面面積積 P P( (A A) ) 2 2 0 1 2 3 4 5 y x 5 4 3 2 1 y=x+1 y=x -1 記記“兩人會面兩人會面”為事件為事件A 18優(yōu)學課堂 假設你家訂了一份報紙假設你家訂了一份報紙, ,送報人可能在早上送報人可能在早上6:307:306:307:30 之間把報紙送到你家之間把報紙送到你家, ,你父親離開家去工作的時間在早你父親離開家去工作的時間在早 上上7:008:007:008:00之間之間

17、, ,問你父親在離開家前能得到報紙問你父親在離開家前能得到報紙 ( (稱為事件稱為事件A)A)的概率是多少的概率是多少? ? 解解: :以橫坐標以橫坐標X表示報紙送到時間表示報紙送到時間, 以縱坐標以縱坐標Y表示父親離家時間建立表示父親離家時間建立 平面直角坐標系平面直角坐標系,由于隨機試驗落由于隨機試驗落 在方形區(qū)域內(nèi)任何一點是等可能的在方形區(qū)域內(nèi)任何一點是等可能的, 所以符合幾何概型的條件所以符合幾何概型的條件.根據(jù)題根據(jù)題 意意,只要點落到陰影部分只要點落到陰影部分,就表示父就表示父 親在離開家前能得到報紙親在離開家前能得到報紙,即時間即時間A 發(fā)生發(fā)生,所以所以 2 2 2 30 60 2 ( )87.5%. 60 P A 拓展提高拓展提高 19優(yōu)學課堂 n1.1.古典概型與幾何概型的區(qū)別古典