1、專題講義平行四邊形+幾何輔助線的作法、知識點1 四邊形的內角和與外角和定理：(1) 四邊形的內角和等于360;(2) 四邊形的外角和等于360 .2. 多邊形的內角和與外角和定理：(1) n邊形的內角和等于(n-2)180 ;(2) 任意多邊形的外角和等于 360 .3. 平行四邊形的性質:性質四邊形ABCD是平行四邊形判定(1) 兩組對邊分別平行;(2) 兩組對邊分別相等;(3)兩組對角分別相等;(4) 對角線互相平分；(5) 鄰角互補.4、平行四邊形判定方法的選擇已知條件選擇的判定方法邊一組對邊相等方法,方法一組對邊平行定義(方法D.方法角經對角相等對角線方法5、和平行四邊形有關的輔助線作

2、法(1)利用一組對邊平行且相等構造平行四邊形例1、如圖，已知點O是平行四邊形ABCD勺對角線AC的中點，四邊形OCD是平行四邊形E求證：OE與AD互相平分./ 飛說明：當已知條件中涉及到平行，且要求BC證的結論中和平行四邊形的性質有關， 可 試通過添加輔助線構造平行四邊形:例2、如圖，在 ABC中，E、F為AB上兩點,AE=BF ED/AC，FG/AC交 BC分別為 D, G.(2)利用兩組對邊平行構造平行四邊形求證：ED+FG=AC.說明：當圖形中涉及到一組對邊平 行時，可通過作平行線構造另一組 對邊平行，得到平行四邊形解決問(3) 利用對角線互相平分構造平行四邊形例3、如圖，已知 ADS

3、ABC的中線，BE交AC于E，交AD于F，且AE=EF求證BF=AC.說明：本題通過利用對角線互相平分構造平行 四邊形，實際上是采用了平移法構造平行四邊 形.當已知中點或中線應思考這種方法（4）連結對角線，把平行四邊形轉化成兩個全等三角形。例4、如圖，在平行四邊形ABCD中，點E,F在對角線AC上，且AE二CF ,請你以F為一 個端點，和圖中已標明字母的某一點連成一條新線段， 猜想并證明它和圖中已有的某一條線段 相等（只需證明一條線段即可）（5）平移對角線，把平行四邊形轉化為梯形。例5、如右圖2,在平行四邊形ABCD中，對角線AC和BD相交于點0,如果AC =12,BD =10，AB=m，那么

4、m的取值范圍是（）圖2A、 1 ： m ： ： 11 B 、 2 m : 22C、 10 ： m ： 12 D 、 5 ： m ： 6（6）過一邊兩端點作對邊的垂線，把平行四邊形轉化為矩形和直角三角形問題。例6、已知：如圖，四邊形 ABCD為平行四邊形求證：AC2 BD2 =AB2 BC2 CD2 DA2(7) 延長一邊中點與頂點連線，把平行四邊形轉化為三角形。例7、已知：如右上圖4，在正方形ABCD中，E,F分別是CD、于P點，求證：AP二AB、課堂練習:1、如圖，E是平行四邊形ABCD的邊AB的中點，AC與DE相交于點F ,若平行四邊形ABCD的面積為s，則圖中面積為Is的三角形有(2A.

5、 1個 B . 2個2、順次連接一個任意四邊形四邊的中點，得到一個 四邊形.3、如圖，AD，BC垂直相交于點 O, AB / CD，貝U AB+CD的長=。BC=8，4、已知等邊三角形 ABC的邊長為a，P是厶ABC內一點，PD/ AB PE/ BC PF / AC,點DE、F分別在BC、AC AB上，猜想：PM PE+PF=并證明你的B DCK猜想.5、平行四邊形ABCD中, E,G,F,H分別是四條邊上的點，且 AE=CF,BC=DH ,試說明：EF與GH相互平分.6如圖，平行四邊形 ABCD勺對角線AC和BD交于O, E、F分別為OB 0D的中點，過0 任作一直線分別交AB CD于G、H

6、.試說明：GF/ EH7、如圖，已知AB C , B是AD的中點，E是AB的中點.8、如圖，E是梯形ABCD要DC的中點.試說明:S . AbeS梯形 abcd2試說明：CD =2CE9、已知六邊形 ABCDEF勺 6 個內角均為 120, CD= 2cm, BC= 8cm, AB= 8cm, AF=5cm 試求此六邊形的周長.10、已知 ABC是等腰三角形，AB=AC D是BC邊上的任一點，且DE _ AB ,DF _AC,CH _ AB，垂足分別為 E、F、H,求證：DE DF =CH11、已知：在Rt ABC中，AB =BC ;在Rt ADE中，AD二DE ；連結EC，取EC的中點M，連

7、結DM和BM .(1) 若點D在邊AC上，點E在邊AB上且與點B不重合，如圖，求證：BM =DM 且 BM _ DM ;(2) 如果將圖8-中的ADE繞點A逆時針旋轉小于45的角，如圖，那么(1) 中的結論是否仍成立？如果不成立，請舉出反例；如果成立，請給予證明.圖圖-答案： BF =DE例4、連結BF證明：連結DB,DF,設DB,AC交于點0四邊形ABC助平行四邊形v AE 二 FC 四邊形EBF場平行四邊形例5、解：將線段DB沿DC方向平移，使得 四邊形， AO =OC,DO =0B AO - AE = 0C - FC 即 OE 二 OF BF 二 DEDB =CE , DC = BE，貝

8、U有四邊形CDBE為平行v在 ACE 中，AC =12, CE 二 BD =10 , AE 二 2AB 二 2m 12 -10 : 2m : 12 10，即 2 : 2m ： 22 解得 1 ： m 11故選 A例6、證明：過A,D分別作AE _ BC于點E , DF _ BC的延長線于點F AC2 =AE2 CE2 =AB2 - BE2 (BC - BE)2 =AB2 BC2 - 2BE BCBD2 =DF2 BF (CD2 -CF2) (BC CF)2 二CD2 BC2 2BC CF貝U AC2 BD2 二 AB2 BC2 CD 2 DA2 2BC CF _ 2BC BE四邊形ABCD為平

9、行四邊形二AB / CD且AB =CD , AD = BC . ABC =/DCF：AEB ZDFC =90.lABE 三 DCF. BE = CF AC2 BD2 =AB2 BC2 CD2 DA2例7、證明：延長CF交BA的延長線于點K四邊形ABCD為正方形 AB / CD 且 AB 二 CD , CD 二 AD , . BAD 二/ BCD =/D =90 ：C D F K A F CE =DF . 1 2 乙 1 ZK又： D = DAK =90, DF = AF1 1 AK =CD =AB/ CE =CD DF =丄 AD2， 2ZBCD=90 ：B C E C D F . 2 3 =

10、90。 CPB =900,貝U KPB =900 AP =AB二、課堂練習1、C 2 、平行3、1045、分析：觀察圖形，EF與HG為四邊形HEGF的對角線，若能說明四邊形 HEGF是平行四邊形，根據平行四邊形的對角線互相平分這一性質即可得到6、分析：觀察圖形，GF與EH為四邊形GEHF的對邊，若能說明四邊形 EHFG是平行四邊形，平行四邊形具有對邊平行的性質可得 GF / EH .7、分析：延長CE至F,使EF = CE,連結AF、BF，得四邊形AFBC是平行四邊形，利用平行四邊形的性質證明 DBCFBC即可8、分析：過點E作MN / AB,交BC于N，交AD的延長線于M，則四邊形ABNM是

11、平行四邊形，平行四邊形ABNM，接下來說明 ABE與四邊形ABNM等底等高，所以Smbe =丄S2S梯形ABCD= S平行四邊形ABNM 即可。9、延長BA. EF,交點記ftG；延KBC. ED,交點記作H同理._4一7巳46譏Hi AFGA與ACDH都是正 三帝形.-GWCD=DH-CH=2t H=60.B+ H=18ft&r 二 EH/g 汁 一AGE7/BH. 因優*四勸形GBHEg平行四訥形. GB；A+AB=5+S=i3f BH=B-K ； ZDAEtZDEAO0/. ZACE+ ZCAD+ ZCEDO0/ 2CAD=45s -ZBAD ZDEM= ZNCMi ZBCM+ ZBCN

12、= ZCED. ZACE+45 一 ZBMH ZBCM+ ZBCN=9O,丈必銃斟區反給護T -A輕11施丄/家+：ZBWb/. ZBAD=ZBGN y X AB=CB fAD=CN /. AABD&GBR /.bp=bb ZABDZCBN* L p 4 f I, I 111 b| 丄廣 1 ,. , 4 * 4 J- I, * III-* - * SJ I *、 1 I *+ ZDBC+ZCBN=ZDBC+ZABDf=90p / 丈臥酗 D1=MN/. EM匸DM 且 EM丄Did；平行四邊形中常用輔助線的添法平行四邊形（包括矩形、正方形、菱形）的兩組對邊、對角和對角線都具有某些相同 性質，

13、所以在添輔助線方法上也有共同之處，目的都是造就線段的平行、垂直，構成三 角形的全等、相似，把平行四邊形問題轉化成常見的三角形、正方形等問題處理，其常 用方法有下列幾種，舉例簡解如下：（1）連對角線或平移對角線：（2 ）過頂點作對邊的垂線構造直角三角形（3）連接對角線交點與一邊中點，或過對角線交點作一邊的平行線，構造線段平行或 中位線（4）連接頂點與對邊上一點的線段或延長這條線段，構造三角形相似或等積三角形。（5 ）過頂點作對角線的垂線，構成線段平行或三角形全等第一類：連結對角線，把平行四邊形轉化成兩個全等三角形。例1如左下圖1,在平行四邊形ABCD中，點E,F在對角線AC上，且AE二CF，請你

14、 以F為一個端點，和圖中已標明字母的某一點連成一條新線段，猜想并證明它和圖中 已有的某一條線段相等（只需證明一條線段即可）連結 BF（2） BF 二 DE證明：連結DB,DF，設DB,AC交于點0四邊形ABCD為平行四邊形 A0 二 OC, DO 二 OB AE =FC二 AO-AE=OC-FC 即 OE =0F 四邊形EBFD為平行四邊形二BF =DE圖1圖2第二類：平移對角線，把平行四邊形轉化為梯形。例2如右圖2,在平行四邊形ABCD中，對角線AC和BD相交于點0 ,如果AC =12,BD =10 , AB二m，那么m的取值范圍是（）A1 ： m ： 11B 2 : m . 22C10 ：

15、 m 12D 5 ： m ： 6解：將線段DB沿DC方向平移，使得DB二CE , DC二BE，則有四邊形CDBE為平行四 邊形，：在：ACE 中,AC =12 ,CE =BD =10 , AE =2AB =2m 12 -10 ：:2m ：:12 10，即 2： 2m： 22 解得 1：m1故選 A第三類：過一邊兩端點作對邊的垂線，把平行四邊形轉化為矩形和直角三角形問題。例3已知：如左下圖3,四邊形ABCD為平行四邊形求證：AC2 BD2 =AB2 BC2 CD2 DA2證明：過A,D分別作AE _ BC于點E，DF _ BC的延長線于點F AC2 二 AE2 CE2 二 AB2 - BE2 (

16、BC - BE)2 二 AB2 BC2 - 2BE BCBD2 =DF2 BF (CD2 -CF2) (BC CF)2 二CD2 BC2 2BC CF貝 U AC2 BD2 二 AB2 BC2 CD2 DA2 2BC CF 2BC BE四邊形ABCD為平行四邊形二AB / CD且AB二CD , AD二BC . ABC 二.DCFI . AEB = DFC =90 BE 二 CFABE 三.：DCF2 2 2 2 2 2 AC BD =AB BC CD DAFFA第四類：延長一邊中點與頂點連線，把平行四邊形轉化為三角形例4：已知：如右上圖4,在正方形ABCD中，E,F分別是CD、DA的中點，BE

17、與CF 交于P點，求證：AP =AB證明：延長CF交BA的延長線于點K四邊形ABCD為正方形 AB / CD 且 AB =CD , CD 二 AD , . BAD BCD D =90。 ：C D F3K A F CE =DF 1 =/K又I /D DAK =900, DF 二 AF1 1 AK =CD =AB/ CE =丄CD DF =丄 AD2 2V . BCD D =90V . 1 . 3 = 90 . 2 . 3 = 90 . CPB 二 90,貝,KPB 二 90 AP =AB第五類：延長一邊上一點與一頂點連線，把平行四邊形轉化為平行線型相似三角形。例5如左下圖5,在平行四邊形ABCD中，點E為邊CD上任一點，請你在該圖基礎上， 適當添加輔助線找出兩對相似三角形。解：延長AE與BC的延長線相交于F ，則有：AED: FEC FABFEC，丄AED: FABFD第六類：把對角線交點與一邊中點連結，構造三角形中位線1例6已知：如右上圖6,