1、計算區域與控制方程的離散化 5 計算區域與控制方程的計算區域與控制方程的 離散化離散化 計算區域與控制方程的離散化 1、區域離散化：即對空間上連續的計算區域進行剖分，把它劃、區域離散化：即對空間上連續的計算區域進行剖分，把它劃 分成許多個子區域，并確定每個區域中的節點，這一過程又分成許多個子區域，并確定每個區域中的節點，這一過程又 稱為網格生成。稱為網格生成。 2、離散化方程結構：、離散化方程結構： 1）一個離散化方程關系到一組網格節點上的）一個離散化方程關系到一組網格節點上的值，通常它表現為代數方程，值，通常它表現為代數方程， 是由支配是由支配的微分方程推導而來，并表示與該微分方程相同的物理

2、信息，的微分方程推導而來，并表示與該微分方程相同的物理信息， 一個微分方程變成一個微分方程變成一組一組代數方程代數方程組；組； 2 2）離散化方程只與少數幾個網格節點有關，網格節點上的離散化方程只與少數幾個網格節點有關，網格節點上的值只影響其相鄰值只影響其相鄰 節點的節點的值；值； 3 3）對一個微分方程，）對一個微分方程，離散化方程不只一個，取決于關于的假設以及差分的階離散化方程不只一個，取決于關于的假設以及差分的階 數。但當網格節點數目很大時，相鄰節點間數。但當網格節點數目很大時，相鄰節點間值變化很小，關于假設的實值變化很小，關于假設的實 際細節已不重要，此時離散化方程的解即是精確解。際細

3、節已不重要，此時離散化方程的解即是精確解。 計算區域與控制方程的離散化 控制方程離散化控制方程離散化: 即將描寫流動與傳熱過程的偏微分方程轉化為各即將描寫流動與傳熱過程的偏微分方程轉化為各 個節點上的代數方程組。個節點上的代數方程組。 常用離散化方程的方法：常用離散化方程的方法： 有限差分法中的有限差分法中的Taylor展開法展開法 有限容積法中的控制容積積分法有限容積法中的控制容積積分法 多項式擬合法多項式擬合法 平衡法平衡法 計算區域與控制方程的離散化 5.1 區域離散化區域離散化 1、區域離散化的實質：就是用一組有限個離散的點來代替原來、區域離散化的實質：就是用一組有限個離散的點來代替原

4、來 的連續空間。的連續空間。 2、實施過程是：把所計算的區域劃分成許多個互不重疊的子區、實施過程是：把所計算的區域劃分成許多個互不重疊的子區 域（域（sub-domain），確定每個子區域中的節點位置及該），確定每個子區域中的節點位置及該 結點所代表的控制容積（結點所代表的控制容積（control volume）。）。 3、離散化結束后，得到、離散化結束后，得到4種幾何要素種幾何要素 節點：需要求解的未知量的幾何位置；節點：需要求解的未知量的幾何位置； 控制容積：應用控制方程或守恒定律的最小幾何單位；控制容積：應用控制方程或守恒定律的最小幾何單位； 界面：它規定了與各節點相對應的控制容積的分界

5、面位置；界面：它規定了與各節點相對應的控制容積的分界面位置； 網格線：沿坐標軸方向連接相鄰兩節點而形成的曲線簇（網格線：沿坐標軸方向連接相鄰兩節點而形成的曲線簇（圍成的 區域） 計算區域與控制方程的離散化 5. 2 兩類設置節點的方法兩類設置節點的方法 視節點在子區域中位置的不同將離散化方法分成兩大類：視節點在子區域中位置的不同將離散化方法分成兩大類： 1、外節點法：子區域不是控制容積。為確定各節點的控制、外節點法：子區域不是控制容積。為確定各節點的控制 容積容積,需要在相鄰兩節點的中間位置上做界面線，由這些需要在相鄰兩節點的中間位置上做界面線，由這些 界面線構成各節點的控制容積界面線構成各節

6、點的控制容積.即先節點后界面。即先節點后界面。 2、內節點法：節點位于子區域的中心，這時子區域就是控、內節點法：節點位于子區域的中心，這時子區域就是控 制容積。即先界面后節點。制容積。即先界面后節點。（離散化方程適用于任何特定的控制容積面構成方法，但對 邊界條件的離散有影響。） 計算區域與控制方程的離散化 5. 3 兩種命名方法：兩種命名方法： 區域離散后，為建立節點的離散方程，還需對節點及有關幾何要素的命名方法做出規定 當對離散方程進行特性分析時采用當對離散方程進行特性分析時采用i-j-n表示法，即節點（表示法，即節點（i,j），）， 與該節點相鄰的界面與該節點相鄰的界面i+1/2，i-1/

7、2，j+1/2，j-1/2。 其他采用其他采用P，N ，E，W，S表示所研究的節點及相鄰的四個節表示所研究的節點及相鄰的四個節 點，用點，用n，e，w，s表示相應的界面。表示相應的界面。 用上標用上標0表示非穩態問題中上一表示非穩態問題中上一 時層的值。時層的值。 xx表示相鄰兩點間的距離表示相鄰兩點間的距離 xx 表示相鄰兩界面間的距離。表示相鄰兩界面間的距離。 計算區域與控制方程的離散化 5.4 非均勻網格非均勻網格 1、當體系龐大時，不同區域、當體系龐大時，不同區域T變化有陡有緩；網格間距應當變化有陡有緩；網格間距應當 直接與因變量在計算區域內的變化聯系起來。直接與因變量在計算區域內的變

8、化聯系起來。（如靠近熱源dt/dx大， 網格間距可密些，靠近邊界可稀些；薄板坯加熱中心80%區域可稀些，角部20%處可密些；鋼包吹氣時，只有網格 加密才可發現二次渦。） 2、如何設計一個合適的非均勻網格？、如何設計一個合適的非均勻網格？ 1）由所要得到解的某些定性的預計而得知些指導；）由所要得到解的某些定性的預計而得知些指導； 2）可用初步的粗網格解來求得）可用初步的粗網格解來求得tx變化形式，而后可以構變化形式，而后可以構 成一個合適的非均勻網格。成一個合適的非均勻網格。 計算區域與控制方程的離散化 5.5 結構化網格（結構化網格（structured grid) 1、結構化網格：給出節點的

9、編號，立即可以得出其、結構化網格：給出節點的編號，立即可以得出其 相鄰節點的編號。相鄰節點的編號。 優點：生成方法簡單優點：生成方法簡單 缺點：對不規則區域的適應性比較差。缺點：對不規則區域的適應性比較差。 2、非結構化網格（、非結構化網格（unstructured grid）：對不規則）：對不規則 區域的適應性強，但網格生成過程則要復雜得多。區域的適應性強，但網格生成過程則要復雜得多。 (用適體坐標方法生成網格相當于是做一個變換，即把物理空間中的不規則區域變換到計算空間中的規 則區域，并在其上進行數值計算） 計算區域與控制方程的離散化 5.6 兩類節點設置方法的比較兩類節點設置方法的比較 當

10、網格劃分均勻時，兩種方法所形成的節點分布在區域內 部趨于一致，僅在坐標軸方向上節點有半個控制容積厚度 的位錯。 1邊界節點所代表的控制容積邊界節點所代表的控制容積 不同不同.外節點法中，邊界節點代表了半個控制 容積；而內節點法中，則應看成是厚度為零的控 制容積的代表，即相當于外節點法中邊界節點的 控制容積在o時的極限。 2當網格不均分時，內節點法當網格不均分時，內節點法 中節點永遠位處控制容積的中節點永遠位處控制容積的 中心，而由外節點法形成的中心，而由外節點法形成的 節點則不然。節點則不然。從節點是控制容積的代表這一 角度看，內節點法更合理。 計算區域與控制方程的離散化 3當網格不均勻時，外

11、節點法中界面永遠位處兩鄰點的當網格不均勻時，外節點法中界面永遠位處兩鄰點的 中間位置，而內節點法則不然。中間位置，而內節點法則不然。 如界面上的導數：如界面上的導數： 則對于內節點法，計算的精度要低一些，但外節點法計算則對于內節點法，計算的精度要低一些，但外節點法計算 該面熱流提供了較高精度。該面熱流提供了較高精度。 EP e e xx 計算區域與控制方程的離散化 4、程序編制與計算時，由于程序編制與計算時，由于B法取子區域為控制容法取子區域為控制容 積，界面自然生成，方便容易得多，且當所求解積，界面自然生成，方便容易得多，且當所求解 的區域中物性發生階躍變化的面作為界面，以避的區域中物性發生

12、階躍變化的面作為界面，以避 免在同一控制容積內物性發生突變的情形。免在同一控制容積內物性發生突變的情形。（如模擬突 擴通道中繞堵塞物流動時，各處壁面必須位于控制體面上；又如一組合固體，把控制容積面放在材料性質發生突變 的地方。） 計算區域與控制方程的離散化 5.7 關于網格生成問題的進一步說明關于網格生成問題的進一步說明 1 為作圖方便，網格是均勻分布的，但在工程實際計算時，網為作圖方便，網格是均勻分布的，但在工程實際計算時，網 格常常是不均勻的；在預期所求解的變量變化比較劇烈的地區格常常是不均勻的；在預期所求解的變量變化比較劇烈的地區 網格分布應該稠密一些。網格分布應該稠密一些。這時要注意兩

13、方面的問題。 1）對每個控制容積在不同方向的寬度應該保持一個合適的比例，）對每個控制容積在不同方向的寬度應該保持一個合適的比例， 對橢圓型問題，不同方向的寬度之比應接近于；只有對于拋對橢圓型問題，不同方向的寬度之比應接近于；只有對于拋 物型問題或某個方向的變化率明顯大于另一個方向的橢圓型問物型問題或某個方向的變化率明顯大于另一個方向的橢圓型問 題，才適宜采用狹長的控制容積，此時變化劇烈的方向應取較題，才適宜采用狹長的控制容積，此時變化劇烈的方向應取較 小的寬度。小的寬度。 2）在同一坐標方向上相鄰兩子區域（或控制容積）寬度的變化應）在同一坐標方向上相鄰兩子區域（或控制容積）寬度的變化應 保持在

14、一個合適的范圍之內。（保持在一個合適的范圍之內。（1.52.0） 計算區域與控制方程的離散化 2在進行實際問題的數值計算時，網格的生成要經過反復的在進行實際問題的數值計算時，網格的生成要經過反復的 調試與比較，才能獲得適合于所計算的具體問題的網絡。調試與比較，才能獲得適合于所計算的具體問題的網絡。 這里包括兩方面的內容。這里包括兩方面的內容。 1）作為獲得數值解的網格應當足夠的細密，以致于再進一步）作為獲得數值解的網格應當足夠的細密，以致于再進一步 加密網格已經對數值計算結果基本上沒有影響了。這種數加密網格已經對數值計算結果基本上沒有影響了。這種數 值解稱為網格獨立解值解稱為網格獨立解(gri

15、d-independent solution) 2）有時需要根據初步計算的結果再反過來修改網格，使網格）有時需要根據初步計算的結果再反過來修改網格，使網格 疏密的分布與所計算物理量場的局部變化率更好地相適應。疏密的分布與所計算物理量場的局部變化率更好地相適應。 這種根據計算結果而重新調整疏密，自適應網格這種根據計算結果而重新調整疏密，自適應網格(adaptive) 及多重網格及多重網格(AMG). 計算區域與控制方程的離散化 5.8 建立離散方程的建立離散方程的Taylor展開法展開法 一維模型方程一維模型方程 非守恒型非守恒型 ： 守恒型守恒型 ： 非穩項非穩項 對流項對流項 擴散項擴散項

16、源項源項 廣義變量（溫度廣義變量（溫度,速度，濃度等）速度，濃度等） 相應于的廣義擴散系數相應于的廣義擴散系數 廣義源項廣義源項（包括不能歸入非穩態項，對流項及擴散項中的一切其他項）。 uS txxx ()()u S txxx S 計算區域與控制方程的離散化 5.8.1 守恒型控制方程守恒型控制方程 對流項寫成散度形式：對流項寫成散度形式： 從微元體角度，以上二式是等價的，但數值計從微元體角度，以上二式是等價的，但數值計 算是對有限大小計算單元進行的，則不同；算是對有限大小計算單元進行的，則不同； 守恒型優點：計算可壓縮流動時，激波計算結守恒型優點：計算可壓縮流動時，激波計算結 果光滑穩定；不

17、論節點布置的疏密程度如何，果光滑穩定；不論節點布置的疏密程度如何， 都能保證其對任意大小容積守恒的特性。都能保證其對任意大小容積守恒的特性。 計算區域與控制方程的離散化 5.8.2 Taylor展開法導出的差分方程展開法導出的差分方程 1、在有限差分法中，通過把控制方程中的各階導數用相應、在有限差分法中，通過把控制方程中的各階導數用相應 的差分表達式來代替而形成的離散方程（常叫差分方程）的差分表達式來代替而形成的離散方程（常叫差分方程） 2、又因為各階導數的差分表達式可由、又因為各階導數的差分表達式可由Taylor級數展開而得級數展開而得 到，故得名到，故得名Taylor展開法。展開法。 先看

18、一階、二階導數差分表達式的導出。 計算區域與控制方程的離散化 試將函數試將函數 ( x,t)在均勻網格中某點在均勻網格中某點(i+1,n)對對 點點(i,n)作作Taylor展開，有：展開，有： 22 , 2 1,. 2! i ni n x ini nx xx 由此得由此得 2 , 2 , 1, . 2 1, i n i n ini nx xxx ini n x x 計算區域與控制方程的離散化 上式右端中上式右端中o(x)代替了二階及更高階導數項之和，稱為截斷代替了二階及更高階導數項之和，稱為截斷 誤差，截差表示的是如何隨誤差，截差表示的是如何隨x趨近于零而變小的。如果另一趨近于零而變小的。如

19、果另一 個表達式的截差為個表達式的截差為 ，則可以預期，當，則可以預期，當o(x)足夠小時，足夠小時， 后一表達式比前一表達式更準確后一表達式比前一表達式更準確. ( i,t) 代表了函數代表了函數 ( x,t) 在節點在節點(I,n)處的精確值。在進行有限差分數值計算時，這一處的精確值。在進行有限差分數值計算時，這一 精確值是未知的，只能用其近似值精確值是未知的，只能用其近似值 來代替。來代替。 , i n x 1 , nn ii i n xx x ， 稱為稱為的向前差分。的向前差分。 n i 2 x 計算區域與控制方程的離散化 類似地，向后差分為：類似地，向后差分為： 1 , nn ii

20、i n xx ， x 11 , 2 nn ii i n xx 2 x 如果把函數如果把函數（x,t)在節點在節點(i+1,n),(i-1,n)上對點上對點(I,n)作作Taylor 展開，然后相減，可得具有二階精度的中心差分表示式：展開，然后相減，可得具有二階精度的中心差分表示式： ， 計算區域與控制方程的離散化 5.8.3 非穩態項問題非穩態項問題 對于非穩態項問題，則規定按哪一時刻來計算，離散方程可對于非穩態項問題，則規定按哪一時刻來計算，離散方程可 分為：分為： 1、顯式：按每一層的初始時刻之值來計算，所形成的離散方程、顯式：按每一層的初始時刻之值來計算，所形成的離散方程 2、全隱格式：

21、按每一層的終了時刻之值計算；、全隱格式：按每一層的終了時刻之值計算； 3、CrankNicolson格式：按每一層的中間時刻之值計算；格式：按每一層的中間時刻之值計算； 計算區域與控制方程的離散化 將一維模型方程的精確解在節點將一維模型方程的精確解在節點 (i-1,n),(i+1,n),(i,n+1) 上對節點上對節點(i,n)作作Taylor展開，并取展開，并取 時間的向前差分、空間的中心差分?？傻茫簳r間的向前差分、空間的中心差分。可得： 2 ( ,1)( , )(1, )(1, ) 2 (1, )2 ( , )(1, ) ( , ) i ni ninin u tx ini nin x S

22、i nHOT 式中符號式中符號HOT代表了所有未寫出的更高階導數項之和。代表了所有未寫出的更高階導數項之和。只有 對同一點展開其截差才能相加，得出整個差分方程的截斷誤差。 計算區域與控制方程的離散化 為了得到未知函數為了得到未知函數 在各節點上近似值之間在各節點上近似值之間 的代數關系，的代數關系，HOT部分必須略去。于是得：部分必須略去。于是得： 1 1111 2 2 2 nnnnnnn n iiiiiii i uS txx Taylor展開法導出的一維模型方程的一種顯式離散格式展開法導出的一維模型方程的一種顯式離散格式 計算區域與控制方程的離散化 5.9 控制容積積分法控制容積積分法 主要

23、步驟如下：主要步驟如下： 1、將守恒型的控制方程在任一控制容積及時間間隔、將守恒型的控制方程在任一控制容積及時間間隔 內對空間與時間作積分。內對空間與時間作積分。 2、選定未知函數及其導數對時間及空間的局部分布、選定未知函數及其導數對時間及空間的局部分布 曲線，即型線，也就是如何從相鄰節點的函數值來確曲線，即型線，也就是如何從相鄰節點的函數值來確 定控制容積界面上被求函數值的插值方式。定控制容積界面上被求函數值的插值方式。 3、對各個項按選定的型線作出積分，并整理成關于、對各個項按選定的型線作出積分，并整理成關于 節點上未知值的代數方程節點上未知值的代數方程。 計算區域與控制方程的離散化 5.

24、9.1 常用的型線常用的型線 函數函數隨空間及時間隨空間及時間 而變化的幾種情形。而變化的幾種情形。 在實施控制容積積分法時在實施控制容積積分法時 常用的型線有兩種，即分常用的型線有兩種，即分 段線性分布及階梯式分布。段線性分布及階梯式分布。 計算區域與控制方程的離散化 5.9.2 控制容積積分法離散方程控制容積積分法離散方程 控制容積控制容積P在時間間隔內作積分，把可積的部分積在時間間隔內作積分，把可積的部分積 出后得：出后得： ()()() ()() ett ttt ew wt tte ew tw dxuudt dtSdxdt xx 獲得節點上未知值間的代數方程，需要對各項中變量獲得節點上

25、未知值間的代數方程，需要對各項中變量的型線的型線 作出抉擇。作出抉擇。正是在這一步中，引入了對被求量的近似處理方法。 ()()u S txxx 計算區域與控制方程的離散化 () () e ttt w ttt pp dx x 1非穩態項非穩態項 需選定需選定隨隨x變化的型線，取階變化的型線，取階 梯式。梯式。 即同一控制容積中各處的即同一控制容積中各處的值相值相 同，等于節點上同，等于節點上 p 值值 于是有：于是有： 計算區域與控制方程的離散化 2對流項對流項: 隨隨 t 變化采用階梯顯式變化采用階梯顯式 則有：則有： ()()()() tt tt ewew t uudtuut 計算區域與控制

26、方程的離散化 3 、擴散項：、擴散項： 一階導數隨時間一階導數隨時間t 變化取階梯顯式變化取階梯顯式 則得：則得： ()()()() tt tt ewew t dtt xxxx 計算區域與控制方程的離散化 及擴散項及擴散項 可以表示成為：可以表示成為： () x () () () () EP e e PW w w xx xx ()() () 2 pE e uu u ()() () 2 WP w uu u 取取隨隨x呈分段線性變化，對流項（呈分段線性變化，對流項（u )表示成為：表示成為： 計算區域與控制方程的離散化 4、 源項：源項： s對對t及及x均呈階梯式變化，則有：均呈階梯式變化，則有：

27、 其中其中St為源項在為源項在t時刻控制容積中的平均值。時刻控制容積中的平均值。這 里為簡便起見，取源項的控制容積的平均值來完成積分。對于源項是被求解變量的函數的情況，我們以后還要 介紹更合理的處理方法。 tte t tw SdxdtSx t 計算區域與控制方程的離散化 整理之，得整理之，得 ： 2 ()() 2 2 ttttt EWPP ttt t EPW uu tx S x ()() ew xxx 采用控制容積積分法得出的一維模型方程的離散形式采用控制容積積分法得出的一維模型方程的離散形式 采用均分網格的特性：采用均分網格的特性： 計算區域與控制方程的離散化 5.9.3 關于型線假設的一些討論關于型線假設的一些討論 在控制容積積分法中，控制容積界面上被在控制容積積分法中，控制容積界面上被 求函數插值方式，即型線的選取是離散過求函數插值方式，即型線的選取是離散過 程中極為重要的。程中極為重要的。 1、在有限容積法中選取型線僅是為了導出離散方程，一旦在有限容積法中選取型線僅是為了導出離散方程，一旦 離散方程建立起來，型線就完成了使命而不再具有任何意離散方程建立起來，型線就完成了使命而不再具有任何意 義。