1、第六節直線、平面平行與垂直的綜合問題考點一 立體幾何中的探索性問題BC?典例(2018全國卷川)如圖，矩形ABCD所在平面與半圓弧 Cd所在平面垂直，M是Cd上異于c, D的點.證明：平面 AMD丄平面 BMC.在線段AM上是否存在點 P,使得MC /平面PBD?說明理由.解(1)證明：由題設知，平面 CMD丄平面ABCD，交線為 CD.因為BC丄CD , 平面ABCD ,所以BC丄平面CMD，所以BC丄DM .因為M為Cd上異于C, D的點，且DC為直徑,所以DM丄CM.又BCn CM = C,所以DM丄平面BMC.因為DM ?平面 AMD，所以平面 AMD丄平面BMC .當P為AM的中點時

2、，MC /平面PBD.證明如下:連接AC交BD于0.因為四邊形ABCD為矩形,連接0P,因為P為AM的中點,所以0為AC的中點.所以 MC / 0P.又MC?平面PBD, 0P?平面PBD ,所以MC /平面PBD.題組訓練1.如圖，三棱錐 P-ABC中，PA丄平面 ABC, PA = 1 , AB = 1, AC=2, / BAC= 60.(1)求三棱錐P-ABC的體積;(2)在線段PC上是否存在點 M，使得AC丄BM，若存在，請說明理由，并求 MC的值.解：（1）由題設 AB= 1 , AC = 2,/ BAC = 601可得 ABC = 2 AB AC sin 60 =亍.由PA丄平面A

3、BC，可知PA是三棱錐P-ABC的高,又 FA= 1 ,所以三棱錐P-ABC的體積V= 3 &ABC PA晉.PA交PC于點M，連接由PA丄平面ABC,因為 BN n MN = N,所以MN丄AC.在線段PC上存在點M，使得AC丄BM，證明如下: 如圖，在平面ABC又BM?平面MBN ,所以AC丄BM.1在 Rt BAN 中，AN= AB os/ BAC = ,3從而 NC = AC-AN = 3,.,/曰 PM AN 1 由 MN / PA，得 MC = AC = 1.2.如圖，在四棱錐 P-ABCD中，PD丄平面 ABCD，底面ABCD為 正方形，BC= PD = 2, E為PC的中點，C

4、B= 3CG.求證：PC丄BC;(2)AD邊上是否存在一點 M，使得PA /平面 MEG ?若存在，求 出AM的長；若不存在，請說明理由.解：證明：因為 PD丄平面 ABCD, BC?平面ABCD ,所以PD丄BC.因為四邊形ABCD是正方形，所以 BC丄CD.又 PD n CD = D , PD?平面PCD , CD?平面 PCD ,所以BC丄平面PCD.因為PC?平面PCD,所以PC 丄 BC.連接AC, BD交于點O,連接EO , GO ,延長GO交AD于點M，連接EM，貝U PA /平面 MEG.證明如下：因為 E為PC的中點，O是AC的中點,所以 EO / PA.因為EO?平面MEG

5、 , PA?平面MEG，所以PA /平面 MEG.2因為 OCGOAM，所以 AM = CG = -,3C所以AM的長為|.考點二平面圖形的翻折問題典例(2018全國卷I )如圖，在平行四邊形 ABCM中，AB = AC= 3,/ ACM = 90.以AC為折痕將 ACM折起，使點M到達點D的位置，且AB 丄 DA.(1)證明：平面 ACD丄平面 ABC;(2)Q為線段AD上一點，P為線段BC上一點，且2BP= DQ = -DA，求三棱錐 Q-ABP的體積.解：(1)證明：由已知可得，/ BAC = 90即BA丄AC.又因為 BA 丄 AD, ACn AD = A,所以AB丄平面ACD.因為A

6、B?平面ABC,所以平面 ACD丄平面 ABC.由已知可得，DC = CM = AB = 3, DA = 3返.2又 BP= DQ = 3DA，所以 BP = /2.如圖，過點 Q作QE丄AC,垂足為E,則QE綊彳DC.3由已知及 可得，DC丄平面ABC,所以QE丄平面ABC, QE= 1.11 1因此，三棱錐 Q-ABP 的體積為 Vq-abp= 1X SsBPX QE = 3X3X f2sin 45 X 1= 1.33 2題組訓練1. (2019湖北五校聯考)如圖1所示，在直角梯形 ABCD中，/ ADC = 90 AB / CD ,1AD = CD = 2AB = 2, E為AC的中點，

7、將 ACD沿AC折起，使折起后的平面 ACD與平面ABC垂直，得到如圖 2所示的幾何體 D-ABC.(1)求證：BC丄平面ACD ;點F在棱CD上，且滿足 AD /平面BEF，求幾何體F-BCE的體積.解：證明： ACAD2+ CD2 = 2羽,/ BAC = / ACD = 45, AB = 4,在 ABC 中，BC2= AC2 + AB2 2AC X ABX cos 45= 8, AB2= AC2 + BC2 = 16,. AC丄BC.平面 ACD丄平面 ABC，平面 ACD n平面ABC = AC, BC丄平面ACD.（2） / AD /平面 BEF , AD?平面 ACD，平面 ACD

8、 n 平面 BEF = EF, AD / EF,/ E為AC的中點， EF為 ACD的中位線，1由（1）知，幾何體 F-BCE 的體積 Vf-bce= Vb-cef = -X SacefX BC,3SAcef = 4saacd = x 蘇 2 X 2 = 2,4422- Vf-bce = 1x Jx 272=*.2. (2018合肥二檢)如圖1，在平面五邊形 ABCDE中，AB / CE,且AE= 2, / AEC =60 CD = ED = 77, cos/ EDC = |.將 CDE 沿 CE 折起，使點 D 到 P 的位置，且 AP =3,得到如圖2所示的四棱錐 P-ABCE.(1)求證

9、：AP丄平面 ABCE ;記平面PAB與平面PCE相交于直線I，求證：AB/ I.證明：（1）在 CDE 中， CD = ED = V7, cos/ EDC = 5,由余弦定理得CE =2+ B 2-2X 萌 X7 x-7= 2.連接AC ,/ AE= 2, / AEC = 60 AC= 2.a又 AP=,在 PAE 中，AP2+ AE2= PE2,即AP丄AE.同理，AP丄AC./ ACn AE = A, AC?平面 ABCE , AE?平面 ABCE , AP丄平面 ABCE.(2) / AB/ CE, 且 CE?平面 P CE, AB?平面 PCE, AB/ 平面 PCE.又平面 PAB

10、n 平面 PCE = l , AB / l.課時跟蹤檢測1.如圖，四棱錐 P-ABCD的底面ABCD是圓內接四邊形(記此圓為 W)，且PA丄平面ABCD.(1)當BD是圓 W的直徑時，PA = BD = 2, AD = CD = a/3,求四棱錐 P-ABCD的體積.(2)在(1)的條件下，判斷在棱FA上是否存在一點 Q，使得BQ /平面PCD?若存在，求解：因為BD是圓W的直徑，所以 BA丄AD ,f)出AQ的長；若不存在，請說明理由.因為 BD = 2, AD =73，所以 AB = 1.同理BC = 1,所以S四邊形ABCD = AB AD = 3.因為PA丄平面 ABCD , PA=

11、2,所以四棱錐P-ABCD的體積 -1S 四邊形 ABCD PA = 23.2存在，AQ =-理由如下.延長AB, DC交于點E,連接PE,則平面PAB與平面PCD的交線是PE.假設在棱PA上存在一點Q，使得BQ /平面PCD,2 所以AQ = |.故存在這樣的點 Q，使BQ /平面PCD ,且2AQ = 3.AQ aB則 BQ / PE,所以PA = AB-.經計算可得 BE= 2，所以AE = AB+ BE= 3,2.如圖，側棱與底面垂直的四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是梯形，AB/ CD , AB丄AD,AA1= 4, DC = 2AB , AB= AD = 3，點 M 在棱 A

12、1B1 上，且 A1M = -A1 B1.已知點 E 是直線CD上的一點,AM /平面 BCiE.(1)試確定點E的位置，并說明理由;(2)求三棱錐M-BCiE的體積.解：(1)點E在線段CD上且EC= 1,理由如下:在棱C1D1上取點N,使得 D1N = A1M = 1,連接 MN , DN ,因為D1N / A1M，所以四邊形 D1NMA1為平行四邊形,所以MN綊A1D1綊AD.所以四邊形 AMND為平行四邊形，所以 AM / DN.因為CE = 1,所以易知 DN / EC1，所以AM / EC1,又 AM?平面 BC1E, EC1?平面 BC1E,所以AM /平面BC1E.故點E在線段

13、CD上且EC = 1.由知，AM /平面BCiE,所以 VM-BCiE= VA-BCiE = VCi-ABE= 333 X 4= 6.3. (20i9湖北武漢部分學校調研 )如圖i，在矩形ABCD中，AB = 4, AD = 2, E是CD的中 點,將 ADE沿AE折起，得到如圖2所示的四棱錐 Di-ABCE，其中平面DiAE丄平面ABCE.(1)證明：BE丄平面 DiAE;(2)設F為CDi的中點，在線段 AB上是否存在一點 M ,使得MF /平面DiAE,右存在，求出AB的值；若不存在，請說明理由.AB解：（1）證明：四邊形 ABCD 為矩形且 AD = DE = EC = BC= 2,

14、a/ AEB= 90即BE丄AE,又平面DiAE丄平面ABCE，平面 DiAE n 平面 ABCE = AE ,a BE丄平面 DiAE.當AB=4時,MF /平面DiAE，理由如下：取 DiE的中點L,連接FL, FL / EC，又EC / AB, FL / AB，且a M , F, L, A四點共面,又 MF /平面 ADiE, MF / AL.四邊形AMFL為平行四邊形,AM=FL=iAB,豐=44.如圖i所示，在Rt ABC中，/ ABC = 90 D為AC的中點，AE丄BD于點E(不同于點D),延長AE交BC于點F，將 ABD沿BD折起，得到三棱錐 Ai-BCD，如圖2所示.若M是F

15、C的中點，求證：直線 DM /平面 AiEF.求證：BD丄AiF.若平面AiBD丄平面BCD，試判斷直線 AiB與直線CD能否垂直？請說明理由.解：證明： D, M分別為AC, FC的中點， DM / EF,又eF?平面 AiEF,DM?平面 AiEF, DM / 平面 AiEF .(2)證明： EF 丄 BD ,AiE丄 BD, AiE n EF = E,AiE?平面 AiEF, EF?平面 AiEF, BD 丄平面 AiEF,又 AiF?平面 AiEF , BD 丄 AiF.直線AiB與直線CD不能垂直.理由如下: 平面BCD丄平面 AiBD，平面 BCD n平面 AiBD = BD ,

16、EF丄BD, EF?平面BCD , EF 丄平面 AiBD,又 AiB?平面 AiBD , AiB 丄 EF ,又 DM / EF, AiB 丄 DM.假設 AiB 丄 CD , DM n CD = D,- AiB丄平面BCD ,- AiB丄BD，與/ AiBD為銳角矛盾,直線AiB與直線CD不能垂直.5. （20i9河南名校聯考）如圖，在多面體 ABCDEF中，四邊形ABCD是梯形，AB / CD ,AD = DC = CB= a, / ABC = 60四邊形 ACFE是矩形，且平面 ACFE丄平面 ABCD，點 M在線段EF上.求證：BC丄平面ACFE;當EM為何值時，AM /平面BDF

17、?證明你的結論.解：(1)證明：在梯形 ABCD 中，因為 AB / CD , AD = DC = CB = a, / ABC= 60所以四邊形 ABCD是等腰梯形，且/ DCA =/ DAC = 30 / DCB = 120所以/ ACB =/ DCB-/ DCA = 90 所以 AC 丄 BC.又平面 ACFE丄平面 ABCD，平面 ACFE n平面ABCD = AC, BC?平面ABCD ,所以BC丄平面ACFE.(2)當EM月a時，AM /平面BDF，理由如下:如圖，在梯形ABCD 中，設 ACn BD = N，連接 FN.由知四邊形ABCD 為等腰梯形，且/ ABC = 60 所以

18、AB = 2DC，貝U CN : NA = 1 :2.易知EF = AC = a，所以 AN =學a.3因為V3EM 33a，所以皿 223MF = 2EF = 3 a，所以MF 綊 AN,所以四邊形ANFM是平行四邊形,所以 AM / NF,又NF?平面BDF , AM?平面BDF ,所以AM /平面BDF.6.如圖所示的五面體 ABEDFC中，四邊形 ACFD是等腰梯形，AD / FC，/ DAC = 60BC 丄平面 ACFD , CA= CB = CF = 1,AD = 2CF，點G為AC的中點.(1)在AD上是否存在一點 H，使 明；若不存在，說明理由；GH /平面BCD?若存在，指出點 H的位置并給出證(2)求三棱錐G-ECD的體積.解：(1)存在點H使GH /平面BCD，此時H為AD的中點證明如下.取點H為AD的中點，連接GH ,因為點G為AC的中點,所以在 ACD中，由三角形中位線定理可知GH / CD,又GH?平面BCD, CD?平面BCD ,所以GH /平面BCD.D= = = AitAf)(2)因為 AD / CF , AD?平面 ADEB , CF?平面