1、、第六章習(xí)題詳解證明（6.2.1 ）證明：（1） Y-Yin i 1(aXib)(a Xi nb) nSY2a(-n i 1Xi)aX1 ni(Yin(aXin i 1b) (aXb)21 n-a(Xin i 1X)2n(Xii 1X)2sX設(shè)X1，X2， ,Xn是抽自均值為證明與 E（X） ,Var（X）證：E（X） E1（X1 X2 n、方差為2/n.L Xn)2的總體的樣本1-E(X1 X2nX與s2分別為該樣本均值。1Xn) -(n )nVar(X) Var (X1 X2nL Xn)1-E(X1 X2n1L Xn)(nn2)設(shè)X1,X2, ,Xn是抽自均值為、方差為2的總體的樣本n(X

2、ii 1X)2,證明：（1）s22 2Xi nX )E(S2)證：（1） s2n_(Xi X)(Xi2 22XXi X2)n(Xi2)i 1n2X Xii 1nX2九n(Xi2)i 12X( nX)nX2n(Xi2i 1nX2)E(S2)nE( Xj2 nX2)i 1匕E(Xi2) n E(X2)n 1 i 1宀nVar(Xi)2(EXi) 2 nVar(X) (EX) 2)2n(n2)七n（ 匕（n2)2)2)在例6.2.3中，設(shè)每箱裝n瓶洗凈劑.若想要n瓶灌裝量的平均阻值與標(biāo)定值相差不超 過毫升的概率近似為95%，請問n至少應(yīng)該等于多少？解：因?yàn)镻(|X| 0.3)| 丄2 (0.3石)1

3、 / Jn依題意有,2 (03jn)10.95，即(0.3你)0.975(1.96)于是0.3vn1.96 ,解之得 n42.7所以n應(yīng)至少等于43.假設(shè)某種類型的電阻器的阻值服從均值一個(gè)電子線路中使用了 25個(gè)這樣的電阻.199到202歐姆之間的概率；5100歐姆的概率.200歐姆，標(biāo)準(zhǔn)差 10歐姆的分布，在(1)求這25個(gè)電阻平均阻值落在求這25個(gè)電阻總阻值不超過解:由抽樣分布定理，知/ Jn近似服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N0,1），因此(1)P (199- 202 200X 202)(扁兀評199 200)(10/V25(1)(0.5)(1) 1(0.5)0.8413 P(nX1 0.6915 0

4、.532851005100) P(X -) P(X-200)(2) 0.977210/J254每天平均停機(jī)時(shí)間在總的停機(jī)時(shí)間不超過(1)假設(shè)某種設(shè)備每天停機(jī)時(shí)間服從均值 求一個(gè)月求一個(gè)月小時(shí)、標(biāo)準(zhǔn)差 小時(shí)的分布.1到5小時(shí)之間的概率；115小時(shí)的概率.解:(1) P(1X 5)54/Vn0.8/730(0.8/730)(6.85)20.54)1P(30X115)P(X 罟)(115/30 4)0.8/7301(1.14)0.87290.1271X* 2f(x)匸 1)/2 17 n (n/2)設(shè) T tn，證明 E(T) 0, n 2,3丄.證：t(n)分布的概率密度為：n 12E(T)xf(

5、x)dxx (n 1)/2 1Vn (n/2)n 1dxn (n 1)/22 /n (n /2)x22d(1 )nx2設(shè)總體 X - N(150 , 252),現(xiàn)在從中抽取樣本大小為 25的樣本,P140X 147.5.解： 已知150 ,25, n 25,P (140 X147.5)147.5 150(25/725 )140 150(25/725 )(0.5)(2)(2)(0.5)0.9772 0.9615 0.2857設(shè)某大城市市民的年收入服從均值萬元、標(biāo)準(zhǔn)差萬元的正態(tài)分布.現(xiàn)隨機(jī)調(diào)查了 100個(gè)人，求他們的平均年收入落在下列范圍內(nèi)的概率：(1)大于萬元；小于萬元；落在區(qū)間,內(nèi).解:設(shè)X為

6、人均年收入,2X - N(1.5,0.52)，貝U X N(1.5,瞠)，得100P(X1.6)P(X1.6) 1朋）10.97720.0228P(X1.3)1.3(0.5/7100“)(4)1(4)110P (1.2需）(2) ( 6)0.9772假設(shè)總體分布為N（12, 22）,今從中抽取樣本X1,X2,L ,X5.求(1)樣本均值X大于13的概率； 樣本的最小值小于10的概率; 樣本的最大值大于15的概率.解:因?yàn)閄 - N(12,22)，所以22X - N(12,=)，得5(1)P(X 13)1 P(X13)1 (1.12) 10.86860.1314設(shè)樣本的最小值為 Y,則YMin(

7、 X1,X2,，X5），于是P(Y 10)1 P(Y10)P(X110) P(X210)P(X510)5i11 P(Xi 10)5i 11 ( 1) 110 12(二一)51 1i r5i 1 (1) 1 (0.8413)50.5785設(shè)樣本的最大值為 乙則Z Max（X1,X2,X5），于是設(shè)總體P(Z 15)1 P(Z 15)1 P (X115) P(X215)P(X5515 1251 ( ) 1i 12i 1(1.5) 115)(0.9332)50.2923X N( , 2)，從中抽取容量樣本Xi,X2,L ,Xi6 ,S2為樣本方差.計(jì)算2.04 .所以因?yàn)閄 N(,2）,由定理2,得

8、e1)S22Xi X2(n 1),匚(n 1)S2匚2n 1,d712(n 1),于是E(S2)2, D(S2) 2 4/(n 1).當(dāng) n 16時(shí)，D(S2)2 4/15,且2 2 2PS2/ 22.04P15S2/30.6151P15S2/230.6151 0.01 0.99 (0.01(15)30.578).第六章樣本與統(tǒng)計(jì)量定理、公式、公理小結(jié)及補(bǔ)充:（1 ）數(shù) 統(tǒng)計(jì)的 本概念總體個(gè)體樣本在數(shù)理統(tǒng)計(jì)中，常把被考察對象的某一個(gè)（或多個(gè)）指標(biāo)的全 體稱為總體（或母體）。我們總是把總體看成一個(gè)具有分布的隨 機(jī)變量（或隨機(jī)向量）。總體中的每一個(gè)單元稱為樣品（或個(gè)體）。我們把從總體中抽取的部分樣

9、品x1, x2, ,xn稱為樣本。樣本中所含的樣品數(shù)稱為樣本容量，一般用n表示。在一般情況下,總是把樣本看成是 n個(gè)相互獨(dú)立的且與總體有相同分布的隨機(jī) 變量，這樣的樣本稱為簡單隨機(jī)樣本。在泛指任一次抽取的結(jié)果時(shí)，X1,X2, ,Xn表示n個(gè)隨機(jī)變量（樣本）；在具體的一次抽取之后，X1,X2, ,Xn表示n個(gè)具體的數(shù)值（樣本值）。我們稱之為樣本的兩重性。(2)正態(tài) 總體下的 四大分布樣本函數(shù)和 統(tǒng)計(jì)量常見統(tǒng)計(jì)量 及其性質(zhì)正態(tài)分布設(shè)X1, X2 , ,Xn為總體的一個(gè)樣本，稱(X1,X2, Xn)為樣本函數(shù)，其中為一個(gè)連續(xù)函數(shù)。如果中不包含任何未知參數(shù)，則稱(X1, X2 , ,Xn)為一個(gè)統(tǒng)計(jì)量

10、。樣本均值樣本方差S2樣本標(biāo)準(zhǔn)差樣本k階原點(diǎn)矩1 n -Xi. n i 1(XiX)2.1 nM k Xik,kn i 1樣本k階中心矩Mkn(Xi11,2,X)k,k2,3,E(X)，D(X)，nE(S2)22 n 1 22，E(S*2) 2,n其中S*2一 (Xi X)2，為二階中心矩n i 12O設(shè)X1,X2, ,Xn為來自正態(tài)總體 N( ,2)的一個(gè)樣本，則樣本函數(shù)def u一X 詁訕01,t分布F分布設(shè) X1, X2 ,本函數(shù)其中t(n-1)2分布設(shè) Xi, X2 ,本函數(shù)其中2（n設(shè) Xi, X2 ,yi, y2,函數(shù)其中s2F(n1,Xn為來自正態(tài)總體 N（ ,2）的一個(gè)樣本，則樣def xt 一 =t(n 1), s/Jn表示自由度為n-1的t分布。,Xn為來自正態(tài)總體def (n1)S2w-2N(2）的一個(gè)樣本，則樣2(n 1),1）表示自由度為n-1的,Xn為來自正態(tài)總體 N（,yn為來自正態(tài)總體N（,