1、數(shù)與線的“愛戀”之美 數(shù)是用來計數(shù)、標(biāo)記或度量、比較同質(zhì)事物的抽象概念， 也是數(shù)學(xué)中最基本的概念之一。 可以說， 數(shù)概念的學(xué)習(xí)伴隨著學(xué) 生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的整個過程， 是在不斷形成和發(fā)展著的。 學(xué)生數(shù)概念 的形成與發(fā)展在各個學(xué)段各有側(cè)重， 總體應(yīng)注重的是學(xué)習(xí)興趣和 學(xué)習(xí)能力的培養(yǎng)，從而讓數(shù)概念和核心素養(yǎng)自然生長。 本期，我們探討學(xué)生數(shù)概念的形成與發(fā)展過程。 為幫助學(xué)生深入認(rèn)識數(shù)概念的核心本質(zhì)， 教師在教學(xué)中應(yīng)特 別注重直觀模型的使用， 其中數(shù)線是幫助學(xué)生深度理解數(shù)概念的 直觀載體。下面，筆者以北師大版小學(xué)數(shù)學(xué)教材為例，探析數(shù)線 在兒童數(shù)概念的形成與發(fā)展中的直觀體現(xiàn)。 一、研究的緣起一一聚焦數(shù)線 在小學(xué)

2、階段數(shù)概念的形成與發(fā)展中， 很多直觀模型對數(shù)的認(rèn) 識、數(shù)的運(yùn)算的理解起到了至關(guān)重要的作用。 比如對整數(shù)及整數(shù) 運(yùn)算而言，究竟有哪些直觀模型呢？循著教材的編寫線索梳理， 主要有以下幾種：小棒、計數(shù)器、小方塊、點子圖、方格紙、數(shù) 線等（如圖 1）。 可以說，以上這些實物、模型等直觀材料因其自身的特點， 在兒童整數(shù)及整數(shù)運(yùn)算的學(xué)習(xí)中都發(fā)揮了不可或缺的作用。 數(shù)的 運(yùn)算是對數(shù)意義的進(jìn)一步 ?J 識，這些直觀模型在學(xué)習(xí)過程中的 介入有力地支撐著兒童數(shù)概念的形成與發(fā)展。 而在這些直觀模型 中，有的卻因其自身所具備的獨特天然屬性， 直觀作用與價值不 同于其他模型而獨樹一幟一一它就是數(shù)線（數(shù)軸）。弗賴登塔爾

3、在作為教育任務(wù)的數(shù)學(xué)中指出：“與其他直觀材料相比，數(shù) 軸是確定的、 可長久使用的， 它不像有些材料只用一會兒就被放 棄?！笨梢?，數(shù)線因其自身的結(jié)構(gòu)特性，突破和克服了其他直觀 材料的缺點而被人們廣泛使用。 既然數(shù)線能夠在眾多的直觀模型中脫穎而出， 我們就有必要 對數(shù)線本身所具有的優(yōu)越屬性、 直觀作用以及數(shù)線與數(shù)和運(yùn)算之 間相生相伴的天然聯(lián)系進(jìn)行剖析和研究。 二、數(shù)線在整數(shù)運(yùn)算中的直觀體現(xiàn) （一）數(shù)線與加減 在數(shù)概念的形成與發(fā)展中， 為什么數(shù)線具有如此強(qiáng)大的魅力 呢？筆者認(rèn)為， 這與數(shù)線模型本身所具有的屬性、 結(jié)構(gòu)和功能密 切相關(guān)。 1. 從呈現(xiàn)形式上看 伴隨著數(shù)與運(yùn)算的學(xué)習(xí)， 數(shù)線在學(xué)生的認(rèn)知系

4、統(tǒng)中經(jīng)歷了由 實物到數(shù)尺、再到數(shù)線的形成與發(fā)展，這個過程是循序漸進(jìn)的， 不是一蹴而就的。 從外化的呈現(xiàn)形式來看， 在實物原形中表現(xiàn)為 數(shù)與實物一一對應(yīng)， 在數(shù)尺中表現(xiàn)為數(shù)與方格一一對應(yīng)， 在數(shù)線 中表現(xiàn)為數(shù)與點一一對應(yīng)。 在此過程中， 數(shù)線的功能也由實物直 觀走向了幾何直觀， 從離散走向了連續(xù)， 而這正是基于數(shù)的運(yùn)算 的發(fā)展與數(shù)的擴(kuò)充的需要，是數(shù)概念形成與發(fā)展的內(nèi)在需求。 2. 從數(shù)量級上看 借助數(shù)線并沿著數(shù)線往右，以“一”為單位1 個 1 個地跳 （數(shù)），或者以“十”為單位 10個 10個地跳（數(shù)），以“百” 為單位100個100個地跳（數(shù)）這樣隨著不斷地以計數(shù)單位 累加的過程， 就會產(chǎn)生更

5、大的新的計數(shù)單位。 在度量單位的不斷 累加運(yùn)算中，也方便和滿足了數(shù)量級擴(kuò)展后大數(shù)加減法的開展。 可見從數(shù)量級上看， 數(shù)線在數(shù)的運(yùn)算發(fā)展過程中， 表現(xiàn)出一種自 身天然的靈活性。 3. 從數(shù)線的結(jié)構(gòu)上看 從數(shù)線的結(jié)構(gòu)來看，首先有一條向右的直線，規(guī)定了方向， 其次規(guī)定了起點定為 0，最后是單位長度，而這里的單位是靈活 的，可以是任何一個自由的正數(shù)。具體而言，起點0是計數(shù) 的開始， 單位長度滿足了累加的度量需求， 方向滿足數(shù) 的排列與可比性。 從數(shù)線的數(shù)學(xué)性角度來審視， 數(shù)線像一把用來 量數(shù)的“尺子”，滿足了數(shù)概念形成與發(fā)展的需要。 4. 兩個加減法的例子 我們來看一個一位數(shù)加法的例子“ 8+6”。

6、在這條簡單的數(shù)線（數(shù)尺）上，數(shù)與格（點）一一對應(yīng)，往 右表示累加，得到“ 8+6”結(jié)果的操作就是基于這種“一一對 應(yīng)”，數(shù)出計數(shù)單位的過程，從 8開始，以“ 1”為單位，連續(xù) 累加 6次，就得到“14”這個結(jié)果。 這個運(yùn)算的過程就是計數(shù)單 位累加的過程。 運(yùn)算“ 8+6”，還可以如上，10格為 1檔，從8開始，以“1” 為單位，先累加 2次到“ 10”，遇“ 10”停頓，再累加 4次，孕 伏“滿十進(jìn)一”，產(chǎn)生新的計數(shù)單位“十”。 我們再來聚焦一個減法的例子“ 239 - 118”。 在這條數(shù)線上，往左表示“遞減”， 從 239 開始，先以“百” 為單位遞減 1 次（減一個百），再以“十”為單位

7、遞減 1 次（減 一個十），再以“一”為單位遞減 8（減一個 8），即得到 “239- 118”的結(jié)果（度量值）“ 121”。在這個減法運(yùn)算的過程 中，借助數(shù)線先減幾個百、再減幾個十、幾個一，數(shù)線的直觀介 入為學(xué)生分清數(shù)位、 理解減法豎式算法打下基礎(chǔ)， 同時從數(shù)位的 角度幫助學(xué)生直觀理解數(shù)的內(nèi)部結(jié)構(gòu)， 進(jìn)而理解數(shù)概念及運(yùn)算的 意義。 （二）數(shù)線與乘除 針對數(shù)線與乘除， 筆者嘗試對教材中數(shù)線的使用情況進(jìn)行了 梳理。 1. 兩個乘除法的例子 我們先來看一個一位數(shù)乘法的例子。 這是乘法中“幾個幾”意義的運(yùn)算內(nèi)容。 結(jié)合數(shù)尺模型與算 式表征，解決“小青蛙一共跳了多少格”就是求“4 個 3 是多 少”。

8、其中的 4 表示跳了幾次， 3 表示每次跳幾格，可以看作是 以“3”為單位，度量了 4 次的結(jié)果，其本質(zhì)上都是對計數(shù)單位 的累加（累積），即對度量單位的運(yùn)作。 我們再來看一個除法的例子。 這是除法中“包含除”意義的運(yùn)算內(nèi)容。解決“ 20 元可以 買幾輛玩具車”就是求“ 20 里面有幾個 5”。其運(yùn)算的過程， 即 在數(shù)線上以 20 作為起點， 按照一定的“步伐”回到原點的過 程。這個過程可看作以“ 5”為單位去度量數(shù)“ 20”，正好數(shù)了 4 次，把 20 度量完的過程。說到底，其本質(zhì)還是對度量單位的 運(yùn)作。 不難看出， 數(shù)線的介入和使用， 能夠幫助學(xué)生從計數(shù)單位累 加或遞減的角度去直觀地理解乘除

9、運(yùn)算的意義。 2. 兩個問題 在梳理教材“數(shù)線與乘除”這部分內(nèi)容的過程中， 我們也發(fā) 現(xiàn)了兩個問題。 問題 1：為何數(shù)線唯獨缺席了除法“平 均分”的教學(xué)？ 梳理中發(fā)現(xiàn)， 在運(yùn)算意義的認(rèn)識中， 數(shù)線出現(xiàn)在乘法“幾個 幾”“倍”和除法“包含除”“倍”的教學(xué)中， 卻唯獨沒有在除 法“平均分”的學(xué)習(xí)中出現(xiàn)， 那么是何原因?qū)е聰?shù)線缺席了除法 “平均分”的教學(xué)？ 我們以一個簡單的例子試作分析。 比如8一 2=?從把8平均分成2份的角度來理解，我們來看 數(shù)線： 不難發(fā)現(xiàn)，“ 8”在數(shù)線上表現(xiàn)為一個“點”，它所在位置 決定了它到起點 0 的距離即它是多少個“ 1”累加的結(jié)果。 也就是說， 在數(shù)線上可以靜態(tài)地表

10、示“ 8”?段距離， 卻不利于直 觀表示每份是幾。 可見， 除法“平均分”因其內(nèi)容自身的數(shù)學(xué)性 而拒絕了數(shù)線的介入。 問題 2：為什么數(shù)線在乘除運(yùn)算中會逐漸隱退而被其他模型 取而代之？ 從前面的梳理中再進(jìn)一步看， 除了在表內(nèi)乘法、 末尾帶 0 的 口算、兩位數(shù)與兩位數(shù)乘法這幾類乘法運(yùn)算中我們還能看到數(shù)線 的使用外，在相關(guān)的除法運(yùn)算中，已經(jīng)看不到數(shù)線的影子。比如 表內(nèi)除法，教材中不再用，學(xué)生在學(xué)習(xí)中還在使用，到帶 0 的除 法口算，連學(xué)生也不再用了。數(shù)線逐漸在乘除法運(yùn)算中隱退，取 而代之的是點子圖、表格、面積模型等。這一現(xiàn)象表明，數(shù)線在 擁有自身優(yōu)越的屬性和功能外， 還存在著一定的局限性， 這些

11、自 身的局限導(dǎo)致在后續(xù)的運(yùn)算中被其他直觀模型取而代之。 三、如何客觀理性地看待數(shù)線 1. 數(shù)線與數(shù)的認(rèn)識相諧相生，相存相伴 從以上教材的梳理不難發(fā)現(xiàn)， 數(shù)線模型與數(shù)的認(rèn)識一路相生 相伴。具體來說，從一（上）到四（上）， 20 以內(nèi)數(shù)的認(rèn)識、 100 以內(nèi)數(shù)的認(rèn)識、萬以內(nèi)數(shù)的認(rèn)識、億以內(nèi)數(shù)的認(rèn)識等知識點 的學(xué)習(xí)， 借助數(shù)線向右逐漸拓展數(shù)量級； 從三（上）到五（上）， 小數(shù)的初步認(rèn)識、分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識、小數(shù)的意義、分?jǐn)?shù)的意義， 借助數(shù)線由宏觀領(lǐng)域向微觀層面擴(kuò)充數(shù)； 四（下）生活中的負(fù)數(shù)， 借助數(shù)線向左繼續(xù)擴(kuò)充數(shù)域。 可見，數(shù)線與數(shù)概念的建構(gòu)與形成、 數(shù)系統(tǒng)的不斷擴(kuò)充相諧相生，相存相伴。 2. 數(shù)線使整數(shù)運(yùn)算由抽象變得直觀 其一，加、減、乘、除運(yùn)算可以在數(shù)線上動態(tài)呈現(xiàn)跳， 通過度量單位的動態(tài)的“跳”，直觀理解計數(shù)單位的累加或遞 減，進(jìn)而理解運(yùn)算的意義；其二，運(yùn)算意義在數(shù)線上還可通過方 向來體現(xiàn)，而且便于理解加與乘、 減與除的內(nèi)在關(guān)系與核心本質(zhì)。 其三，數(shù)線為學(xué)生整數(shù)運(yùn)算的學(xué)習(xí)提供了一個理解算理、 獲得算 法的直觀工具。 3. 數(shù)線不是萬能的，離開數(shù)線卻是萬萬不能的 如前所述，弗賴登塔爾在作為教育任務(wù)的數(shù)學(xué)中指出了 數(shù)線自身被廣泛和長久使用的優(yōu)越性。 但他同時也指出： “但是 要注意一種危險的傾向， 那就是有人對數(shù)軸寄予的希望過大， 走