1、2.2.2 反證法 路路 邊邊 苦苦 李李 王戎王戎7 7歲時歲時, ,與小伙伴們外出游玩與小伙伴們外出游玩, ,看到路邊的李看到路邊的李 樹上結滿了果子樹上結滿了果子. .小伙伴們紛紛去摘取果子小伙伴們紛紛去摘取果子, ,只有王戎只有王戎 站在原地不動站在原地不動. .伙伴問他為什么不去摘？伙伴問他為什么不去摘？ 王戎回答說王戎回答說:“:“樹在道邊而多子樹在道邊而多子, ,此必苦李此必苦李.”.”小小 伙伴摘取一個嘗了一下伙伴摘取一個嘗了一下, ,果然是苦李果然是苦李. . 王戎是怎么知道李子是苦的呢王戎是怎么知道李子是苦的呢? ?他運用了怎樣他運用了怎樣 的推理方法的推理方法? ? 王戎

2、的推理方法是王戎的推理方法是: :假設李子不苦假設李子不苦, ,則因樹在則因樹在 “道道”邊邊, ,李子早就被別人采摘而沒有了李子早就被別人采摘而沒有了, ,這與這與“多多 李李”產生矛盾產生矛盾. .所以假設不成立所以假設不成立, ,李為苦李李為苦李. . 1.1.反證法的定義反證法的定義. . 2.2.反證法的一般步驟反證法的一般步驟. . （重點）（重點） 3.3.運用反證法的注意事項運用反證法的注意事項. . （難點）（難點） 探究點探究點1 反證法的定義反證法的定義 引例：引例： 證明：在一個三角形中至少有一個角不小證明：在一個三角形中至少有一個角不小 于于6060. . 已知：已知

3、：a， b， c是是abc的內角的內角. 求證：求證： a， b， c中至少有一個中至少有一個 不小于不小于60. 證明：證明：假設假設 的三個內角的三個內角a， b， c都小于都小于60， abc 則有則有 a 60，b 60， c 60 所以所以 a+b+c180 這與這與 相矛盾相矛盾.三角形內角和等于三角形內角和等于180 所以假設不成立，所求證的結論成立所以假設不成立，所求證的結論成立. 先假設結論的反面是正確的，然后通過邏輯推先假設結論的反面是正確的，然后通過邏輯推 理，推出與公理、已證的定理、定義或已知條件相理，推出與公理、已證的定理、定義或已知條件相 矛盾，說明假設不成立，從而

4、得到原結論正確矛盾，說明假設不成立，從而得到原結論正確. 這種證明方法就是這種證明方法就是反證法反證法 把這種不是直接從原命題的條件逐步推得命題把這種不是直接從原命題的條件逐步推得命題 成立的證明方法稱為間接證明成立的證明方法稱為間接證明. . 注：反證法是最常見的間接證法注：反證法是最常見的間接證法. . 一般地，假設原命題不成立（即在原命題的條一般地，假設原命題不成立（即在原命題的條 件下，結論不成立），經過正確的推理，最后得出件下，結論不成立），經過正確的推理，最后得出 矛盾矛盾. .因此說明假設錯誤，從而證明了原命題成立，因此說明假設錯誤，從而證明了原命題成立， 這樣的證明方法叫做這樣

5、的證明方法叫做反證法反證法. . 反證法反證法 否定結論否定結論推出矛盾推出矛盾肯定結論肯定結論 即分三個步驟：即分三個步驟：反設反設歸謬歸謬存真存真 反設反設假設命題的結論不成立；假設命題的結論不成立； 歸謬歸謬從假設出發，經過一系列正確的推從假設出發，經過一系列正確的推 理，得出矛盾；理，得出矛盾； 反證法的證明過程反證法的證明過程 存真存真由矛盾結果，斷定反設不成立，從而由矛盾結果，斷定反設不成立，從而 肯定原結論成立肯定原結論成立. . 歸謬矛盾：歸謬矛盾： （1 1）與已知條件矛盾）與已知條件矛盾. . （2 2）與假設矛盾或自相矛盾）與假設矛盾或自相矛盾. . （3 3）與已有公理

6、、定理、定義、事實矛盾）與已有公理、定理、定義、事實矛盾. . 反證法的思維方法：正難則反反證法的思維方法：正難則反. . 你能說出下列結論的反面嗎你能說出下列結論的反面嗎? 1. ab 2.d是正數是正數 3.a0 4.ab a不垂直于不垂直于b d不是正數不是正數,即即d0 a0 a不平行不平行b 萬事開頭難，讓我們走好第一步！萬事開頭難，讓我們走好第一步！ 探究點探究點2 反證法的應用反證法的應用 常用的互為否定的表述方式：常用的互為否定的表述方式： 至少有三個至少有三個 最多有一個最多有一個 至多有兩個至多有兩個 至少有兩個至少有兩個 原詞語原詞語 否定詞否定詞 原詞語原詞語 否定詞否

7、定詞 等于等于任意的任意的 是是 至少有一個至少有一個 都是都是 至多有一個至多有一個 大于大于 至少有至少有n n個個 小于小于 至多有至多有n n個個 對所有對所有x,x, 成立成立 對任何對任何x x， 不成立不成立 準確地作出反設準確地作出反設( (即否定結論即否定結論) )是非常重要的，是非常重要的， 下面是一些常見的結論的否定形式下面是一些常見的結論的否定形式. . 不是不是 不都是不都是 不大于不大于 大于或等于大于或等于 一個也沒有一個也沒有 至少有兩個至少有兩個 至多有（至多有（n-1)個個 至少有（至少有（n+1)個個 存在某存在某x， 不成立不成立 存在某存在某x, 成立

8、成立 不等于不等于 某個某個 證明：證明：因為因為a b 所以經過直線所以經過直線a,b確定一個平確定一個平 面面 . 因為因為 , ,而而 ， 所以所以 與與 是兩個不同的平面是兩個不同的平面. . a a 因為因為 ， 所以所以 . . bb且, b 例例1 已知直線已知直線a，b和平面和平面 ,如果如果 , 且且 ,求證求證: . ba, ba/a a b p 下面用反證法證明直線下面用反證法證明直線a與平面與平面 沒有公共點，假設沒有公共點，假設 直線直線a與平面與平面 有公共點有公共點p p，則，則p p ，即點，即點p p是是 直線直線a與與b b的公共點，這與的公共點，這與abb

9、矛盾，所以矛盾，所以a . . b .2 2是無理數求證例 分析：分析：直接證明一個數是無理數比較困難，我直接證明一個數是無理數比較困難，我 們采用反證法們采用反證法. . 假設假設 不是無理數，那么它就是有理數不是無理數，那么它就是有理數. .我們我們 知道，任一有理數都可以寫成形如知道，任一有理數都可以寫成形如 （m,nm,n互質，互質， mz,nnmz,nn* *) )的形式的形式. .下面我們看看能否由此推出矛下面我們看看能否由此推出矛 盾盾. . 2 n m 證明：證明：假設假設 不是無理數，那么它就是有理數不是無理數，那么它就是有理數. .2 于是，存在互質的正整數于是，存在互質的

10、正整數m,nm,n使得使得 ，從而有，從而有 n m 2 ,2nm 2222 因因此此 m = 2n , m = 2n , 為為數數設設數數從從所所以以m偶m偶.于.于是是可可m = 2k(k是m = 2k(k是正正整整)，)，而而有有 ,24 22 nk 2222 即即 n = 2k , n = 2k , 為為數數 這這質質所所以以n也n也偶偶. 與. 與m,n互m,n互矛矛盾盾！ 設設錯錯誤誤從從無無數數由由上上述述矛矛盾盾可可知知假假，而而 2是2是理理. . 反證法的一般步驟反證法的一般步驟 先假設命題的結論不成立先假設命題的結論不成立 從假設出發，經過推理從假設出發，經過推理 得出矛

11、盾得出矛盾 否定假設否定假設 肯定原命題肯定原命題 分清條件和結論分清條件和結論 【總結提升總結提升】 宜用反證法證明的題型宜用反證法證明的題型 （1 1）以否定性判斷作為結論的命題）以否定性判斷作為結論的命題. . （2 2）某些定理的逆命題）某些定理的逆命題. . （3 3）以）以“至多至多”、“至少至少”或或“不多于不多于”等形式陳等形式陳 述的命題述的命題. . （4 4）關于）關于“唯一性唯一性”結論的命題結論的命題. . （8 8）涉及各種）涉及各種“無限無限”結論的命題等結論的命題等. . （7 7）有些基本定理或某一知識體系的初始階段）有些基本定理或某一知識體系的初始階段. .

12、 （6 6）一些不等量命題的證明）一些不等量命題的證明. . （5 5）解決整除性問題）解決整除性問題. . 1.“a1.“ab”b”的反面應是（的反面應是（ ） a.a. abab或或a ab b. a b b. a b b c. a=b d. a=bc. a=b d. a=b或或a ab b 2. 2. 用反證法證明命題用反證法證明命題“三角形中最多有一個是直角三角形中最多有一個是直角” 時，應假設時，應假設 _ _ . . d d 三角形中有兩個或三個角是直角三角形中有兩個或三個角是直角 3.3.否定否定“自然數自然數a a，b b，c c中恰有一個偶數中恰有一個偶數”時，正時，正 確的

13、反設為（確的反設為（ ） a.aa.a，b b，c c都是奇數都是奇數 b. ab. a，b b，c c都是偶數都是偶數 c. ac. a，b b，c c中至少有兩個偶數中至少有兩個偶數 d. ad. a，b b，c c中都是奇數或至少有兩個偶數中都是奇數或至少有兩個偶數 d d 4.4.如圖，在如圖，在abcabc中中, ,若若c c是直角，那么是直角，那么b b一定是一定是 銳角銳角. . a c b 證明：證明：假設結論不成立假設結論不成立, ,則則b b是是直角直角或或鈍角鈍角. . 當當b b是是直角直角時，則時，則b+ c= 180b+ c= 180， 這與這與三角形的三個內角和等

14、于三角形的三個內角和等于180180矛盾；矛盾； 當當b b是是鈍角鈍角時，則時，則b+ cb+ c180180， 這與這與三角形的三個內角和等于三角形的三個內角和等于180180矛盾；矛盾； 綜上所述綜上所述, ,假設不成立假設不成立. . 所以所以bb一定是銳角一定是銳角. . 分析分析: :假設假設c c沒有撒謊沒有撒謊, , 則則c c真真. .那么那么a a假且假且b b假假; ; 由由a a假假, , 知知b b真真. . 這與這與b b假矛盾假矛盾. . 那么假設那么假設c c沒有撒謊不成立沒有撒謊不成立; ; 則則c c必定是在撒謊必定是在撒謊. . 5.a5.a、b b、c c三個人，三個人，a a說說b b撒謊，撒謊，b b說說c c撒謊，撒謊，c c 說說a,ba,b都撒謊。則都撒謊。則c c必定是在撒謊，為什么？必定是在撒謊，為什么？ 1.1.反證法的一般步驟反證法的一般步驟: : 假設命題不成立假設命題不成立 引出矛盾引出矛盾 假設不成立假設不成立 求證的命題正確求證的命題正確 假設假設歸謬歸謬結論結論 從假設從假設 出發出發 得出得出 結論結論 與假設、已知、定與假設、已知、定 義、定理、公理或義、定理、公理或 者事實矛盾等者事實矛盾等 2.2.用反證法證題時用反證法證題時, ,應注意的事項應注意的事項: : （1 1）周密考察原命題結論的