1、十字相乘法進(jìn)行因式分解 【基礎(chǔ)知識(shí)精講】 ( 1)理解二次三項(xiàng)式的意義； ( 2)理解十字相乘法的根據(jù)； ( 3)能用十字相乘法分解二次三項(xiàng)式； ( 4)重點(diǎn)是掌握十字相乘法，難點(diǎn)是首項(xiàng)系數(shù)不為1 的二次三項(xiàng)式的十字相乘法 【重點(diǎn)難點(diǎn)解析】 1二次三項(xiàng)式 22 多項(xiàng)式ax bx c，稱為字母x的二次三項(xiàng)式，其中 ax稱為二次項(xiàng)，bx為一次項(xiàng)，c為常數(shù)項(xiàng).例 如，x 2x 3和x 5x 6都是關(guān)于x的二次三項(xiàng)式. 在多項(xiàng)式x2 6xy 8y2中，如果把y看作常數(shù)，就是關(guān)于 x的二次三項(xiàng)式；如果把 x看作常數(shù)，就是 關(guān)于 y 的二次三項(xiàng)式. 在多項(xiàng)式2a2b2 7ab 3中，把a(bǔ)b看作一個(gè)整體，即

2、2(ab)2 7(ab) 3，就是關(guān)于ab的二次三項(xiàng)式.同 樣，多項(xiàng)式(x y)27(x y) 12，把x+ y看作一個(gè)整體，就是關(guān)于 x+y的二次三項(xiàng)式. 十字相乘法是適用于二次三項(xiàng)式的因式分解的方法. 2.十字相乘法的依據(jù)和具體內(nèi)容 利用十字相乘法分解因式，實(shí)質(zhì)上是逆用(ax+ b)(cx+ d)豎式乘法法則.它的一般規(guī)律是： (1) 對(duì)于二次項(xiàng)系數(shù)為 1的二次三項(xiàng)式x2 px q，如果能把常數(shù)項(xiàng) q分解成兩個(gè)因數(shù) a, b的積，并且 a+b為一次項(xiàng)系數(shù)p，那么它就可以運(yùn)用公式 2 x (a b)x ab (x a)(x b) 分解因式這種方法的特征是“拆常數(shù)項(xiàng)，湊一次項(xiàng)”公式中的x可以表

3、示單項(xiàng)式，也可以表示多項(xiàng) 式，當(dāng)常數(shù)項(xiàng)為正數(shù)時(shí)，把它分解為兩個(gè)同號(hào)因數(shù)的積，因式的符號(hào)與一次項(xiàng)系數(shù)的符號(hào)相同；當(dāng)常數(shù)項(xiàng)為 負(fù)數(shù)時(shí)，把它分解為兩個(gè)異號(hào)因數(shù)的積，其中絕對(duì)值較大的因數(shù)的符號(hào)與一次項(xiàng)系數(shù)的符號(hào)相同. (2) 對(duì)于二次項(xiàng)系數(shù)不是 1的二次三項(xiàng)式ax2 bx c(a, b, c都是整數(shù)且0)來說，如果存在四個(gè)整數(shù) 那么 ax2 bx c a1a2x2 (a1c2 a2c1)x c1c2 (a1x c1)(a2x c2 )它的特征是 “拆兩頭， 湊中間”， 這里要確定四個(gè)常數(shù)，分析和嘗試都要比首項(xiàng)系數(shù)是 1 的情況復(fù)雜，因此，一般要借助“畫十字交叉線”的 辦法來確定學(xué)習(xí)時(shí)要注意符號(hào)的規(guī)律為

4、了減少嘗試次數(shù)，使符號(hào)問題簡單化，當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)為負(fù)數(shù)時(shí)， 先提出負(fù)號(hào)，使二次項(xiàng)系數(shù)為正數(shù)，然后再看常數(shù)項(xiàng)；常數(shù)項(xiàng)為正數(shù)時(shí)，應(yīng)分解為兩同號(hào)因數(shù)，它們的符號(hào) 與一次項(xiàng)系數(shù)的符號(hào)相同；常數(shù)項(xiàng)為負(fù)數(shù)時(shí)，應(yīng)將它分解為兩異號(hào)因數(shù)，使十字連線上兩數(shù)之積絕對(duì)值較大 的一組與一次項(xiàng)系數(shù)的符號(hào)相同用十字相乘法分解因式，還要注意避免以下兩種錯(cuò)誤出現(xiàn)：一是沒有認(rèn)真 地 驗(yàn)證交 叉相 乘的兩 個(gè)積 的和是 否等 于一次 項(xiàng)系 數(shù)； 二 是由 十字相 乘寫 出的因 式漏 寫字母 如 ： 22 5x2 6xy 8y 2 (x 2)(5x 4) 3因式分解一般要遵循的步驟 多項(xiàng)式因式分解的一般步驟： 先考慮能否提公因式， 再

5、考慮能否運(yùn)用公式或十字相乘法， 最后考慮分組 分解法對(duì)于一個(gè)還能繼續(xù)分解的多項(xiàng)式因式仍然用這一步驟反復(fù)進(jìn)行以上步驟可用口訣概括如下： “首 先提取公因式，然后考慮用公式、十字相乘試一試，分組分解要合適，四種方法反復(fù)試，結(jié)果應(yīng)是乘積式” 【典型熱點(diǎn)考題】 例 1 把下列各式分解因式： 2 2 2 (1) x2 2x 15；(2) x2 5xy 6y2 點(diǎn)悟：(1 )常數(shù)項(xiàng)15可分為3 X ( 5)，且3 + (-5) =- 2恰為一次項(xiàng)系數(shù)； (2)將y看作常數(shù)，轉(zhuǎn)化為關(guān)于x的二次三項(xiàng)式，常數(shù)項(xiàng)6y2可分為(2y)( 3y),而(2y) + ( 3y) = ( 5y) 恰為一次項(xiàng)系數(shù) 解：( 1

6、) x2 2x 15 (x 3)(x 5) ； ( 2) x2 5xy 6y2 (x 2y)(x 3y) 例 2 把下列各式分解因式： ( 1) 2x2 5x 3；( 2) 3x2 8x 3 點(diǎn)悟：我們要把多項(xiàng)式ax2bx c分解成形如(a%GXax?c2)的形式，這里aa2a ,c1c2c而 a1c2 a2c1 b 解：( 1) 2x2 5x 3 (2x 1)(x 3) ； (2)3x2 8x 3 (3x 1)( x 3) 點(diǎn)撥：二次項(xiàng)系數(shù)不等于 1 的二次三項(xiàng)式應(yīng)用十字相乘法分解時(shí)， 二次項(xiàng)系數(shù)的分解和常數(shù)項(xiàng)的分解隨機(jī)性 較大，往往要試驗(yàn)多次，這是用十字相乘法分解的難點(diǎn)，要適當(dāng)增加練習(xí)，積

7、累經(jīng)驗(yàn)，才能提高速度和準(zhǔn)確性 例3 把下列各式分解因式： (1) x4 10 x2 9； (2) 7(x y)3 5(x y)2 2(x y) ； (3) (a2 8a)2 22(a2 8a) 120 點(diǎn)悟： (1)把 x2 看作一整體，從而轉(zhuǎn)化為關(guān)于 x 2的二次三項(xiàng)式； (2) 提取公因式 (x+ y)后，原式可轉(zhuǎn)化為關(guān)于 (x+ y)的二次三項(xiàng)式 (3) 22 以 (a2 8a) 為整體，轉(zhuǎn)化為關(guān)于 (a2 8a) 的二次三項(xiàng)式 解：(1) x4 10 x2 9 (x2 1)(x2 9) =(x+ 1)(x 1)(x+ 3)(x 3). 2) 7(x y)3 5(x y)2 2(x y)

8、 (x 2 y)7(x y)2 5(x y) 2 =(x+ y)(x+ y) 17(x+ y)+ 2 =(x+ y)(x+ y 1)(7x+ 7y+ 2). ( 3) (a2 8a)2 22(a2 8a) 120 22 (a2 8a 12)(a2 8a 10) (a 2)(a 6)(a2 8a 10) 點(diǎn)撥： 要深刻理解換元的思想，這可以幫助我們及時(shí)、準(zhǔn)確地發(fā)現(xiàn)多項(xiàng)式中究竟把哪一個(gè)看成整體，才能構(gòu) 成二次三項(xiàng)式，以順利地進(jìn)行分解同時(shí)要注意已分解的兩個(gè)因式是否能繼續(xù)分解，如能分解，要分解到不能再 分解為止 例 4 分解因式： (x2 2x 3)(x2 2x 24) 90 點(diǎn)悟：把x2 2x看作一

9、個(gè)變量，利用換元法解之. 解：設(shè)x2 2x y，貝U 原式=(y 3)(y 24)+ 90 2 y 27y 162 =(y i8)(y 9) (x2 2x 18)( x2 2x 9). 點(diǎn)撥：本題中將x2 2x視為一個(gè)整體大大簡化了解題過程，體現(xiàn)了換元法化簡求解的良好效果此外， 2 y 27y 162 (y 18)(y 9) 一步，我們用了 “十字相乘法”進(jìn)行分解. 例5分解因式6x4 5x3 38x2 5x 6. 點(diǎn)悟：可考慮換元法及變形降次來解之. 解：原式 6(x 占)5(x丄)38 xx 21 21 x26(x-)25(x -)50, xx 1 令x y，則 x 原式 x2(6y2 5

10、y 50) x2(2y5)(3y10) 223 x (2x-5)(3x- 10) xx 2 2 (2x 5x 2)(3x10 x 3) (x 2)(2x 1)(x 3)(3x 1) 但是, 點(diǎn)撥：本題連續(xù)應(yīng)用了 “十字相乘法”分解因式的同時(shí)，還應(yīng)用了換元法，方法巧妙，令人眼花了亂. 品味之余應(yīng)想到對(duì)換元后得出的結(jié)論一定要“還原”，這是一個(gè)重要環(huán)節(jié). 例6分解因式x2 2xy y2 5x 5y 6. 點(diǎn)悟：方法1：依次按三項(xiàng)，兩項(xiàng)，一項(xiàng)分為三組，轉(zhuǎn)化為關(guān)于(x y)的二次三項(xiàng)式. 方法 2：把字母 y 看作是常數(shù)，轉(zhuǎn)化為關(guān)于 x 的二次三項(xiàng)式 解法 1： 2 x 2xy 2 y 5x 5y 6

11、(x2 2xy 2 y )( 5x 5y) (x y)2 5(x y) 6 (x y 1) (x y 6) . 解法 2： 2 x 2xy 2 y 5x 5y 6 2 x (2y 5)x 2 y 5y 6 2 x (2y 5)x (y 6)( y 1) x (y 6) x( y 1) =(x y 6)(X y+ 1). 例 7 分解因式： ca(ca) bc(bc)ab(ab) 點(diǎn)悟： 先將前面的兩個(gè)括號(hào)展開，再將展開的部分重新分組. 解： ca(c a)bc(b c)ab(a b) 2 ac 2 ac b2c bc2 ab(a b) 2 c (a b) c(a2 b2) ab(a b) c2

12、(a b) c(a b)(a b) ab(a b) (a b)c2 c(a b) ab =(a b)(c a)(c b). 點(diǎn)撥： 因式分解，有時(shí)需要把多項(xiàng)式去括號(hào)、展開、整理、重新分組，有時(shí)僅需要把某幾項(xiàng)展開再分組.此 題展開四項(xiàng)后，根據(jù)字母 c 的次數(shù)分組，出現(xiàn)了含 a b 的因式，從而能提公因式.隨后又出現(xiàn)了關(guān)于c 的 二次三項(xiàng)式能再次分解. 4 2 2 例8 已知x 6x x 12有一個(gè)因式是x ax 4，求a值和這個(gè)多項(xiàng)式的其他因式. 點(diǎn)悟：因?yàn)?x4 6x2 x 12是四次多項(xiàng)式， 有一個(gè)因式是 x2 ax 4，根據(jù)多項(xiàng)式的乘法原則可知道另 個(gè)因式是x2 bx 3(a、b是待定常數(shù)

13、)，故有x4 6x2 x 12 (x2 ax 4) (x2 bx 3) 根據(jù)此 恒等關(guān)系式，可求出 a, b的值. 解：設(shè)另一個(gè)多項(xiàng)式為x2 bx 3，則 x4 6x2 x 12 2 2 (x ax 4)(x bx 3) 43 x (a b)x (3 4 ab)x (3a 4b)x 12 , 4243 x 6x x 12與x (a b)x (3 4 ab)x (3a 4b)x 12是同一個(gè)多項(xiàng)式，所以其對(duì)應(yīng)項(xiàng) 系數(shù)分別相等即有 口Q 3 十 4 十 ob = 6, 3a+4i = l. 由、解得，a = 1, b = 1, 代入，等式成立. a= 1 ,另一個(gè)因式為x2 x 3. 點(diǎn)撥：這種方

14、法稱為待定系數(shù)法，是很有用的方法待定系數(shù)法、配方法、換元法是因式分解較為常用的方 法，在其他數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)中也經(jīng)常運(yùn)用希望讀者不可輕視. 【易錯(cuò)例題分析】 例 9 分解因式：5a2b2 23aby 10 y2 . 錯(cuò)解：/10= 5X ( 2), 5 = 1X 5, 5X 5 + 1 X ( 2) = 23, 原式=(5ab+ 5y)( 2ab + 5y). 警示：錯(cuò)在沒有掌握十字相乘法的含義和步驟. 正解：/5 = 1X 5, 10= 5X ( 2), $乂g 5 X 5+ 1X ( 2)= 23. 原式=(ab+ 5y)(5ab 2y). 【同步練習(xí)】 、選擇題 1.如果x2 px q (

15、x a)(x b)，那么p等于 () A. ab B. a+ b C. ab D. (a + b) 2 2.如果x (a b) x 5b 2 x x 30 ,貝U b為 () A. 5 B. 6 C. 5 D. 6 2 3.多項(xiàng)式x 3x a可分解為(x5)(x b),貝V a, b的值分別為 () A. 10 和2 B. 10 和 2 C. 10 和 2 D. 10 和2 4.不能用十字相乘法分解的是 () 2小 A. x x 2 2 2 B. 3x 10 x 3x 2 C. 4x x 2 D. 5x2 6xy 8y2 5 分解結(jié)果等于(x+ y 4)(2x+ 2y 5)的多項(xiàng)式是() A.

16、 2(x y)2 13(x y) 20 B. (2x 2y)2 13(x y) 20 C. 2(x y)2 13(x y) 20 D. 2(x y)2 9(x y) 20 6.將下述多項(xiàng)式分解后，有相同因式 x 1的多項(xiàng)式有 () x27 x 6 ； 3x2 2x 1 ； 2 x 5x 6 ； 4x2 5x 9 ； 2 15x 23x 8; 42 x 11x12 A. 2個(gè) B. 3個(gè) C. 4個(gè) D. 5個(gè) 二、填空題 7 X2 3x 10 2 8. m 5m 6 (m + a)(m + b). a =, b =. 2 9. 2x 5x 3 (x 3)(). 2 2 10. x 2y (x

17、y)(). 2 n2 11. aa (_) ( ). m 13 若 x y= 6, xy 17，則代數(shù)式 x3y 2x 36 y2 xy3的值為 三、解答題 (1) 4 x 7x2 6 - 4 (2) x (3) 4x4 65x 2 2 . y 1 6y4 ； 6 (4) a (5) 6a4 5a3 4a2 ； (6) 4a6 15. 把下列 各式分 解因式 (1) (x2 3)2 4x2 ； (2) x 2(x 2)2 9 ; (3) (3x2 2x 1)2 (2x2 3x 3)2 ; (4) (x2 x)2 17(x2 x) 60 - (5) (x2 2x)2 7(x2 ；2x) 8 ;

18、(6) (2a b)2 14(2a b) 48. 16. 把下列 各式分 解因式 (1) (a b)x2 2 ax a b ； (2) 2 x (p2 q2)x pq(p q）（ (p q); (3) x2 2xy 3y2 2x 10y 1 8 - (4) 4x2 4xy 3y2 4x 1 l0y 3; (5) (x2 3x 2)(x2 7x 1 12) 120 ； (6) (x2 xy 2 2 y )(x xy 2y2 )12y4. 17. 已知2x37 ，x2 1 9x 60 i有因 式 2x 5, 把它分解因式 18. 已知x+ y= 2, xy= a+ 4, x3 y3 26, 求a的

19、值. 14 .把下列各式分解因式: 參考答案 3 36 7a b 8b ； 5x2 36 ； 37a4b2 9a2b4. 【同步練習(xí)】 1 . D 2. B 3. D 4. C 5. A 6. 7. (x+ 5)(x 2)8. 1 或一6, - 6 或 1 9. 2x+ 1 nn 10. xy, x+ 2y 11. 牙,a,_ 4m2m 12 . - 2, 3x+ 1 或 x+ 213 . 17 2 2 14. (1)原式(x 1)(x6) (x 1)(x 1)(x2 6) (2) 原式 (x2 9)(x2 4) (x 3)( x 3)(x2 4) (3) 原式 (4x2 y2)(x2 16y

20、2) (2x y)(2x y) (x 4y)(x 4y) (4) 原式 3 (a 8b3)(a3 b3) (a 2b)(a2 2ab 4b2 )(a b)(a2 ab b2) (5) 原式 a2 (6a2 5a 4) 2 a (2a 1)(3a 4) (6) 原式 a2 (4a437a 2b2 9b4) a2(4a2 b2)(a2 9b2) a2(2a b)(2a b)(a 3b)(a 3b) 2 2 15. (1)原式(x 3 2x)(x 3 2x) (x 3)( x 1)( x 3)( x 1) (2) 原式 x(x 2) 3 x(x 2) 3 (x2 2x 3)(x2 2x 3) (x 3)( x 1)(x2 2x 3) (3) 原式 (3x2 2x 1 2x2 3x 3) (3x2 2x 1 2x2 3x 3) (5x2 5x 4)( x 2)(： x 1) (4) 原式 (x2 x 1 2)(x2 x 5) (x 4)(x 3)( x2 x 5) 5) 原式 (x2 2x 8)( x2 2x 1) 2 (x 2)( x 4)(x 1)2 ( 6)原式 (2a b 6)(2a b