1、函數與導數1. 已知函數 f (x) = 4x3 + 3tx2 - 6tx + t -1, x r ，其中t r （）當t = 1時，求曲線 y =f (x) 在點(0, f (0) 處的切線方程；（）當t 0 時，求 f (x) 的單調區間；（）證明：對任意的t (0, +), f (x) 在區間(0,1) 內均存在零點【解析】（19）本小題主要考查導數的幾何意義、利用導數研究函數的單調性、曲線的切線方程、函數的零點、解不等式等基礎知識，考查運算能力及分類討論的思想方法，滿分 14 分。（）解：當t = 1時， f (x) = 4x3 + 3x2 - 6x, f (0) = 0, f (x)

2、 = 12x2 + 6x - 6f (0) = -6. 所以曲線 y = f (x) 在點(0, f (0) 處的切線方程為 y = -6x.（）解： f (x) = 12x2 + 6tx - 6t 2 ，令 f (x) = 0 ，解得 x = -t或x = t .2因為t 0 ，以下t分兩種情況討論：f (x), f (x) 的變化情況如下表：（1） 若t 0, 0,則- t 0 時， f (x) 在 0, t t , + 內單調內的單調遞減，在2 2遞增，以下分兩種情況討論：t（1）當2 1,即t 2 時， f (x) 在（0，1）內單調遞減，f (0) = t - 1 0, f (1)

3、= -6t 2 + 4t + 3 -6 4 + 4 2 + 3 0.所以對任意t 2, +), f (x) 在區間（0，1）內均存在零點。（2）當0 t 1,即0 t 2 時， f (x) 在 0, t t ,1 內單調遞增，若內單調遞減，在222t (0,1, f 1 = - 7 t3 + t - 1 - 7 t3 0.所以 f (x)在 t ,1 內存在零點。22若t (1, 2), f t = - 7 t3 + (t - 1) - 7 t3 + 1 0所以 f (x)在 0, t 內存在零點。2所以，對任意t (0, 2), f (x) 在區間（0，1）內均存在零點。綜上，對任意t (0

4、, +), f (x) 在區間（0，1）內均存在零點。x2. 已知函數 f (x) = 2 x + 1 ， h(x) =32（）設函數 f(x)18f(x)x2h(x)2，求 f(x)的單調區間與極值；（）設 a r ，解關于 x 的方程lg 3 f (x - 1) - 3 = 2 lg h(a - x) - 2 lg h(4 - x) ；24（）設 n n* ，證明： f (n)h(n) -h(1) + h(2) + l + h(n) 1 6本小題主要考查函數導數的應用、不等式的證明、解方程等基礎知識，考查數形結合、函數與方程、分類與整合等數學思想方法及推理運算、分析問題、解決問題的能力解：

5、（） f (x) = 18 f (x) - x2h(x)2 = -x3 + 12x + 9(x 0) ， f (x) = -3x2 + 12 令 f (x) = 0 ，得 x = 2 （ x = -2 舍去）當 x (0, 2) 時 f (x) 0 ；當 x (2, +) 時， f (x) 0 ，故當 x 0, 2) 時， f (x) 為增函數；當 x 2, +) 時， f (x) 為減函數x = 2 為 f (x) 的極大值點，且 f (2) = -8 + 24 + 9 = 25 （）方法一：原方程可化為log 3 f (x - 1) - 3 = log h(a - x) - log h(4

6、 - x) ，即為log (x - 1) = log4a - x4 - x- log24 a - x= log22，且x a,42224 - x1 x 4,當1 a 4 時，1 x 0 ，此時 x = 6 20 - 4a = 3 2，1 x 4 時，1 x 4 ，由 x - 1 = a - x ，得 x2 - 6x + a + 4 = 0 ，4 - xd = 36 - 4(a + 4) = 20 - 4a ，若4 a 0 ，方程有兩解 x = 3 若 a = 5 時，則d = 0 ，方程有一解 x = 3 ； 若 a 1 或 a 5 ，原方程無解5 - a ；方法二：原方程可化為log4 (x

7、 - 1) + log2 h(4 - x) = log2 h(a - x) ， x - 1 0,1 x 0,a - xa - x 0,(x - 1)(4 - x) = a - x.x a,a = -(x - 3)2 + 5.5 - a當1 a 4 時，原方程有一解 x = 3 -；當4 a 5 時，原方程無解5 - a ；12n（）由已知得 h(1) + h(2) +l + h(n) =+l +，f (n)h(n) - 1 = 4n + 3 n - 1 666設數列a 的前 n 項和為 s ，且 s = f (n)h(n) -1 （ n n* ）nnn6從而有 a = s = 1 ，當2 k

8、100 時， a = s - s= 4k + 3 k - 4k - 1 k - 1 11kkk -166k又 a -= 1 (4k + 3)- (4k -1) k - 1 = 1 (4k + 3)2 k - (4k - 1)2 (k - 1)kk66 (4k + 3) k + (4k - 1) k - 11(4k + 3) k + (4k - 1) k - 1= 1 0 6k即對任意 k 2 時，有 ak 12以 a1 + a2 +l + an +l +，又因為 a1 = 1 =，所1n則 sn h(1) + h(2) +l + h(n) ，故原不等式成立3. 設函數 f (x) = a 2

9、ln x - x 2 + ax ， a 0（）求 f (x) 的單調區間；（）求所有實數a ，使e - 1 注： e 為自然對數的底數f (x) e2 對 x 1, e 恒成立【解析】（21）本題主要考查函數的單調性、導數運算法則、導數應用等基礎知識，同時考查抽象概括、推理論證能力。滿分 15 分。（）解：因為 f (x) = a2 ln x - x2 + ax.其中x 0a2(x - a)(2x + a)所以 f (x) =- 2x + a = - xx由于 a 0 ，所以 f (x) 的增區間為(0, a) ，減區間為(a, +)（）證明：由題意得， f (1) = a - 1 c - 1

10、,即a c由（）知 f (x)在1, e 內單調遞增，要使e - 1 f (x) e2對x 1, e 恒成立， f (1) = a - 1 e - 1,只要 f (e) = a2 - e2 + ae e2解 得 a = e.4. 設 f (x) =ex1 + ax 2，其中a 為正實數.4（）當 a =時，求 f (x) 的極值點；3（）若 f (x) 為 r 上的單調函數，求a 的取值范圍.【解析】（18）（本小題滿分 13 分）本題考查導數的運算，極值點的判斷，導數符號與函數單調變化之間的關系，求解二次不等式，考查運算能力，綜合運用知識分析和解決問題的能力.x 1 + ax 2 - ax解

11、：對 f (x) 求導得 f (x) = e.(1+ ax 2 )2（i）當a = 4 ，若 f (x) = 0,則4x 2 - 8x + 3 = 0, 解得x = 3 , x = 1 .3綜合,可知1222x(-, 1)212( 1 , 3)2 232( 3 , ) 2f (x)+00+f (x)極大值極小值31所以, x1 = 2 是極小值點, x2 = 2 是極大值點.（ii）若 f (x) 為 r 上的單調函數，則 f (x) 在 r 上不變號，結合與條件 a0，知ax 2 - 2ax + 1 0在 r 上恒成立，因此d = 4a 2 - 4a = 4a(a - 1) 0, 由此并結合

12、 a 0 ，知0 a 1.5. 已知 a，b 為常數，且 a0，函數 f（x）=-ax+b+axlnx，f（e）=2（e=271828是自然對數的底數）。（i） 求實數 b 的值；（ii） 求函數 f（x）的單調區間；（iii） 當 a=1 時，是否同時存在實數 m 和 m（m 0時,由f ( x) 0得x1, 由f ( x) 0得0x1;（2）當 a 00 x 1,f (x) 1.綜上，當 a 0 時，函數 f (x) 的單調遞增區間為(1, +) ，單調遞減區間為（0，1）；當 a 0 時，函數 f (x) 的單調遞增區間為（0，1），單調遞減區間為(1, +) 。（iii） 當 a=1

13、時， f (x) = -x + 2 + x ln x, f (x) = ln x.1由（ii）可得，當 x 在區間( , e) 內變化時， f (x), f (x) 的變化情況如下表：ex1e1( ,1)e1(1, e)ef (x)-0+f (x)2 - 2e單調遞減極小值 1單調遞增221又2 - 2, 所以函數f (x) = (x , e) 的值域為1，2。eem = 1,1e據經可得，若m = 2 ，則對每一個t m, m ，直線 y=t 與曲線 y =f (x)(x , e) 都有公共點。1并且對每一個t (-, m) u (m , +) ，直線 y = t 與曲線 y = f (x)

14、(x , e)e都沒有公共點。綜上，當 a=1 時，存在最小的實數 m=1，最大的實數 m=2，使得對每一個t m, m ，直線 y=t與曲線 y = f (x)(x ,1e) 都有公共點。e6. 設函數 f (x) = x3 + 2ax2 + bx + a ， g(x) = x2 - 3x + 2 ，其中 x r ，a、b 為常數，已知曲線 y = f (x) 與 y = g(x) 在點（2,0）處有相同的切線 l。（i） 求 a、b 的值，并寫出切線 l 的方程；（ii） 若方程 f (x) + g(x) = mx 有三個互不相同的實根 0、 x1 、 x2 ，其中 x1 x2 ，且對任意

15、的 x x1, x2 ， f (x) + g(x) 0,即m -.4又對任意的 x x1 , x2 , f (x) + g(x) m(x - 1) 成立，特別地，取 x = x1 時， f (x1 ) + g(x1 ) - mx1 -m 成立，得 m 0, x1 x2 = 2 - m 0,故0 x1 0則 f (x) + g(x) - mx = x(x - x1 )(x - x2 ) 0, 又f (x1 ) + g(x1 ) - mx1 = 0所以函數 f (x) + g(x) - mx在x x1 , x2 的最大值為 0。于是當 m 0 時，對任意的 x x1, x2 , f (x) + g

16、(x) m(x - 1) 恒成立，1綜上， m 的取值范圍是(-, 0).4“”“”at the end, xiao bian gives you a passage. minand once said, people who learn to learn are very happy people. in every wonderful life, learning is an eternal theme. as a professional clerical and teaching position, i understand the importance of continuous learning, life is diligent, nothing can be gained, only continuous learning can achieve better self. only by constantly learning and mastering the latest relevant knowledge, can employ