黑龍江省大慶中學2019屆高三數學上學期期中試題 理（掃描版）大慶中學2018-2019學年高三年級上學期期中考試數學（理科）答案和解析1.【答案】B【解析】解：集合M=x|x-1，N=x|-2x2， MN=x|-1x2=-1，2） 故選：B 先分別求出集合M，N，由此利用交集定義能求出MN 本題考查交集的求法，是基礎題，解題時要認真審題，注意交集定義的合理運用2.【答案】A【解析】【分析】本題考查復數代數形式的乘除運算，考查復數的代數表示法及其幾何意義，是基礎題利用復數代數形式的乘除運算化簡，求得復數所對應點的坐標得答案【解答】解：=，復數對應的點的坐標為（3，1），位于第一象限故選A3.【答案】A【解析】【分析】本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，結合直線垂直的等價條件求出m的值是解決本題的關鍵根據直線垂直的等價條件求出m的值，結合充分條件和必要條件的定義進行判斷即可【解答】解：若直線l1：mx+（2m-1）y+1=0與直線l2：3x+my+3=0垂直，則滿足3m+m（2m-1）=0，即m（2m+2）=0，得m=0或m=-1，則“m=-1”是“直線l1：mx+（2m-1）y+1=0與直線l2：3x+my+3=0垂直”的充分不必要條件，故選A4.【答案】B【解析】解：當x0時，函數f（x）=，由函數y=、y=ln（-x）遞減知函數f（x）=遞減，排除CD；當x0時，函數f（x）=，此時，f（1）=1，而選項A的最小值為2，故可排除A，只有B正確，故選：B當x0時，函數f（x）=，由函數的單調性，排除CD；當x0時，函數f（x）=，此時，代入特殊值驗證，排除A，只有B正確，題考查函數的圖象，考查同學們對函數基礎知識的把握程度以及數形結合與分類討論的思維能力5.【答案】C【解析】【分析】根據向量的加減的幾何意義和三點共線即可求出答案本題考查了平面向量的線性運算，及三點共線的充要條件，屬于中檔題【解答】解：=，=，=（+）=（+）=+，三點M，N，P共線+=1，=，故選C.6.【答案】D【解析】【分析】本題考查了三棱錐的三視圖、體積計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎題【解答】解：由三視圖可知：該幾何體為三棱錐，如圖所示：該三棱錐的體積=10故選D7.【答案】A【解析】解：把已知條件列表如下：查資料寫教案改作業打印材料甲乙丙丁若甲不在打印資料，則丙不在查資料，則甲在改作業，丙只能寫教案，乙不管是寫教案還是改作業都與甲或丙在做一樣的事，與題設矛盾查資料寫教案改作業打印材料甲乙丙丁所以甲一定在打印資料，此時丁在改作業，乙在寫教案，丙在查資料故選：A若甲不在打印資料，則丙不在查資料，則甲在改作業，丙只能寫教案，乙不管是寫教案還是改作業都與甲或丙在做一樣的事，與題設矛盾，從而得解這是一個典型的邏輯推理應用題，解題方法是由確定項開始用排除法，逐個推論確定各自的正確選項，最終解決問題8.【答案】B【解析】【分析】本題考查等差數列的和與通項,研究等差數列的前n項和的最小值,常用的方法是找出所有的負項,即可得到和的最小值,本題屬于基礎題,難度較低.由題意,可根據a1+a5=-14,S9=-27解出數列的公差,從而求得數列的通項公式,求出所有負項的個數,即可得出Sn取最小值時,n所取的值.【解答】解:設等差數列an的公差是d,a1+a5=-14,S9=-27,2a1+4d=-14,即a1+2d=-7,S9=9(a1+4d)=-27,即a1+4d=-3,聯立得到:a1=-11,d=2.故有an=a1+(n-1)d=2n-13.令an0,可解得n,由此知,數列的前6項為負項故Sn取最小值時,n等于6.故選B.9.【答案】A【解析】【分析】本題考查了余弦二倍角公式與誘導公式的應用問題，是基礎題.利用二倍角公式求出的值，再利用誘導公式求出的值.【解答】解：因為，所以，則.故選A.10.【答案】D【解析】【分析】本題考查直線方程，考查三角形面積的計算，比較基礎由題意，m0，n0，由基本不等式可得結論【解答】解：由題意，m0，n0，由基本不等式可得1，mn8，直線l與x、y正半軸圍成的三角形的面積的最小值為4，故選D11.【答案】D【解析】解：根據題意，設|PF1|=y，|PF2|=x，設PF1F2=，則有y-x=2a，tan=，又由，則有x2+y2=|F1F2|=4c2，e2=1+=1+=1+，令t=tan+，由于=，則tan（2-，），則t（，4），則有2e22+4，則有e+1，即雙曲線離心率e的取值范圍是，+1；故選：D設|PF1|=y，|PF2|=x，設PF1F2=，分析可得y-x=2a，tan=，根據條件判斷PF1PF2，由雙曲線的離心率公式可得e2=1+=1+=1+，令t=tan+，分析tan的范圍，由對號函數的性質分析可得t的范圍，將t的范圍代入其中，計算可得e2的范圍，化簡即可得答案本題考查雙曲線的幾何性質，關鍵是根據條件判斷PF1PF2，結合正弦定理以及轉化為函數最值問題12.【答案】D【解析】解：f（x）=a（x-2）ex+lnx-x，x0， f（x）=a（x-1）ex+-1=（x-1）（aex-）， 由f（x）=0得到x=1或aex-=0（*） 由于f（x）僅有一個極值點， 關于x的方程（*）必無解， 當a=0時，（*）無解，符合題意， 當a0時，由（*）得，a=， 設g（x）=xex， g（x）=ex（x+1）0恒成立， g（x）為增函數， 函數y=為減函數 當x+時，y0 a0 x=1為f（x）的極值點， f（1）=-ae-10， a- 綜上可得a的取值范圍是（-，0 故選：D先求導，再由f（x）=0得到x=1或aex-=0（*），根據（*）無解和函數的極值大于0即可求出a的范圍，本題考查了利用導數研究函數的單調性極值，考查了分類討論的思想方法，考查了轉化方法，考查了推理能力與計算能力，屬于難題13.【答案】2e【解析】【分析】本題考查導數的運用：求切線的斜率，主要考查導數的幾何意義：函數在某點處的導數即為曲線在該點處的切線的斜率，正確求導是解題的關鍵求出函數的導數，由導數的幾何意義，將x=1代入即可得到所求斜率【解答】解：y=xex的導數為y=ex+xex，k=y|x=1=2e，故答案為2e.14.【答案】【解析】【分析】本題考查了簡單的線性規劃問題，考查數形結合思想，是一道中檔題畫出滿足約束條件的平面區域，求出A，B的坐標，由z=ax+y得：y=-ax+z，結合函數的圖象顯然直線y=-ax+z過A，或B時，z最大，求出a的值即可【解答】解：畫出滿足約束條件的平面區域，如圖示：由，解得：A（1，4），由z=ax+y得：y=-ax+z，當直線y=-ax+z過A（1，4）或B（4，1）時，z最大，此時，6=a+4或6=4a+1，解得：a=2或a=，當a=2時，z可在（4，1）取到最大值9，不符合題意，所以a=，故答案為.15.【答案】【解析】解：分別過A，F，B作準線的垂線，垂足分別為A1，D，B1， 則DF=p=2，由拋物線的定義可知BF=BB1，AF=AA1， =4，BF=BB1= CF=4FB=6， cosDFC=， cosA1AC=，解得AF=3， AB=AF+BF=3+= 故答案為： 分別過A，F，B作準線的垂線，垂足分別為A1，D，B1，利用相似三角形計算BB1，AA1即可得出AB=AA1+BB1 本題考查了拋物線的性質，屬于中檔題16.【答案】【解析】【分析】此題考查三棱錐的外接球表面積，關鍵是利用三棱錐、球的幾何特征及已知求出球的半徑.【解答】解：設BD的中點為E，外接球的球心為O，半徑為R，因為，則，又因為平面平面，則平面，因為BD=2，BC=1，所以，則，又因為EB=ED=EC=1，由平面，AE=，則圓心O在直線AE上，且，所以，則，解得，R=，所以三棱錐的外接球表面積為.故答案為.17.【答案】解：（1）當時，所以；當時，則，即.又因為，所以數列是以1為首項，3為公比的等比數列，所以.（2）由（1）得，所以，得所以.【解析】本題考查數列的通項公式，數列求和.考查錯位相減法求和，屬中檔題.（1）由a1=S1,當n1時，an=Sn-Sn-1即可求出求數列的通項公式；（2）由（1）得，所以，用錯位相減法求和即可求得結論.18.【答案】解：(1)因為當且僅當時，最小正周期為,（2）因為，即，因為，所以，于是，即.因為，由正弦定理得，由余弦定理得，即，聯立，解得.【解析】本題考查三角函數的化簡，三角函數的性質，考查余弦定理、正弦定理的運用，屬于中檔題(1)先化簡函數f（x），再求函數的最小值和最小正周期；(2)先求C，再利用余弦定理、正弦定理，建立方程，即可求a、b的值19.【答案】（1）證明：因為BCBD，E是棱CD的中點，所以BECD又三棱錐BACD的三條側棱兩兩垂直，且BCBDB，所以AB平面BCD，則ABCD因為ABBEB，所以CD平面ABE，又平面ACD，所以平面ABE平面ACD（2）解：以B為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系Bxyz，則,E（1,1,0）,，則，.設平面EFG的法向量為，則，即，令，則由（1）知，平面AEG的一個法向量為，所以.由圖可知，二面角AEGF為銳角，故二面角AEGF的余弦值為.【解析】本題考查了線面垂直的判定,線面垂直的性質,面面垂直的判定和利用空間向量求線線、線面和面面的夾角.（1）利用線面垂直的判定得AB平面BCD,再利用線面垂直的性質得ABCD,再利用利用線面垂直的判定得CD平面ABE,最后利用面面垂直的判定得結論;（2）利用空間向量求面面的夾角計算得結論.20.【答案】解：（）由已知得，又a2=b2+c2，解得a=2，b=1，c=，橢圓C的方程為（）證明：設A（x1，y1），B（x2，y2），當直線AB的斜率不存在時，則由橢圓的對稱性知x1=x2，y1=-y2，以AB為直線的圓經過坐標原點，=0，x1x2+y1y2=0，又點A在橢圓C上，=1，解得|x1|=|y1|=此時點O到直線AB的距離（2）當直線AB的斜率存在時，設AB的方程為y=kx+m，聯立，得（1+4k2）x2+8kmx+4m2-4=0，以AB為直徑的圓過坐標原點O，OAOB，=x1x2+y1y2=0，（1+k2）x1x2+km（x1+x2）+m2=0，（1+k2），整理，得5m2=4（k2+1），點O到直線AB的距離=，綜上所述，點O到直線AB的距離為定值（3）設直線OA的斜率為k0，當k00時，OA的方程為y=k0x，OB的方程為y=-，聯立，得，同理，得，AOB的面積S=2，令1+=t，t1，則S=2=2，令g（t）=-+4=-9（）2+，（t1）4g（t），當k0=0時，解得S=1，S的最小值為【解析】（）由已知得，又a2=b2+c2，由此能求出橢圓C的方程（）設A（x1，y1），B（x2，y2），當直線AB的斜率不存在時，x1x2+y1y2=0，點O到直線AB的距離為當直線AB的斜率存在時，設AB的方程為y=kx+m，聯立，得（1+4k2）x2+8kmx+4m2-4=0，由此利用韋達定理結合已知條件推導出點O到直線AB的距離為，由此能證明點O到直線AB的距離為定值（3）設直線OA的斜率為k0，OA的方程為y=k0x，OB的方程為y=-，聯立，得，同理，得，由此能求出AOB的面積S的最小值本題考查橢圓的方程的求法，考查點到直線AB的距離為定值的證明，考查三角形的面積的最小值的求法，解題時要注意韋達定理、弦長公式的合理運用21.【答案】解：（）函數f（x）=（x-2）ex+a（x-1）2，f（x）=（x-1）ex+2a（x-1）=（x-1）（ex+2a），若a=0，那么f（x）=0（x-2）ex=0x=2，函數f（x）只有唯一的零點2，不合題意；若a0，那么ex+2a0恒成立，當x1時，f（x）0，此時函數為減函數；當x1時，f（x）0，此時函數為增函數；此時當x=1時，函數f（x）取極小值-e，由f（2）=a0，可得：函數f（x）在x1存在一個零點；當x1時，exe，x-2-10，f（x）=（x-2）ex+a（x-1）2（x-2）e+a（x-1）2=a（x-1）2+e（x-1）-e，令a（x-1）2+e（x-1）-e=0的兩根為t1，t2，且t1t2，則當xt1，或xt2時，f（x）a（x-1）2+e（x-1）-e0，故函數f（x）在x1存在一個零點；即函數f（x）在R是存在兩個零點，滿足題意；若-a0，則ln（-2a）lne=1，當xln（-2a）時，x-1ln（-2a）-1lne-1=0，ex+2aeln（-2a）+2a=0，即f（x）=（x-1）（ex+2a）0恒成立，故f（x）單調遞增，當ln（-2a）x1時，x-10，ex+2aeln（-2a）+2a=0，即f（x）=（x-1）（ex+2a）0恒成立，故f（x）單調遞減，當x1時，x-10，ex+2aeln（-2a）+2a=0，即f（x）=（x-1）（ex+2a）0恒成立，故f（x）單調遞增，故當x=ln（-2a）時，函數取極大值，由f（ln（-2a）=ln（-2a）-2（-2a）+aln（-2a）-12=aln（-2a）-22+10得：函數f（x）在R上至多存在一個零點，不合題意；若a=-，則ln（-2a）=1，當x1=ln（-2a）時，x-10，ex+2aeln（-2a）+2a=0，即f（x）=（x-1）（ex+2a）0恒成立，故f（x）單調遞增，當x1時，x-10，ex+2aeln（-2a）+2a=0，即f（x）=（x-1）（ex+2a）0恒成立，故f（x）單調遞增，故函數f（x）在R上單調遞增，函數f（x）在R上至多存在一個零點，不合題意；若a-，則ln（-2a）lne=1，當x1時，x-10，ex+2aeln（-2a）+2a=0，即f（x）=（x-1）（ex+2a）0恒成立，故f（x）單調遞增，當1xln（-2a）時，x-10，ex+2aeln（-2a）+2a=0，即f（x）=（x-1）（ex+2a）0恒成立，故f（x）單調遞減，當xln（-2a）時，x-10，ex+2aeln（-2a）+2a=0，即f（x）=（x-1）（ex+2a）0恒成立，故f（x）單調遞增，故當x=1時，函數取極大值，由f（1）=-e0得：函數f（x）在R上至多存在一個零點，不合題意；綜上所述，a的取值范圍為（0，+）證明：（）x1，x2是f（x）的兩個零點，f（x1）=f（x2）=0，且x11，且x21，-a=，令g（x）=，則g（x1）=g（x2）=-a，g（x）=，當x1時，g（x）0，g（x）單調遞減；當x1時，g（x）0，g（x）單調遞增；設m0，則g（1+m）-g（1-m）=-=，設h（m）=，m0，則h（m）=0恒成立，即h（m）在（0，+）上為增函數，h（m）h（0）=0恒成立，即g（1+m）g（1-m）恒成立，令