正方形的判定一選擇題（共8小題）1已知四邊形ABCD是平行四邊形，再從AB=BC，ABC=90，AC=BD，ACBD四個條件中，選兩個作為補充條件后，使得四邊形ABCD是正方形，現有下列四種選法，其中錯誤的是（）A選 B選 C選 D選2下列說法中，正確的是（）A相等的角一定是對頂角B四個角都相等的四邊形一定是正方形C平行四邊形的對角線互相平分D矩形的對角線一定垂直3下列命題中是假命題的是（）A一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形B一組對邊相等且有一個角是直角的四邊形是矩形C一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形D一組鄰邊相等的矩形是正方形4已知四邊形ABCD是平行四邊形，下列結論中不正確的有（）當AB=BC時，它是菱形；當ACBD時，它是菱形；當ABC=90時，它是矩形；當AC=BD時，它是正方形A1組 B2組 C3組 D4組5四邊形ABCD的對角線AC=BD，ACBD，分別過A、B、C、D作對角線的平行線，所成的四邊形EFMN是（）A正方形 B菱形 C矩形 D任意四邊形6如果要證明平行四邊形ABCD為正方形，那么我們需要在四邊形ABCD是平行四邊形的基礎上，進一步證明（）AAB=AD且ACBDBAB=AD且AC=BD CA=B且AC=BDDAC和BD互相垂直平分7下列命題中，真命題是（）A對角線相等的四邊形是矩形B對角線互相垂直的四邊形是菱形C對角線互相平分的四邊形是平行四邊形D對角線互相垂直平分的四邊形是正方形8如圖，在ABC中，ACB=90，BC的垂直平分線EF交BC于點D，交AB于點E，且BE=BF，添加一個條件，仍不能證明四邊形BECF為正方形的是（）ABC=ACBCFBFCBD=DFDAC=BF二填空題（共6小題）9能使平行四邊形ABCD為正方形的條件是_（填上一個符合題目要求的條件即可）10如圖，在RtABC中，C=90，DE垂直平分AC，DFBC，當ABC滿足條件_時，四邊形DECF是正方形 （要求：不再添加任何輔助線，只需填一個符合要求的條件）11如圖，菱形ABCD的對角線相交于點O，請你添加一個條件：_，使得該菱形為正方形12如圖，在四邊形ABCD中，AB=BC=CD=DA，對角線AC與BD相交于點O，若不增加任何字母與輔助線，要使四邊形ABCD是正方形，則還需增加一個條件是_13已知四邊形ABCD中，A=B=C=90，若添加一個條件即可判定該四邊形是正方形，那么這個條件可以是_14要使一個菱形成為正方形，需添加一個條件為_三解答題（共8小題）15已知：如圖，ABC中，ABC=90，BD是ABC的平分線，DEAB于點E，DFBC于點F求證：四邊形DEBF是正方形16如圖，在四邊形ABCD中，AB=BC，對角線BD平分ABC，P是BD上一點，過點P作PMAD，PNCD，垂足分別為M，N（1）求證：ADB=CDB；（2）若ADC=90，求證：四邊形MPND是正方形17如圖，在RtABC中，ACB=90，過點C的直線MNAB，D為AB邊上一點，過點D作DEBC，交直線MN于E，垂足為F，連接CD、BE（1）求證：CE=AD；（2）當D在AB中點時，四邊形BECD是什么特殊四邊形？說明你的理由；（3）若D為AB中點，則當A的大小滿足什么條件時，四邊形BECD是正方形？請說明你的理由18如圖，在ABC中，點D、E分別是邊AB、AC的中點，將ADE繞點E旋轉180得到CFE（1）求證：四邊形ADCF是平行四邊形（2）當ABC滿足什么條件時，四邊形ADCF是正方形？請說明理由19如圖，分別以線段AB的兩個端點為圓心，大于AB的長為半徑作弧，兩弧交于M、N兩點，連接MN，交AB于點D、C是直線MN上任意一點，連接CA、CB，過點D作DEAC于點E，DFBC于點F（1）求證：AEDBFD；（2）若AB=2，當CD的值為_時，四邊形DECF是正方形20如圖，AB是CD的垂直平分線，交CD于點M，過點M作MEA C，MFAD，垂足分別為E、F（1）求證：CAB=DAB；（2）若CAD=90，求證：四邊形AEMF是正方形21如圖，ABC中，點O是邊AC上一個動點，過O作直線MNBC，設MN交ACB的平分線于點E，交ACB的外角平分線于點F（1）探究：線段OE與OF的數量關系并加以證明；（2）當點O運動到何處時，且ABC滿足什么條件時，四邊形AECF是正方形？（3）當點O在邊AC上運動時，四邊形BCFE_是菱形嗎？（填“可能”或“不可能”）22已知：如圖，ABC中，點O是AC上的一動點，過點O作直線MNAC，設MN交BCA的平分線于點E，交BCA的外角ACG的平分線于點F，連接AE、AF（1）求證：ECF=90；（2）當點O運動到何處時，四邊形AECF是矩形？請說明理由；（3）在（2）的條件下，ABC應該滿足條件：_，就能使矩形AECF變為正方形（直接添加條件，無需證明）正方形的判定參考答案與試題解析一選擇題（共8小題）1已知四邊形ABCD是平行四邊形，再從AB=BC，ABC=90，AC=BD，ACBD四個條件中，選兩個作為補充條件后，使得四邊形ABCD是正方形，現有下列四種選法，其中錯誤的是（）A選B選C選D選考點：正方形的判定；平行四邊形的性質分析：要判定是正方形，則需能判定它既是菱形又是矩形解答：解：A、由得有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形，由得有一個角是直角的平行四邊形是矩形，所以平行四邊形ABCD是正方形，正確，故本選項不符合題意；B、由得有一個角是直角的平行四邊形是矩形，由得對角線相等的平行四邊形是矩形，所以不能得出平行四邊形ABCD是正方形，錯誤，故本選項符合題意；C、由得有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形，由得對角線相等的平行四邊形是矩形，所以平行四邊形ABCD是正方形，正確，故本選項不符合題意；D、由得有一個角是直角的平行四邊形是矩形，由得對角線互相垂直的平行四邊形是菱形，所以平行四邊形ABCD是正方形，正確，故本選項不符合題意故選：B點評：本題考查了正方形的判定方法：先判定四邊形是矩形，再判定這個矩形有一組鄰邊相等；先判定四邊形是菱形，再判定這個矩形有一個角為直角還可以先判定四邊形是平行四邊形，再用1或2進行判定2下列說法中，正確的是（）A相等的角一定是對頂角B四個角都相等的四邊形一定是正方形C平行四邊形的對角線互相平分D矩形的對角線一定垂直考點：正方形的判定；對頂角、鄰補角；平行四邊形的性質；矩形的性質分析：根據對頂角的定義，正方形的判定，平行四邊形的性質，矩形的性質對各選項分析判斷利用排除法求解解答：解：A、相等的角一定是對頂角錯誤，例如，角平分線分成的兩個角相等，但不是對頂角，故本選項錯誤；B、四個角都相等的四邊形一定是矩形，不一定是正方形，故本選項錯誤；C、平行四邊形的對角線互相平分正確，故本選項正確；D、矩形的對角線一定相等，但不一定垂直，故本選項錯誤故選：C點評：本題考查了正方形的判定，平行四邊形的性質，矩形的性質，對頂角的定義，熟記各性質與判定方法是解題的關鍵3下列命題中是假命題的是（）A一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形B一組對邊相等且有一個角是直角的四邊形是矩形C一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形D一組鄰邊相等的矩形是正方形考點：正方形的判定；平行四邊形的判定；菱形的判定；矩形的判定專題：證明題分析：做題時首先熟悉各種四邊形的判定方法，然后作答解答：解：A、一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，（平行四邊形判定定理）；正確B、一組對邊相等且有一個角是直角的四邊形是矩形，不一定是矩形，還可能是不規則四邊形，錯誤C、一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形，正確；D、一組鄰邊相等的矩形是正方形，正確故選B點評：本題主要考查各種四邊形的判定，基礎題要細心4已知四邊形ABCD是平行四邊形，下列結論中不正確的有（）當AB=BC時，它是菱形；當ACBD時，它是菱形；當ABC=90時，它是矩形；當AC=BD時，它是正方形A1組B2組C3組D4組考點：正方形的判定；平行四邊形的性質；菱形的判定；矩形的判定分析：根據鄰邊相等的平行四邊形是菱形可判斷正確；根據所給條件可以證出鄰邊相等，可判斷正確；根據有一個角是直角的平行四邊形是矩形可判斷正確；根據對角線相等的平行四邊形是矩形可以判斷出錯誤解答：解：根據鄰邊相等的平行四邊形是菱形可知：四邊形ABCD是平行四邊形，當AB=BC時，它是菱形正確；四邊形ABCD是平行四邊形，BO=OD，ACBD，AB2=BO2+AO2，AD2=DO2+AO2，AB=AD，四邊形ABCD是菱形，故正確；根據有一個角是直角的平行四邊形是矩形可知正確；根據對角線相等的平行四邊形是矩形可知當AC=BD時，它是矩形，不是正方形，故錯誤；故不正確的有1個故選：A點評：此題主要考查了菱形的判定、矩形的判定、正方形的判定，關鍵是熟練掌握三種特殊平行四邊形的判定定理5四邊形ABCD的對角線AC=BD，ACBD，分別過A、B、C、D作對角線的平行線，所成的四邊形EFMN是（）A正方形B菱形C矩形D任意四邊形考點：正方形的判定分析：根據平行線的性質和判定得出NAO=AOD=N=90，EN=NM=FM=EF，進而判斷即可解答：證明：如圖所示：分別過A、B、C、D作對角線的平行線，ACMNEF，ENBDMF，對角線AC=BD，ACBD，NAO=AOD=N=90，EN=NM=FM=EF，四邊形EFMN是正方形故選：A點評：此題主要考查了正方形的判定以及平行線的性質和判定等知識，熟練掌握正方形的判定定理是解題關鍵6如果要證明平行四邊形ABCD為正方形，那么我們需要在四邊形ABCD是平行四邊形的基礎上，進一步證明（）AAB=AD且ACBDBAB=AD且AC=BD CA=B且AC=BDDAC和BD互相垂直平分考點：正方形的判定分析：根據正方形的判定對各個選項進行分析從而得到最后的答案解答：解：A、根據有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形，或者對角線互相垂直的平行四邊形是菱形，所以不能判斷平行四邊形ABCD是正方形；B、根據對角線互相垂直的平行四邊形是菱形，對角線相等的平行四邊形為矩形，所以能判斷四邊形ABCD是正方形；C、一組鄰角相等的平行四邊形是矩形，對角線相等的平行四邊形也是矩形，即只能證明四邊形ABCD是矩形，不能判斷四邊形ABCD是正方形；D、對角線互相垂直的平行四邊形是菱形，對角線互相平分的四邊形是平行四邊形，所以不能判斷四邊形ABCD是正方形故選B點評：本題是考查正方形的判別方法，判別一個四邊形為正方形主要根據正方形的概念，途經有兩種：先說明它是矩形，再說明有一組鄰邊相等；先說明它是菱形，再說明它有一個角為直角7下列命題中，真命題是（）A對角線相等的四邊形是矩形B對角線互相垂直的四邊形是菱形C對角線互相平分的四邊形是平行四邊形D對角線互相垂直平分的四邊形是正方形考點：正方形的判定；平行四邊形的判定；菱形的判定；矩形的判定；命題與定理分析：A、根據矩形的定義作出判斷；B、根據菱形的性質作出判斷；C、根據平行四邊形的判定定理作出判斷；D、根據正方形的判定定理作出判斷解答：解：A、兩條對角線相等且相互平分的四邊形為矩形；故本選項錯誤；B、對角線互相垂直的平行四邊形是菱形；故本選項錯誤；C、對角線互相平分的四邊形是平行四邊形；故本選項正確；D、對角線互相垂直平分且相等的四邊形是正方形；故本選項錯誤；故選C點評：本題綜合考查了正方形、矩形、菱形及平行四邊形的判定解答此題時，必須理清矩形、正方形、菱形與平行四邊形間的關系8如圖，在ABC中，ACB=90，BC的垂直平分線EF交BC于點D，交AB于點E，且BE=BF，添加一個條件，仍不能證明四邊形BECF為正方形的是（）ABC=ACBCFBFCBD=DFDAC=BF考點：正方形的判定；線段垂直平分線的性質分析：根據中垂線的性質：中垂線上的點到線段兩個端點的距離相等，有BE=EC，BF=FC進而得出四邊形BECF是菱形；由菱形的性質知，以及菱形與正方形的關系，進而分別分析得出即可解答：解：EF垂直平分BC，BE=EC，BF=CF，BF=BE，BE=EC=CF=BF，四邊形BECF是菱形；當BC=AC時，ACB=90，則A=45時，菱形BECF是正方形A=45，ACB=90，EBC=45EBF=2EBC=245=90菱形BECF是正方形故選項A正確，但不符合題意；當CFBF時，利用正方形的判定得出，菱形BECF是正方形，故選項B正確，但不符合題意；當BD=DF時，利用正方形的判定得出，菱形BECF是正方形，故選項C正確，但不符合題意；當AC=BF時，無法得出菱形BECF是正方形，故選項D錯誤，符合題意故選：D點評：本題考查了菱形的判定和性質及中垂線的性質、直角三角形的性質、正方形的判定等知識，熟練掌握正方形的相關的定理是解題關鍵二填空題（共6小題）9能使平行四邊形ABCD為正方形的條件是AC=BD且ACBD（填上一個符合題目要求的條件即可）考點：正方形的判定；平行四邊形的性質專題：開放型分析：對角線互相垂直的平行四邊形是菱形，對角線相等的平行四邊形是矩形，矩形和菱形的結合體是正方形解答：解：可添加對角線相等且對角線垂直或對角線相等，且一組鄰邊相等；或對角線垂直，有一個內角是90答案不唯一，此處填：AC=BD且ACBD點評：本題考查正方形的判定，需注意它是菱形和矩形的結合10如圖，在RtABC中，C=90，DE垂直平分AC，DFBC，當ABC滿足條件AC=BC時，四邊形DECF是正方形 （要求：不再添加任何輔助線，只需填一個符合要求的條件）考點：正方形的判定專題：計算題；開放型分析：由已知可得四邊形的四個角都為直角，因此再有四邊相等即是正方形添加條件此題可從四邊形DECF是正方形推出解答：解：設AC=BC，即ABC為等腰直角三角形，C=90，DE垂直平分AC，DFBC，C=CED=EDF=DFC=90，DF=AC=CE，DE=BC=CF，DF=CE=DE=CF，四邊形DECF是正方形，故答案為：AC=BC點評：此題考查的知識點是正方形的判定，解題的關鍵是可從四邊形DECF是正方形推出ABC滿足的條件11如圖，菱形ABCD的對角線相交于點O，請你添加一個條件：AC=BD或ABBC，使得該菱形為正方形考點：正方形的判定；菱形的性質專題：壓軸題分析：根據正方形判定定理進行分析解答：解：根據對角線相等的菱形是正方形，可添加：AC=BD；根據有一個角是直角的菱形是正方形，可添加的：ABBC；故添加的條件為：AC=BD或ABBC點評：本題答案不唯一，根據菱形與正方形的關系求解12如圖，在四邊形ABCD中，AB=BC=CD=DA，對角線AC與BD相交于點O，若不增加任何字母與輔助線，要使四邊形ABCD是正方形，則還需增加一個條件是AC=BD或ABBC考點：正方形的判定；菱形的判定專題：開放型分析：根據菱形的判定定理及正方形的判定定理即可解答解答：解：在四邊形ABCD中，AB=BC=CD=DA四邊形ABCD是菱形要使四邊形ABCD是正方形，則還需增加一個條件是：AC=BD或ABBC點評：解答此題的關鍵是熟練掌握正方形的判定定理，即有一個角是直角的菱形是正方形13已知四邊形ABCD中，A=B=C=90，若添加一個條件即可判定該四邊形是正方形，那么這個條件可以是AB=AD或ACBD等考點：正方形的判定；矩形的判定與性質專題：開放型分析：由已知可得四邊形ABCD是矩形，則可根據有一組鄰邊相等或對角線互相垂直的矩形是正方形添加條件解答：解：由A=B=C=90可知四邊形ABCD是矩形，根據根據有一組鄰邊相等或對角線互相垂直的矩形是正方形，得到應該添加的條件為：AB=AD或ACBD等故答案為：AB=AD或ACBD等點評：本題是考查正方形的判別方法，判別一個四邊形為正方形主要根據正方形的概念，途經有兩種：先說明它是矩形，再說明有一組鄰邊相等；先說明它是菱形，再說明它有一個角為直角14要使一個菱形成為正方形，需添加一個條件為有一個角是直角或對角線相等考點：正方形的判定；菱形的性質專題：開放型分析：根據菱形的性質及正方形的判定進行分析，從而得到最后答案解答：解：要使一個菱形成為正方形，需添加一個條件為：有一個角是直角或對角線相等點評：解答此題的關鍵是熟練掌握正方形的判定定理：（1）有一個角是直角的菱形是正方形；（2）對角線相等的菱形是正方形三解答題（共8小題）15已知：如圖，ABC中，ABC=90，BD是ABC的平分線，DEAB于點E，DFBC于點F求證：四邊形DEBF是正方形考點：正方形的判定專題：證明題分析：由DEAB，DFBC，ABC=90，先證明四邊形DEBF是矩形，再由BD是ABC的平分線，DEAB于點E，DFBC于點F得出DE=DF判定四邊形DEBF是正方形解答：解：DEAB，DFBC，DEB=DFB=90，又ABC=90，四邊形BEDF為矩形，BD是ABC的平分線，且DEAB，DFBC，DE=DF，矩形BEDF為正方形點評：本題考查正方形的判定、角平分線的性質和矩形的判定要注意判定一個四邊形是正方形，必須先證明這個四邊形為矩形或菱形16如圖，在四邊形ABCD中，AB=BC，對角線BD平分ABC，P是BD上一點，過點P作PMAD，PNCD，垂足分別為M，N（1）求證：ADB=CDB；（2）若ADC=90，求證：四邊形MPND是正方形考點：正方形的判定；全等三角形的判定與性質專題：證明題分析：（1）根據角平分線的性質和全等三角形的判定方法證明ABDCBD，由全等三角形的性質即可得到：ADB=CDB；（2）若ADC=90，由（1）中的條件可得四邊形MPND是矩形，再根據兩邊相等的四邊形是正方形即可證明四邊形MPND是正方形解答：證明：（1）對角線BD平分ABC，ABD=CBD，在ABD和CBD中，ABDCBD（SAS），ADB=CDB；（2）PMAD，PNCD，PMD=PND=90，ADC=90，四邊形MPND是矩形，ADB=CDB，ADB=45PM=MD，四邊形MPND是正方形點評：本題考查了全等三角形的判定和性質、角平分線的性質、矩形的判定和性質以及正方形的判定，解題的關鍵是熟記各種幾何圖形的性質和判定17如圖，在RtABC中，ACB=90，過點C的直線MNAB，D為AB邊上一點，過點D作DEBC，交直線MN于E，垂足為F，連接CD、BE（1）求證：CE=AD；（2）當D在AB中點時，四邊形BECD是什么特殊四邊形？說明你的理由；（3）若D為AB中點，則當A的大小滿足什么條件時，四邊形BECD是正方形？請說明你的理由考點：正方形的判定；平行四邊形的判定與性質；菱形的判定專題：幾何綜合題分析：（1）先求出四邊形ADEC是平行四邊形，根據平行四邊形的性質推出即可；（2）求出四邊形BECD是平行四邊形，求出CD=BD，根據菱形的判定推出即可；（3）求出CDB=90，再根據正方形的判定推出即可解答：（1）證明：DEBC，DFB=90，ACB=90，ACB=DFB，ACDE，MNAB，即CEAD，四邊形ADEC是平行四邊形，CE=AD；（2）解：四邊形BECD是菱形，理由是：D為AB中點，AD=BD，CE=AD，BD=CE，BDCE，四邊形BECD是平行四邊形，ACB=90，D為AB中點，CD=BD，四邊形BECD是菱形；（3）當A=45時，四邊形BECD是正方形，理由是：解：ACB=90，A=45，ABC=A=45，AC=BC，D為BA中點，CDAB，CDB=90，四邊形BECD是菱形，四邊形BECD是正方形，即當A=45時，四邊形BECD是正方形點評：本題考查了正方形的判定、平行四邊形的性質和判定，菱形的判定，直角三角形的性質的應用，主要考查學生運用定理進行推理的能力18如圖，在ABC中，點D、E分別是邊AB、AC的中點，將ADE繞點E旋轉180得到CFE（1）求證：四邊形ADCF是平行四邊形（2）當ABC滿足什么條件時，四邊形ADCF是正方形？請說明理由考點：正方形的判定；平行四邊形的判定分析：（1）利用旋轉的性質得出點A、E、C三點共線，點D、E、F三點共線，且AE=CD，DE=FE，即可得出答案；（2）首先得出CDAB，即ADC=90，由（1）知，四邊形ADCF是平行四邊形，故四邊形ADCF是矩形進而求出CD=AD即可得出答案解答：（1）證明：CFE是由ADE繞點E旋轉180得到，點A、E、C三點共線，點D、E、F三點共線，且AE=CE，DE=FE，故四邊形ADCF是平行四邊形（2）解：當ACB=90，AC=BC時，四邊形ADCF是正方形理由如下：在ABC中，AC=BC，AD=BD，CDAB，即ADC=90而由（1）知，四邊形ADCF是平行四邊形，四邊形ADCF是矩形又ACB=90，故四邊形ADCF是正方形點評：此題主要考查了平行四邊形的判定以及正方形的判定等知識，得出四邊形ADCF是矩形是解題關鍵19如圖，分別以線段AB的兩個端點為圓心，大于AB的長為半徑作弧，兩弧交于M、N兩點，連接MN，交AB于點D、C是直線MN上任意一點，連接CA、CB，過點D作DEAC于點E，DFBC于點F（1）求證：AEDBFD；（2）若AB=2，當CD的值為1時，四邊形DECF是正方形考點：正方形的判定；全等三角形的判定分析：（1）先由作圖知MN是線段AB的垂直平分線，根據垂直平分線的性質得出CA=CB，AD=BD，由等邊對等角得到A=B，然后利用AAS即可證明AEDBFD；（2）若AB=2，當CD的值為1時，四邊形DECF是正方形先由CD=AD=BD=1，MNAB，得出ACD與BCD都是等腰直角三角形，則ACD=BCD=45，ECF=90，根據有三個角是直角的四邊形是矩形證明四邊形DECF是矩形，再由等角對等邊得出ED=CE，從而得出矩形DECF是正方形解答：（1）證明：由作圖知，MN是線段AB的垂直平分線，C是直線MN上任意一點，MN交AB于點D，CA=CB，AD=BD，A=B在AED與BFD中，AEDBFD（AAS）；（2）解：若AB=2，當CD的值為1時，四邊形DECF是正方形理由如下：AB=2，AD=BD=AB=1CD=AD=BD=1，MNAB，ACD與BCD都是等腰直角三角形，ACD=BCD=45，ECF=ACD+BCD=90，DEC=DFC=90，四邊形DECF是矩形，CDE=9045=45，ECD=CDE=45，ED=CE，矩形DECF是正方形故答案為1點評：本題考查了線段垂直平分線的性質，全等三角形的判定，正方形的判定，等腰直角三角形的判定與性質，難度適中20如圖，AB是CD的垂直平分線，交CD于點M，過點M作MEA C，MFAD，垂足分別為E、F（1）求證：CAB=DAB；（2）若CAD=90，求證：四邊形AEMF是正方形考點：正方形的判定；線段垂直平分線的性質；等腰三角形的判定與性質專題：證明題分析：（1）根據AB是CD的垂直平分線，得到AC=AD，然后利用三線合一的性質得到CAB=DAB即可；（2）首先判定四邊形AEMF是矩形，然后證得ME=MF，利用鄰邊相等的矩形AEMF是正方形進行判定即可解答：（1）證明：AB是CD的垂直平分線，AC=AD，又ABCDCAB=DAB（等腰三角形的三線合一）；（2）證明：MEA C，MFAD，CAD=90，即CAD=AEM=AFM=90，四邊形AEMF是矩形，又CAB=DAB，MEA C，MFAD，ME=MF，矩形AEMF是正方形點評：本題考查正方形的判定，線段的垂直平分線的性質及等腰三角形的判定與性質的知識，綜合性較強，難度不大21如圖，ABC中，點O是邊AC上一個動點，過O作直線MNBC，設MN交ACB的平分線于點E，交ACB的外角平分線于點F（1）探究：線段OE與OF的數量關系并加以證明；（2）當點O運動到何處時，且ABC滿足什么條件時，四邊形AECF是正方形？（3）當點O在邊AC上運動時，四邊形BCFE不可能是菱形嗎？（填“可能”或“不可能”）考點：正方形的判定；菱形的判定分析：（1）由直線MNBC，MN交BCA的平分線于點E，交BCA的外角平分線于點F，易證得OEC與OFC是等腰三角形，則可證得OE=OF=OC；（2）正方形的判定問題，AECF若是正方形，則必有對角線OA=OC，所以O為AC的中點，同樣在ABC中，當ACB=90時，可滿足其為正方形；（3）菱形的判定問題，若使菱形，則必有四條邊相等，對角線互相垂直解答：解：（1）OE=OF理由如下：CE是ACB的角平分線，ACE=BCE，又MNBC，NEC=ECB，NEC=ACE，OE=OC，OF是BCA的外角平分線，OCF=FCD，又MNBC，OFC=ECD，OFC=COF，OF=OC，OE=OF；（2）當點O運動到AC的中點，且ABC滿足ACB為直角的直角三角形時，四邊形AECF是正方形理由如下：當點O運動到AC的中點時，AO=CO，又EO=FO，