第九章直線、平面、簡單幾何體,第2課時直線與平面垂直,知識網絡,1.直線和平面垂直的定義.如果一條直線和一個平面內的任何一條直線都垂直，那么就稱這條直線和這個平面垂直(1)注意定義中的“任何一條直線”這個詞，它與“所有”直線是同義詞，但與“無數條直線”不同定義的實質就是直線與平面內的所有直線都垂直(2)和平面垂直的直線是直線和平面相交的一種特殊形式(3)有了這樣的定義，就可判定線線垂直，即當直線和平面垂直時，那么該直線就垂直于這個平面內的任何直線，可以作為線線垂直的判定定理,要點疑點考點,2.直線和平面垂直的判定定理如果一條直線和一個平面內的兩條相交直線都垂直，那么這條直線垂直于這個平面符號表示：,要點疑點考點,定理中的關鍵詞語是“兩條相交直線”，應用此定理時，主要是設法在平面內找到兩條相交直線,3.直線和平面垂直的性質定理.如果兩條直線同垂直于一個平面，那么這兩條直線平行.符號表示：若a，b，則ab作用：可作線線平行的判定定理,要點疑點考點,要點疑點考點,4.線面垂直判定方法:,要點疑點考點,5.三垂線定理及逆定理：,2.(96年上海)在下列命題中，真命題是()A.若直線m、n都平行于平面，則mnB.設l是直二面角，若直線ml，則mC.若直線m、n在平面內的射影依次是一個點和一條直線，且mn，則n在內或n與平行D.設m、n是異面直線，若m與平面平行，則n與相交,1.“直線l垂直于平面內的無數條直線”是“l”的()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分又不必要條件,B,C,基礎題例題,3.如圖所示：PA矩形ABCD所在的平面，那么以P、A、B、C、D五個點中的三點為頂點的直角三角形的個數是,9,基礎題例題,PAB,PAC,PAD,PBC,PDC,ABC,ADC,ABD,CBD,5.已知a,b,c是直線,、是平面，下列條件中，能得出直線a平面的是（）,基礎題例題,D,6.(1)平行于同一直線的兩條直線互相平行(2)垂直于同一直線的兩條直線互相平行(3)平行于同一平面的兩條直線互相平行(4)垂直于同一平面的兩條直線互相平行以上命題中，正確的是（）A.(1)B.(2)C.(1)(4)D.(1)(2)(3)(4),C,7.ABC的三邊長分別為3，4，5，P為平面ABC外一點，它到三邊的距離都等于2，則P到平面ABC的距離為_,基礎題例題,PD矩形ABCD所在平面，連PB，PC，BD，求證：PBD+BPC90.,證明：由PD平面ABCD,知PBD是斜線PB和平面ABCD所成的角。,BCPDBCCD,BC平面PDCPC平面PDC,BCPC,PBC=90BPC，,由最小角定理，PBDPBC=90BPC，PBD+BPC90，B、C不能重合，等號不能成立，PBD+BPC90。,基礎題例題,9.如圖ABO為O的直徑，C為O上一點，AD面ABC，AEBD于E，AFCD于F，求證：BD平面AEF,證明：AB為O直徑，C為O上一點。,DA平面ABCBC平面ABC,BCACDABCACDA=A,BC平面DACAF平面DAC,BCAFAFDCBCDC=C,AF平面BCDBD平面BCD,DBAFBDAEAFAE=A,BD平面AEF,能力思維方法,10.已知矩形ABCD中，過A作SA平面AC，再過A作AESB于E，過E作EFSC于F(1)求證：AFSC；,證明：（1）SA平面AC，BC平面AC，SABC矩形ABCD，ABBC，BC平面SAB，BCAE，又SBAE，AE平面SBC，AESC，又EFSC，SC平面AEF，AFSC，,能力思維方法,10.已知矩形ABCD中，過A作SA平面AC，再過A作AESB于E，過E作EFSC于F(2)若平面AEF交SD于G，求證：AGSD,證明：（2）SA平面AC，SADC，又ADDC，DC平面SAD，DCAG，又由（1）SC平面AEF，AG平面AEF，SCAG，AG平面SDC，AGSD。,能力思維方法,11.求證：四邊體若有兩組對棱互相垂直，則第三組對棱也互相垂直.,證明：作VO平面ABC于O連接AO，BO，COVO平面ABCAO,BO,CO分別為VA,VB,VC在平面ABC上的射影又VABC，VBAC,AOBC，BOAC,O為ABC的垂心，從而OCAB根據三垂線定理，VCAB,能力思維方法,V,B,A,C,O,12.在正方體ABCDA1B1C1D1中，平面A1BC1與底面ABCD所成二面角(的銳角)的正切值是()A.B.C.2D.3,能力思維方法,解：平面A1B1C1D1平面ABCD。平面ABCD和平面A1BC1所成二面角的大小等于平面A1B1C1D1和平面A1BC1所成二