高中版高中版 2014 年 4 月 數壇 在線 教育縱橫 前蘇聯數學教育家奧加涅說過 很多習題潛在著 進一步擴展其教學功能 發展功能和教育功能的可能 性 很多數學問題本身看似平淡無奇 但若能挖掘其內 涵 適當變化 常常會有意想不到的收獲 特別是教學過 程中具有共性的學生錯題 教師在講解過程中不能僅僅 停留在對此題的分析評價上 而是應該通過這個問題的 解答 進一步擴展 讓學生了解相關類似問題并進行歸 納梳理 最后還要能延伸推廣到其他問題的解答上 形 成舉一反三的能力 筆者在高三復習中就碰到這樣一個 習題 例1函數y f x x R 滿足f x 2 f x 且x 1 1 時 f x 1 2x2 函數g x lg x 2 則函數h x f x g x 在區間 6 12 內的零點個數為 A 18B 19C 20D 17 此題通過函數的零點考查學生的數形結合 轉化化 歸等數學思想方法 作為本校一次調研考試的選擇題 全班50人 僅有8位同學做對 還有34位同學的答案為 18 另外8位同學選擇其他答案 并且做對的8人中也僅 有5位同學能正確判斷答案卻不能完整說明理由 一 深入剖析 挖掘本源是實現 舉一反 三 的奠基石 調研發現學生均能將 函數h x 在區間 6 12 內 的零點個數 問題轉化為 函數f x 與函數g x 在區間 6 12 內的圖像的交點個數 問題 大部分同學也能由 周期性正確得出函數f x 與函數g x 在區間 6 12 內 的圖像 如圖1 然而學生通過點數發現結論為18 y x 12 2 6 O 1 圖 1 題中當x 6 11 時 兩個函數的交點個數正好為 17個 然而當x 11 12 時 大部分學生認為兩個函數 只有一個交點 而班級中5位答對的同學能通過直觀判 斷發現雖然兩個函數f x 和g x 的圖像在x 12處交匯于 點 12 1 但是由于兩個函數的變化趨勢不一樣 進而 大膽地猜測當x 11 12 時 函數f x 和g x 的圖像有 兩個交點 筆者對這5位學生的數學敏感性及大膽猜想的精神 感到欣慰 但是數學問題的解答不能只停留在大膽猜想 的階段 而是要能在 大膽猜想 的基礎上進行 小心求 證 那么如何證明當x 11 12 時 函數f x 和g x 的 圖像有兩個交點呢 注意到這5位學生提到的 變化趨勢 不同 的本質即為函數的變化率不同 即當x 11 12 時 f x 1 2 x 12 2 g x lg x 2 由f x 4 x 12 0 4 而g x 1 x 2 ln10 1 10ln10 1 9ln10 可以發 現雖然函數f x 和g x 在x 11 12 上都是單調遞增的 函數 但 1 10ln10 1 9ln10 奐 0 4 那是否意味著它們 有兩個不同的交點呢 注意到函數方程思想 我們將它 還原為h x 的零點問題 當x 11 12 時 h x 1 2 x 12 2 lg x 2 由h x 4 x 12 1 x 2 ln10 得h 11 4 1 9ln10 0 h 12 1 10ln10 0 因 此 存 在 x0 11 12 使得h x0 0 所以h x 在 11 x0 上單調遞增 在 x0 12 上 單 調 遞 減 而 h 11 1 2 lg9 0 且 h 12 0 所以由單調性可得極大值h x0 0 因此h x 0 在區間 11 12 內有兩個解 二 由此及彼 變式訓練是實現 舉一反 三 的助推器 是不是所有的交點問題都是這種情況呢 為了加深 學生的理解 筆者又給出了如下練習 習題課應有利于學生真正實現 舉一反三 筅浙 江 省 杭 州 第 十 一 中 學蔡小雄 筅浙江省長興縣金陵高級中學陳國偉 57 高中版高中版 2014 年 4 月 數壇 在線 教育縱橫 練習1 已知函數f x x2 2x x 0 ln x 1 x 0 若 f x ax 則 a的取值范圍是 A 0 B 1 C 2 1 D 2 0 練習2 已知函數f x ex x R 設x 0 討論曲線y f x 與曲線y mx2 m 0 公共點的個數 練習3 設函數f x lnx ax 其中a為實數 試求f x 的零點個數 過程展示 生1 作y f x 的圖像 如圖2 當a 0時 直線y ax 和曲線y x2 2x x 0 相切于原點 可得a 2 所以 2 a 0 當a 0時 如圖3 直線y ax與曲線y ln x 1 x 0 必有交點 所以a 0不成立 即答案為D x O y Ox y 圖 2圖 3 生2 由ex mx2得m ex x2 則曲線y f x 與曲線y mx2 m 0 公共點的個數即為函數h x ex x2 與直線y m的交 點個數 由h x ex x 2 x3 0且x 0得x 2 所以h x 在區 間 0 2 上單調遞減 在 2 上單調遞增 且h x min h 2 e2 4 如圖4 當0 m e2 4 時 無公共點 當m e2 4 時 有 一個公共點 當m e2 4 時 有兩個公共點 y O 2 x e2 4 圖 4 生3 由f x lnx ax 0得 a lnx x 則f x 的零點個數即 為直線y a和h x lnx x 的交 點個數 運用導數可快速得出 h x 在區間 0 e 上單調遞減 在 e 上單調遞增 且 h x max h e 1 e 如圖5 當a 1 e 時 無零點 當a 1 e 時 有一個零點 當a 1 e 時 有兩個零點 通過對具有不同單調性和凹凸性的函數的交點問 題的探討 學生對數形結合思想有了更為本質的認識 對 零點問題的規律的理解也在探究中不斷提煉升華 在反 復運用中避免了機械的模仿 進而能真正地理解和掌握 三 歸納梳理 完善思維是實現 舉一反 三 的催化劑 波利亞指出 數學問題的解決僅僅只是一半 而更 重要的是解題之后的回顧與反思 筆者引導學生對上 述3個練習題進行反思 練習1通過直線的動態過程揭示 了直線和曲線的交點個數的變化情況 其主要依據為直 線和曲線的相切關系 練習2則由兩曲線的交點關系轉 化為直線和曲線的交點問題 練習3則經歷了由直線和 曲線的交點問題到不同直線和曲線的交點個數的問題 并且在過程中 發現生2錯誤的根源是忽略了當x 時函數h x 0的極限概念 因此學生也統一了只要能 將方程轉化為一條直線和一條曲線即可解決零點問題 針對更多的不同類型的兩個函數的交點情況 學生 根據函數的單調性和凹凸性對以下幾種不同類型的函 數進行了梳理歸納 類型1 一次函數和不同凹凸性的曲線的交點個數 問題 y x O y O x y xO y xO 圖 6圖 7圖 8圖 9 y x O y Ox O x y y xO 圖 10圖 11圖 12圖 13 類型2 不同凹凸性的曲線之間的交點個數問題 y x O y xO y xO y x O y xO y O x y Ox 圖 14圖 15圖 16圖 17 圖 18圖 19圖 20 通過討論 學生發現兩條不同曲線相交時交點的個 數問題并不需要都進行討論 上述圖像中只有圖8 圖9 圖10 圖11和圖16 圖17 圖19 圖20的交點問題需要討 論 通常關于圖16 圖17 圖19 圖20的交點問題需轉化為 y eOx 圖 5 1 e 58 高中版高中版 2014 年 4 月 數壇 在線 教育縱橫 函數的零點通過分類討論或分離參數等方法 即為圖8 圖9 圖10 圖11 解決 通過對習題的反思和歸納梳理 學生大致了解了 數形結合 中 以形助數 和 以數解形 的具體功能 加 深了對此類問題本質屬性的了解 完善了 數形結合 在 實際操作中的運用技巧 四 鏈接高考 學以致用是實現 舉一反 三 的試驗田 縱觀多年來的高考試題 數形結合的思想方法應用 廣泛 常見的如在求解方程 解不等式 函數的值域 最 值和三角函數等問題中 運用數形結合思想 不僅直觀 易懂 而且能避免復雜的計算與推理 大大簡化解題過 程 雖然數形結合的重點是研究 以形助數 但也不乏 以數解形 的妙題 例2 2012年新課標全國理21 已知函數f x 滿足 f x f 1 ex 1 f 0 x 1 2 x2 1 求f x 的解析式及單調區間 2 若f x 1 2 x2 ax b 求 a 1 b的最大值 解析 1 f x ex x 1 2 x2 單調性 略 2 由題意轉化為ex a 1 x b 在同一坐標系中作 出曲線y ex和y a 1 x b的圖像 則y a 1 x b的圖像 始終在曲線y ex的下方 當a 1 0時 如圖21 顯然不成立 y O x y O x x y O 圖 21圖 22圖 23 當a 1 0時 如圖22 由ex a 1 x b得b 0 此時 a 1 b 0 當a 1 0時 如圖23 設直線l與直線y a 1 x b平 行且與曲線y ex相切 可求得直線l的方程為y a 1 x a 1 a 1 ln a 1 所以 a 1 b a 1 2 a 1 2ln a 1 令a 1 t 則t 0 設h t t2 t2lnt 可求得h t 的最大值為h e 姨 1 e 2 即 a 1 b e 2 不畏浮云遮望眼 吹盡狂沙始到金 在高三數學教 學中 作為教師我們有義務 有責任關注學生數學思維 能力的訓練和提升 通過對錯題的分析 追本溯源 舉一 反三 通過適當的遷移 鏈接 讓學生在錯誤過后不是遺 憾 懊惱 而是學有所獲 獲有所得 得有所悟 學生的思 維才可能得以飛翔 能力得以提升 參考文獻 1 蔡小雄 啟迪思維是數學習題教學的首要 J 中學 數學 下 2013 8 2 朱麗強 讓學生的思維在解題研究中飛翔 J 中學 數學 下 2013 2 3 蔡小雄 更高更妙的高中數學思想與方法 M 杭 州 浙江大學出版社 2009 FH 原生態的想法 我們教師要倍加珍惜 小心呵護 不能固 守已有的 經驗 輕易去作論斷 讓寶貴的教育資源一 滑而過 白白地流失掉 實為可惜 像上面介紹的案例就 是一個很好的說明 如果筆者主觀臆斷地去否定學生的 這種想法 對于直線與二次曲線相切的問題只囿于 0 法 不僅我們教師的能力得不到提高 而且可能使學 生喪失了對這一問題作進一步研究的熱情與興趣 他們 那富有靈性的思考就會被扼殺 當然不利于學生思維能 力的發展 而且這也正是我們教師的思維能力提升的絕 好機會 而恰恰我們卻疏忽了 為此建議大家在教學中要做個有心人 用心人 時 時捕捉